2024-2025学年四川省成都市高二年级上册12月期末考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年四川省成都市高二上学期12月期末考试数学

检测试题

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔

填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净

后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答

题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系中，点/（-2,1,5）关于x轴的对称点的坐标为（）

A.（2,1,5）B.（2,-1,-5）

C.（-2,-1,-5）D.（-2,-1,5）

2.若直线/的方向向量为且过点（0,2）,则直线/的方程为（）

A.y/Sx+—2=0B.x+A/3v—2-\/3=0

C.-\/3x—JV+2=0D.x—A/3v+2\/3=0

3.成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10

名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：

20,25,32,38,40,43,56,62,67,74,则这组数据的第70百分位数是（）

A.56B.59C.62D.64.5

4.设大（一5,0）,乙（5,0）为定点，动点尸（x,y）满足尸片卜|尸6=6,则动点尸的轨迹方程

为（）

5.不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽

取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（）

4721

A.—B.—C.-D.—

915518

6.已知圆。：/+了2=16,直线=+若圆。上至少有3个点到直线/的距离

为1,则6的取值范围为（）

A.-6<b<6B.-2<b<2C.6<-6或6〉6D.

b<-2或b>2

7.如图，在平行六面体/BCD—中，

7T7T

AB=AD=1,AA,=2,AAXAD=AAXAB=/ZBAD=~,则异面直线/G与AS1所成

角的余弦值为（）

2出

C.D.

3V10

10

8.设45为双曲线\_=1上的两点，线段4g的中点为河（2,2）,则［48|=（）

A.也B.26C.V10D.

2回

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在空间直角坐标系。孙z中，0（0,0,0）,^（1,0,0）,5（2,1,-2）,C（4,3,2）,则（）

—•—■4x/3

A.AB-BC=4B.点Z到直线8c的距离为

3

C.|Zs|=V6D.直线CM与平面08c所成角的正弦值为

31

10.己知事件/,事件5发生的概率分别为尸（幺）=父尸（8）=3,则下列说法正确的是（

）

14

A.若事件N与事件5互斥，则尸（ZU8）=yj

B.若事件Z与事件5相互独立，则尸（ZU8）=j1

7

C.若事件5发生时事件幺一定发生，则尸（48）=百

D.若尸（幺豆）=g,则事件Z与事件5相互独立

2222

H.已知椭圆G：2+2=1（%〉4〉o）与双曲线。2：三一==1（出〉0，&〉o）的左、

a[b]a2b?

TT

右焦点相同，分别为片,鸟，椭圆G与双曲线。2在第一象限内交于点尸，且/片尸K=§，

椭圆G与双曲线G的离心率分别为勺，6,则下列说法正确的是（）

A.b2=AB.当％=V3时，—

C.eg的最小值为''D.---1-------的最大值为小

一2%63

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设一组数据匹/2,…，4的平均数为“，则8再+2,8%+2,…,8%+2的平均数为

13.过/（0,0）,3（6,8）,C（3,—1）三点的圆的标准方程为.

22

14.已知椭圆C:=+与=1（。〉6〉0）的上顶点为民片,用分别为椭圆的左、右焦点，过

ab

点与作线段8弓的垂线/,垂线/与椭圆C交于M,N两点，若椭圆C的离心率为;，且

\MN\=12,则的周长为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书

日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读,

现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组［40,50）,第2组

［50,60）,第3组［60,70）,第4组［70,80）,第5组［80,90）,第6组［90,100］,得到如图

所示的频率分布直方图.

（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；

（2）已知成绩落在［60,70）的学生平均成绩为62,方差为9,落在［70,80）的学生平均成绩

为77,方差为4,求这两组成绩的总体平均数石和总体方差$2.

16.（15分）已知圆C:（x-4）2+（y+3）2=4,尸是直线/:x—y+l=0上的一动点，过点

尸作圆C的切线，切点分别为45.

（1）当点尸的横坐标为2时，求切线的方程；

（2）当点尸在直线/上运动时，求四边形PNC5面积的最小值.

17.（15分）

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若

3

未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为一，乙每次投篮的命中率均为

5

7

一,甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.

10

（1）求第3次投篮者为乙的概率；

（2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.

18.（17分）

在平行四边形N5CD中（如图1）,28=28。=2,河为幺8的中点，将等边沿

。河折起，连接且/C=2（如图2）.

(1)求证：CM，平面4aw；

(2)求直线幺。与平面4gM所成角的正弦值;

点尸在线段NC上，若点P到平面4sM的距离为"5,求平面尸£)四与平面

(3)

15

3C。河所成角的余弦值.

19.(17分)

149

一动圆C与圆C］：(X+l)2+r=7外切，与圆。2：(、—1)2+；?=彳内切.

(1)设动圆圆心C的轨迹为：T,求曲线「的方程；

(2)①若点2(—2,0),5(2,0),尸是直线X=4上的动点，直线尸4P8与曲线「分别交于

A/,N两点,证明：直线跖V过定点；

②设AAMN和ABMN的面积分别为S］和S2,求岳-S2的最大值.

