2024-2025学年天津市南开区高二年级上册阶段性数学检测试题（含解析）

2024-2025学年天津市南开区高二上学期阶段性数学检测试题

一、单选题（本大题共10小题）

1.下列说法错误的是（）.

A.有的直线斜率不存在

B.截距可以为负值

C.若直线1的倾斜角为且"390。，则它的斜率后=tana

3兀

D.若直线1的斜率为1,则它的倾斜角为彳

2.过点/《-亚,-1）,，（一的直线的倾斜角是（）

兀兀2兀57r

A.6B.3C,3D.6

3.己知点8是点/0，7，-4）在xOz平面上的射影，则1°同等于（）.

A,（9,0,16）B.5C,13D.25

4.将直线1沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原

来的位置，则/的斜率是（）

_3J_

A.2B.4C.1D.2

5.已知空间向量”（I?，/）,'=（3",〃一1）,若£/小，则2+〃=（）

A.1B.-1C.2D.-2

6.过点A（1,2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A.x-y+l=0B.x+y-3=0C.y=2x或x+y-3=0D.y=2x或x-

y+1=0

7.圆Cjx2+/+8x-2y+9=°和圆。2：/+/+6》-4了+11=°的公切线方程是（）

A.y=-x+lBy=-x+l或y=x+5

Qy=-x+5Dy=x+l或y=2x+5

8.如图，在底面为平行四边形的四棱柱"BCD-43cA中，M是/C与8。的交点,

若八二,42=6,=则下列向量中与4M相等的向量是（）

D

C

A

B

A/

Ci

4f

Bi

1-1；-]-I：—

——a+—b+c—a+—b+c

A.22B.22

]-17f

——a——b+c

C.22D.22

9,已知圆M：/+V+2砂=°（a>0）的圆心到直线3x+2y=2的距离是瓦，则圆M与

圆N:（x-2y+（y+2）2=l的位置关系是（）

A.相离B.相交C.内切D.内含

10.在平面直角坐标系中，过直线2x7-3=。上一点尸作圆C:X2+2X+/=1的两条切

线，切点分别为",则sinN/P8的最大值为（）

2a2A/5V6y/s_

A.5B.5C.5D.5

二、填空题（本大题共5小题）

11.过点O'）且与直线*+2卜-1=0平行的直线方程是.

12.已知圆的圆心为点,（2,一3）,一条直径的端点分别在x轴和N轴上，则该圆的标准

方程为.

13.已知G=（2,T3）,“=（-1,4,-2）,"（7,5"）,若&、方、2三向量共面，则实数

4=.

14.设点"（一2,3）,以3,2）,若直线以->+2=°与线段4B没有交点，则。的取值范围

是.

15.空间四边形。“8C中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45°,NOAB=60°,

则。/与2c所成角的余弦值等于.

三、解答题（本大题共5小题）

16.已知直线1：kx—y+1+2k=0(k£R).

(1)证明：直线1过定点；

(2)若直线1不经过第四象限，求k的取值范围.

17.如图，三棱柱N8C-4耳G,底面/BC,底面VN8C中，CA=CB=\,

NBC4=90。,棱旗小？，MN分别是44，44的中点.

(1)求丽的模：

(2)求cos'4,CB］的值；

⑶求证

18.AABC中，A(0,l),AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y—4=0,AC边上

的中线BE所在直线的方程为2x+y-3=0.

(1)求直线AB的方程；

(2)求直线BC的方程；

(3)求ABDE的面积.

19.如图，将边长为2的正方形NBC。沿对角线3。折成一个直二面角，且平面

ABD,4E=a.

⑴若"2亚，

(i)求证：/B//平面8E；

(ii)求直线BC与平面8E所成角的正弦值；

(2)求实数。的值，使得二面角"EC-。的大小为60°.

20.已知过原点的动直线/与圆C|：/+V-6x+5=°相交于不同的两点A,B.

(1)求圆G的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数k,使得直线L：P=《(x-4)与曲线c只有一个交点？若存在，求出

上的取值范围；若不存在，说明理由.

答案

1.【正确答案】D

【详解】当直线与x轴垂直，斜率不存在，A正确；

截距是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为负，B正确;

由斜率与倾斜角的关系知C正确；

直线1的斜率为1,则它的倾斜角为“，D错.

