第05讲 第四章 指数函数与对数函数 章节验收测评卷（解析版）

第05讲第四章指数函数与对数函数章节验收测评卷（考试时间：150分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据真数大于0得到不等式，解出即可.【详解】由题意得，解得，则其定义域为，故选：B.2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中，若，则实数a的值等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据分段函数的解析式即可求解.【详解】，，∴，∴.故选：B.3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据对数函数的定义得出，求解出值，需要看是否在底数的取值范围内．【详解】解：，所以，，所以，故选：C．4．（23-24高二下·广西北海·期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指数、对数函数的性质比较大小即得.【详解】依题意，，，而，所以.故选：A5．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知一种物质的某种能量与时间的关系为，其中是正常数，是大于1的正整数，若经过时间，该物质的能量由减少到，再经过时间，该物质的能量由减少到，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题根据已知条件先求出，再列出等式即可求得.【详解】当时，，所以，则，由，得，所以.故选:B.6．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】证明是上的偶函数且在上递增，即可将原不等式等价转化为，即，然后解之即可.【详解】由于的定义域为，且，故是偶函数.而对，有，故.所以在上递增.从而不等式等价于，即.此即，即，解得.故选：D.7．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可.【详解】二次函数的对称轴为，因为函数在R上单调递增，所以有，解得，即实数的取值范围是．故选：C．8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于x的方程有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函数的图象如图所示，利用十字相乘法因式分解，易知有3个不等的实数根，所以必须有4个不相等的实数根，数形结合得到不等式，求出实数a的取值范围,【详解】作出函数的图象如图所示.，关于x的方程有7个不等的实数根，即有7个不等的实数根，易知有3个不等的实数根，所以必须有4个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）对于函数，则（

）A．与具有相同的最小值B．与在上具有相同的单调性C．与都是轴对称图形D．与在上具有相反的单调性【答案】AC【分析】在同一坐标系中，作出函数，的图像，进而对四个选项一一作出判断.【详解】A选项，在同一坐标系中，作出函数，的图像如图所示，由图可知与的最小值都为1，A项正确；B选项，在上单调递增，在上不单调，B项错误；C选项，的图像关于直线对称，的图像关于直线对称，C项正确；D选项，与在上均单调递减，D项错误.故选：AC10．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的定义域为，下列满足对任意的且，有，且在定义域内是单调函数的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用特殊值判断A，根据所给定义及基本不等式判断B、C，判断函数的单调性，即可说明D.【详解】对于A：在定义域上单调递增，令，，则，，所以，故A错误；对于B：在定义域上单调递增，又，，当时，则有，所以对任意且，有，故B正确；对于C：定义域为，且在上单调递减，设且，则，，又当且时，所以，则，故C正确；对于D：的定义域为，又函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上不具有单调性，故D错误.故选：BC11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数，，则（