数学答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

12345678

CABBCADB

1.解：点/(-2,1,5)关于x轴的对称点的坐标为(—2,—1,—5),故选C.

2.解：•.•直线/的方向向量为)=直线I的斜率k=-V3,:.l:y-2=一百x,

整理得：V3x+j-2=0,故选A.

3.解：数据个数共有10个，且为从小到大排列，•.T0x70%=7,.•.这组数据的第70百分

位数为第7个数据56和第8个数据62的平均数59,故选B.

4.解：

222

♦.・归耳日尸阊［=6=2a,:.a=3,v耳(-5,0),F2(5,0),/.2c=10,:.c=5,.\b=c-a=16

，，双曲线的方程为工-匕=1,故选B.

916

5.解：从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球，共有15种情况，其中抽出2球均为白

/T0

球有6种情况，.•.0=一=—,故选C.

155

6.解：根据题意知，圆心到直线的距离(/=耳＜3,；.—6W6W6,故选A.

7.解:设

AB=a.AD=AC、=a+b+c,BBx=c,.\4G台用=@+B+/)•云二6,又

|福卜yl(a+b+c)2=VlO,.-.cosd=1cos(布，函，=,故选D.

22

8.解：设=1，两式相减，得

(项+》2)(项一》2)一；(％+%)(%—%)=°，-■-"_"-":"=2,：.kAB-k0M=2,•.•kOM=1

，1^2I^^2

2,.•.直线48的方程为：2x—y—2=0,代入双曲线q_=1中，得

%1=1,%2=3,

.-.\AB\=V1+F1^1-x2|=275,故选B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

91011

BCABDACD

9.解：A选项：•.•加=(1,1,—2),/=(2,2,4),..AB-BC=-4,故A错误；

B选项：取

.一BC(巫戈戈)

a=AB=(l,l,-2),vBC=(2,2,4),.•.阿=276“■”网71；—6—,3J

2

.♦•点A到直线BC的距离d=J片—(5•w)=—,故B正确；

C选项：=2),r.Z8=J6,故C正确；

D选项：易求平面O8C的法向量

n=12,—3,g：.\sind=kosk=—24-^53

匕=空白,故D错误；故选BC.

[c153

4+9+-

14

10.解：A选项：•.•事件Z与事件8互斥,二.0(ZU8)=尸(Z)+尸(8)=一,故A正确;

B选项：•.•事件幺与事件8相互独立，.•.尸（ZB）=P（Z）•尸（B）=g,

.•.尸（ZU8）=尸（Z）+P（8）—尸（Z8）=故B正确；

C选项：•.•若事件8发生时事件幺一定发生，.•.Bq4.•.尸（48）=0（8）=g,故C错误;

D选项：•.•尸（Z）=g,00）=g,P（4万）=尸（Z）•尸0）.••事件Z与事件与相互独立，

事件Z与事件5相互独立，故D正确；故选ABD.

72

11.解：A选项：,二△公0g为焦点二角形，.=A；tan—=--—.b、=—[,故

6tan--3

6

A正确；

B选项：根据椭圆和双曲线的定义，可得

|P7^|+|P7^|=2a1,|P7*]|-|P7s|=2a2,:.|P7^|=ax+a2,

\PF2\-ax-a1,在△公尸6中，由余弦定理，可得:

|^|2=|^|2+|^|2-2|^||^|COS|,

4c2=（%+2）+（q-。2）-2（%+?-。2）x］，整理得4c2=Q；+

1o反

「.4=—yd,当％=时，e\~---，故B错误;

e\e23

c选项：4=4+42A,故c正确;

，e2Vqe2罕22

D选项：•.•4=4+2,故取工=2cos&虫■uZsine,

e\e2e\e2

11c2A/3.八4V3./八、/4-\/3,,区1,、4

—I---=2cos0ziH------sin。=---sin（8+0）V----,故D正确；故选ACD.

,433、）3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2,…，％8

12.90解：,一项,％的平均数x=11,，8%1+2,8X2+2,…,84+2的平均数

x=8x11+2=90.

13.(X-3)2+(J-4)2=25解：设圆的方程为+4+/=0,代入三点

>=0,

Z(0,0),5(6,8),C(3,-1),有<100+6。+8E+尸=0,/.D=—6,E=—8,F=0,.,.圆的标

10+3D-E+F=0

准方程为(x-3)2+(j-4)2=25.

14.26解：，.,离心率6=g,.\a=2c,6=大乙为等边三角形，设

22

/(X1,%),N(X2/2)，直线MV的方程为》=百>一0，代入±+g=l中，得

2

13/-6A/3CJ-9c=0,/,y,+y2=,yty2

■■\MN\=Vl+3X[乃+%)2—4%当=券=12，，c=T,

周长C=+|w|+\MN\=|A7^|+\MF21+|"M=4a=8c=26.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

解：(1)众数：75,

第1至第6组的频率分别为0.1,0.15,0.2,0.3,0.15,0.1,

...平均数：

x=45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5；

(2)根据题意可知，成绩落在[60,70)的学生人数为20人，成绩落在[70,80)的学生人数

为30人,

―2Q3()

总体平均数：(y=—x62+—x77=71,

5050

总体方差：?=|^[9+(62-71)2]+|^[4+(77-71)2]=|X90+|X40=60.