故选：D.

2.【正确答案】C

_k=——T+1—=一百

【详解】'（1一"一1）,'（一"8一1）的斜率为-母）,

2兀

故直线的倾斜角为7,

故选：C

3.【正确答案】B

【详解】由题意8（3。-町，

所以陷=次+。2+（-4）2=5,

故选：B.

4.【正确答案】A

【详解】设直线1上任意一点尸（X。/。），将直线1沿x轴正方向平移2个单位，则P

点移动后为4（”。+2，%）,再沿y轴负方向平移3个单位，则4点移动后为

P］（X。+2,%-3）

k=y0-^-y0=_3

•••尸，心都在直线1上，.••直线1的斜率/+2-/2.

故选：A.

5.【正确答案】A

【详解】因为Z//3,。=0,2，-2）,否=（3",〃一1）,

3_2_/£-1

所以,一万一-2,解得彳=6,〃=_5,

所以，+〃=1.故选A.

6.【正确答案】D

【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.

-----=2

【详解】当直线过原点时，其斜率为1-0,故直线方程为y=2x；

xy12,

—I-----=1—I=1

当直线不过原点时，设直线方程为a-a,代入点（1,2）可得。-«,解得

a——1,故直线方程为x-y+1=0.

综上，可知所求直线方程为y=2x或x-y+1=0,

故选：D.

本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用

直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.

7.【正确答案】A

【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根

据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.

【详解】解:G：（x+4）2+（yT）J8,圆心G（-4,1）,半径彳=2',

Cz：（x+3/+（y-2＞=2,圆心。2（-3,2）,半径々=也，

因为\C\C2\=^=ri~r2,

所以两圆相内切，公共切线只有一条，

因为圆心连线与切线相互垂直，kcj=l,

所以切线斜率为-1,

（x2+y2+8x-2y+9=0（x=-2

由方程组於+/+61y+11=0解得［y=3,

故圆G与圆的切点坐标为（々3）,

故公切线方程为＞一3=-（尤+2）,即y=r+l.

故选：A.

8.【正确答案】A

llM=llB+BM=c+-BD=c+-（AD-AB）=--a+-b+c

【详解】2222.

故选：A

9.【正确答案】D

【详解】圆M：x2+y2+2ay=0^x2+（y+a^=a2所以圆心"（°，-。），半径为a.

|20+2|=|2a+2|=^^11

由点到直线距离公式得：.+”V13，且。＞0,所以“一2.

又圆N的圆心"（2,-2）,半径为:

1.

V659

-----<——

由22,所以两圆内含.

故选：D

10.【正确答案】A

【分析】由题意圆C：/+2x+/=l的标准方程为C：(x+l)+/=2,如图

sin乙4PB=sin2a=2sinacosa,

cosa=J1-sin2a

匕习的最小值，进而求解.

,又由圆心到直线的距离可求出

【详解】如下图所示:

由题意圆C的标准方程为C：(x+l)+/=2,sinZAPB=sin2a=2sinacosa,

sinZAPB=2sinacosa-2

所以

♦J：。=4

又圆心C(T°)到直线2xr-3=0的距离为,2?+(-1?

所以词”=住所以不妨设他‘”，

、

21

sinZAPB=21J=2回(1-2/)=2-4+*(，)

则

0_1

又因为,（'）在I二」单调递增，所以当且仅当‘二即|CP|=逐，即当且仅当直线c尸垂

直已知直线2x-y-3=0时，

（sinZAPB）=/（，］=2=巫

sin//总有最大值'"15；V4；45

故选：A.