）A．若有2个不同的零点，则B．当时，有5个不同的零点C．若有4个不同的零点，则的取值范围是D．若有4个不同的零点，则的取值范围是【答案】BCD【分析】作出的图象，由有2个不同的零点，结合图象，可判定A错误；由，令，得到，求得，结合图象，可判定B正确；由对数的运算性质，求得，结合二次函数的对称性得到，进而判定C正确；由，结合对勾函数的性质，可判定D正确．【详解】由函数，可得，作出的图象，如图所示．对于A中，由，可得，若有2个不同的零点，结合图象知或，所以A错误；对于B中，当时，由，可得，令，则有，可得，结合图像知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根，所以有5个不同的零点，所以B正确；对于C中，若有4个不同的零点，则，且，则，由二次函数的对称性得，则，结合B知，所以，所以的取值范围为，所以C正确；对于D中，由，其中，由对勾函数的性质，可得在上为单调递减函数，可得，所以的取值范围为，所以D正确．故选：BCD．【点睛】方法点睛：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略：1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象；2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”.3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的值域是．【答案】【分析】根据指数函数和对数的性质即可求解.【详解】当时，，所以，当时，，综上，所以的值域是故答案为：13．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）已知偶函数满足，当时，，方程有10个根，则实数的取值范围是.【答案】【分析】先给出，故2为函数的周期，因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根，结合图象求解．【详解】解：由题意知偶函数满足，即，故2为函数的周期；因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根，作出函数在上的图象，如图：结合图象可知需满足，即实数a的取值范围是故答案为：14．（2024高三·全国·专题练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为.【答案】【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.【详解】设，当时，，此时，由，得，即，解得或，即在上有2个零点；若，，其图象对称轴为，函数的大致图像如图：则此时，即，则，即无解，则无零点，此时无零点，不符合题意；故需，此时函数的大致图像如图：由得或，要使得函数恰有3个零点，需满足在上有一个零点，此时只有一个解，故只需与函数在y轴左侧图象无交点，则需，解得，结合，可得，故答案为：.【点睛】方法点睛：本题为复合函数的零点问题，解答时采用数形结合的方法去解决，即作出函数的大致图像，将函数零点问题转化为曲线的交点个数问题，即可解决.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算：(1)；(2).【答案】(1)0(2)2【分析】（1）利用指数运算法则及指数式与对数式互化计算即得.（2）利用对数运算法则求解即得.【详解】（1）.（2）.16．（本题满分15分）（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数为奇函数．(1)求实数k的值；(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求出参数并检验即可得解；（2）分离参数并通过换元法可得，故只需求出不等式右边的最小值即可得解.【详解】（1）因为是奇函数，所以，解得，此时符合题意．（2）原问题即为，即恒成立，则，设，则，，∴当时，y取得最小值26，要使不等式在上恒成立，则，17．（本题满分15分）（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知且是指数函数.(1)求；(2)求关于的不等式的解集；(3)求函数在区间上的值域.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由指数函数的定义可知，解出的值；（2）原式等价于，根据指数函数的单调性可得，再结合对数函数的单调性即可求解（注意定义域）；（3），令，则，所以，利用二次函数的性质求得值域.【详解】（1）由指数函数定义，得，而且且，解得，则，故；（2）不等式，即，而函数在上递增，因此，即，则，解得，所以原不等式的解集为（3），当，令，则，所以，由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，，函数在区间上的值域为.18．（本题满分17分）（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数.(1)求函数的定义域和的值域.(2)证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性.(3)求关于的不等式的解集.【答案】(1)定义域为，值域为；(2)证明见解析，的递减区间是，非奇非偶函数；(3)答案见解析.【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式组求出的定义域；利用参变分离法求出的值域.（2）利用定义证明为偶函数；借助反比例函数求出的单调区间，利用定义判断奇偶性.（3）分类讨论解对数不等式.【详解】（1）在函数中，，解得，所以函数的定义域为；函数，而，，因此，所以函数的值域为.（2）由（1）知，函数的定义域为，，所以函数是偶函数；函数的定义域为，函数在上单调递减，所以函数的单调递减区间是，由于在函数的定义域内，而2不在函数的定义域内，即定义域关于0不对称，所以函数是非奇非偶函数.（3）当时，，不等式，当时，，即，而，解得，当时，，而，解得，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.19．（本题满分17分）（23-24高二下·福建三明·期末）若对定义域内任意，都有，则称函数为“距”增函数.(1)已知，判断是否为“1距”增函数，并说明理由；(2)已知是“距”增函数，求的最小值；(3)已知是“2距”增函数，求的最小值.【答案】(1)是“1距”增函数，理由见解析(2)(3)答案见解析【分析】（1）由，因为，所以，可得函数是“1距”增函数.（2）由恒成立，可得恒成立，则由，得或，又，所以.（3）由已知，讨论当时，时，恒成立的条件，得到，所以，讨论得当时，；当时，.【详解】（1）函数是“1距”增函数.理由如下：因为，所以，由因为，所以，即恒成立，所以是“1距”增函数.（2）因为是“距”增函数