16.(15分)

解：(1)•.•点尸在直线/:%一歹+1=0上，且点尸的横坐标为2,.•.点尸的坐标为(2,3),

①当切线的斜率不存在时，满足题意，此时，切线的方程为x=2；

②当切线的斜率存在时，设斜率为后，此时切线方程为y-3=左(》-2),

即：kx-y+3-2k=0,设圆心到切线的距离为d,根据题意可得:

.14左+3+3-2左|伊+6|_2,

A/F+I7F+I，

4

k9+6k+9=k7+1.k——，

3

4

此时，切线方程为y—3=——2),

化简，得4x+3y—17=0,

.••切线方程为x=2或4x+3y—17=0；

（2）♦:PA=PB,PC为公共边，；.△承把PBC,

SPACB=2s△.=2xgx|为|x\AC\=2\PA\,

又|尸a=7lPC|2-4,.-.当|PC|最小时，|「/|最小，

由题意可知，当PC，/时，|PC|最小，

।।|4—1xf—3）+11I—

此时，1PC1」/「）1=4虚,

2

：.\PA\=^\PC|-4>2V7,.'.SPACB=2|尸闻>4J7,

.•.四边形尸NC5面积的最小值为4J7.

17.（15分）

解：（1）设事件4="甲第，•次投篮投进"，事件g="乙第，次投篮投进"，事件c="第三

次投篮者为乙"，

根据题意可知，c=（4Z）uG>2）44与452互斥，

/.p（c）=p（j<44）U（4^））=^（44）+^（4^）=|><|+|x-^=i|;

JJJ\J乙J

（2）设事件。="前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知：

D=（444）U（444）U（44瓦）U

事件444,444,44瓦，4瓦4互斥，且每次投篮的结果相互独立，

.•.尸（。）=尸《44H）U（444）U（4百瓦）U@瓦4））

=0(444)+尸(44%)+尸(4%瓦)+尸@瓦4)

=尸(4)尸(a)尸(4)+尸(4)p(a)p@)+尸(4)P0p区)+尸@尸区)尸(4)

333332323233

=-X—X—-F—X—X——I--X—X------1——X—X—

55555555105105

63

-125-

18.(17分)

解：(1)证明：连接CA/,在△C8/中，•••BC=JW=1,NCW=}-,

『+12—2>1>10=5

在△CAffi)中，VDM2+CM-=CD2,:.DM1CM,

CMLDM,

CMVAM,

同理可得：CMLAM,•：

AMnDM=M,

平面4D河

(2)设X为ZW的中点，.

•/CM1平面ADM,CMu平面BCDM,

平面ADM1平面BCDM,

又•.・平面ADM口平面BCDM=DM,AHu平面ADM,

平面BCDM,.•.以点〃为坐标原点，必)为x轴，MC为y轴，过点M且平行于

的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

M(0,0,0),Z)(l,O,O),C^),AO)5

AD=

设平面4gM的法向量为玩=（巧,必/1）,

75、

・・・AB=-1,,AM-f%

22J7

__TB_V3A/3_

=一匹+—^~~^zi=°，

八

m-AAMA/T=—1x------z.=0

2]121

取Xi=A/3,.,.m^/3,1,-1^,

设直线AD与平面ABM所成角为。，

AD-m

sin。=cosI,AD,m

~AD\\m1x75~5

（其他解法酌情给分）

(3)设ZP=/L4C,

\-AC=,AP=--,V32

I2

设点P到平面ABM的距离为d，

%P,同」后|_2V15

/.d=

同15

P是线段AC上靠近点C的三等分点，易求平面BCDM的法向量为4=（0,0,1）,

设平面PDA/的法向量为五2=（x2,^2,z2）,

______

k52A/3A/3)——_八八

\-DP=DA+AP=DA+-AC=一■7,—;—,MD=(1,0,0),

3I636J

n2-DP=--x?+2c_y,+^(l-z=o

2623262

n2-MD=x7=0

取％=1,/.n2=(0,1,-4),

设平面与平面所成的角为a,

I/__\||4,心|44V17

COStt=COS)=7—i-j―7=—j==------.

1'"同•同V1717

19.(17分)解：(1)设动圆的半径为F,动圆C与圆q：(x+l)2+V=；外切,

.•』y=「+；，

oo49।।7

又♦.•动圆。与圆G：(x—1)+y=j内切，且圆在圆。2内部，，口02|=；-

.•.因|+陷|=4,

又「G(TO),G(1,0)，

2a=4,2c=2,a=2,c=1,6