11.［正确答案］x+2—=0

【详解】由题意，设所求直线方程为：x+2y+l=0,

因为x+2y+/=0过（1,2）,

所以1+2x2+/=。,解得/=-5,

从而所求直线方程为-+2夕-5=°

故答案为.》+2了-5=°

12.【正确答案】（x-2）+。+3）一=13

【详解】设直径的端点分别为（a，°），（°，6）,

因为圆的圆心为点/°，7），

。+0

------=2

,2

0+Z?_3Ja=4

所以I2,解得正=-6,

r=2J（O-4）2+（-6-O）2=V13

所以圆的半径2。''）

所以该圆的标准方程为卜-2）2+&+3）2=13

故答案为.卜一2）+5+3）2=13

65

13.【正确答案】T

【详解】因为“万不平行，且&、在、1三向量共面,

所以存在实数x,y,使展=£+同，

x=—33

7

17

7=2x-yy=n

<5=-x+4y。65

所以解得A=——

U=3x-2y,7

65

故了

（-00,——]u[0,+00）

14.【正确答案】2

【详解】易知直线"一了+2=°过定点尸（°，2）,。是该直线的斜率,

3-21

又PA~-2-0--2,kPB=0,

（-00,——]o[0,+oo）

由图可知。的取值范围是2

=+AB)=ft42+|ft4|-|2B|cosl20°=40

【详解】

用友=血@+就）=而+网.西cosl35。=64-16收

OABC=OA-(dC-OB^=OA-OC-OA-OB=(64-1.642y40=24-1672

所以，

OABC24-16723-272

cosOA,BC=

碉.阿8x5-5

所以，

3-2夜

所以，。“与8c所成角的余弦值为5

3-2亚

故答案为.5

16.【正确答案】（1）见解析（2）[0,+8）.

【详解】(1)证明：直线1的方程可化为y=k(x+2)+l,故无论k取何值，直线1总

过定点(一2,1).

(2)直线1的方程为y=kx+2k+l,则直线1在y轴上的截距为l+2k,要使直线1不

经过第四象限，则I射榴醯解得k的取值范围是［0,+-).

17.【正确答案】⑴目

V30

⑵10

(3)证明见解析

【详解】(1)以C为坐标原点，以而、在、°G的方向为x,y,z轴的正方向，建立空

间直角坐标系°一到z,如图

由题意得NO，。/)，％［，。)，

故网="+(-1)2+12=?

(2)依题意得4(1,0,2),3(o,l,o),C(0,0,0),与(0,1,2)6(0,0,2)

故=(1,-1,2),eg=(0,1,2)|j|||BA^-CBX=0—1+4=3

画卜71+1+4=跖函卜V0+1+4=V5

18.【正确答案】(1)2X->4=0.(2)2x+3y=70.(3)10

【详解】试题分析：(1)由CD所在直线的方程求出直线42的斜率，再由点斜式写出

的直线方程；

(2)先求出点3,点C的坐标，再写出8c的直线方程；

(3)由点到直线的距离求出后到42的距离d,以及8到CD的距离3。，计算即

可或求出2瓦0到BE的距离d,计算S^DE.

试题解析：

(1)由已知得直线AB的斜率为2,

；.AB边所在的直线方程为y—l=2(x—0),

即2x—y+1=0.

=1

2x-y+l=Cri

⑵由LIi-3=0,得1=2

I

即直线AB与直线BE的交点为B(7,2).

设C(m,n),

+4=0

।m1

则由已知条件得-I'N-3°,

|m=2

解得I,AC(2,1).

；.BC边所在直线的方程为?一2,即2x+3y-7=0.

(3)：E是线段AC的中点,/.E(l,l).

；.D(S,S),

2q

厂3|2

AD到BE的距离为d=S'<F=5不

=

•,«SABDE5*d•|BE|=1°.

19.【正确答案】(1)(i)证明见解析，(ii)3

（2）«=2+V2

【详解】（1）（i）证明：如图建立空间直角坐标系，

设正方形/8C。的对角线相交于。，

由于OA=OB=OC=OD=V2,

则N（O,O,O）,5（2,O,O）,C（1,1，0）D（O,2,O）,E9,O,2&）

所以方=（2,0,0）,方=0,一2,2后）》7,0）

设平面CDE的一个法向量为4=（W/）,

n-DE=—2y+2>/2z=0

<x

nx•DC=x-y+y[lz=0

取z=0时，％=（°20）,

____ULUU

由于石E=0,故/B,%,

又不在平面CDE内，所以/8//平面CDE；

（ii）平面3的一个法向量为4=（°2亚），SC=（-1,1,72）

设直线3c与平面8E所成角为。,

2+2戈

V6x23

（2）如图建立空间直角坐标系，/（°，°，°），8（2,0,0）,砍,1,收）。（0,2,0）,£（0,0,。）,

反=（o,-2,。）,而=a，T0）

设平面CDE的一个法向量为的=（m，弘*）,则有

-------

n-DE=-2y+az=0

<2xx

n2-DC=再一y