重庆市名校联盟2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（含答案）

重庆市名校联盟2023-2024学年高一（下）期中数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．(1−i)(2+i)=()A．1−i B．1+3i C．3−i D．3+3i2．已知向量a=(1,x)，b=(−1,3)，若向量2aA．−3 B．0 C．43 D．3．用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为()A．36 B．182 C．92 4．若|a|=2，|b|=1，且a⊥(A．30° B．60° C．120° D．150°5．在△ABC中，cosC=23A．19 B．13 C．126．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台ABCD−A1B1C1D1，上下底面的中心分别为O1A．2023 B．2823 C．7．如图，在△ABC中，AD=23AC，BP=A．−3 B．3 C．2 D．−28．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则MD⋅A．27 B．0 C．−716 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．下列说法不正确的是()A．若直线a⊂面α，直线b⊄面α，则直线a，直线b无公共点B．若直线l//面α，则直线l与面α内的直线平行或异面C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱D．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是()A．a=3，b=4，A=150°，有两解B．若acosB=bC．若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosBD．若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC为钝角三角形11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SCA．若SA：SB：SC=1：1：1，则B．若M为△ABC的内心，则BC⋅C．若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SD．若M为△ABC的垂心，3MA+4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．复数3+4i与−5−2i分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是．13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+bsinC=bsinB+csinC.若b=2，c=4，则△ABC的面积为．14．在三棱锥A−BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=32，AB=62，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B（1）求截去的三棱锥A1（2）求剩余的几何体A116．已知向量a=(1,3)（1）求a−b的坐标以及a−（2）当t∈[−1,1]时，求17．某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域(阴影部分)上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示.在湖面所在的平面(不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面)内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB=∠ACD，cos∠ACB=（1）求sin∠BDC（2）测得AC=AD，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？18．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若acosBcosA（1）求角A的大小；（2）分别以△ABC各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和△ABC构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围．19．如图，在△ABC中，∠ABC为钝角，AB=22，BC=263，sin∠CAB=13.过点B作AB的垂线，交AC于点D，E为（1）求边AC的长；（2）证明：∠AEB=∠CEB；（3）设∠EAB=α，∠ECB=β，是否存在实数λ，使得λsinαsinβ+sin2α+

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：(1−i)(2+i)=2+i−2i−i故答案为：C【分析】本题考查复数的乘法运算.先利用复数乘法运算将括号进行展开，再进行化简可求出答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵向量a=∴，2a−b=2(∴，9−(−1)(故答案为：A.【分析】根据平面向量的坐标运算先求出2a→−3．【答案】C【解析】【解答】解：在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的24，而边长为6的正方形面积为36所以所求的直观图的面积为24故答案为：C【分析】先求出直观图正方形的面积，再根据斜二测画法中直观图与原图形面积关系进行计算可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，由于向量|a|=2，|∴a⋅(故cos〈a,故可知向量a,b的夹角为故答案为：B．【分析】先根据平面向量垂直的转化求出a⋅b=15．【答案】A【解析】【解答】∵在△ABC中，cosC=23，根据余弦定理：AA可得AB2由∵cos故cosB=故答案为：A.【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据cosB=6．【答案】B【解析】【解答】解：因为ABCD−A1B1C侧面以及对角面为等腰梯形，故AA1=A1O1所以该四棱台的体积为V=1故答案为：B.【分析】先根据正四棱台性质求出AO，A1O1，再利用余弦的定义求出A7．【答案】B【解析】【解答】解：因为AD=所以AP====2因为AP=λAB+μ所以λμ故答案为：B【分析】根据平面向量的加法可得：AP=AB+BP，再利用平面线性运算可求出：8．【答案】D【解析】【解答】解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：由题意可知，A(0,4)，C(3,设M(t,0)，其中t∈[−3,3]，则故MD⋅所以当t=94时，MD⋅故答案为：D.【分析】根据等腰三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据题目条件求出A，B，C的坐标，再设出点M的坐标为M(t,0)，利用平面向量数量积的坐标表示可得：9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A：如图，a⊂α，b⊄α，a与b可能相交，A错误；B：直线l∥α，所以l与平面α没有公共点，所以l与平面α内的直线平行或异面，B正确；C：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，如图所示，符合题意，但几何体不是棱柱，C错误；D.一个平行于棱锥的底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，其余各面都是梯形的几何体侧棱可能不交于一点，D错误.故答案为：ACD.【分析】通过作出图形可判断A选项；利用直线与平面平行的性质可判断B选项；通过作出图形可判断C选项；根据棱台的结构特征：棱台的侧棱交于一，据此可判断D选项.10．【答案】C,D【解析】【解答】解：A，因为a<b，所以A<B，又A=150°，所以B>150°，不满足内角和定理，所以满足条件的三角形不存在，A错误；B，因为acosB=所以sinAcosA=因为A,B∈(0,π)且A+B<π，所以即A=B或A+B=π所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；C，若△ABC为锐角三角形，则A+B>π所以0<π2−B<A<π2D，若sinA:sinB设a=2t,b=3t,因为C∈(0,π)，所以C∈(π故答案为：CD【分析】根据大边对大角，可判断A选项；利用正弦定理边化角，再利用二倍角公式化简可得sin2A=sin2B，据此推出A=B或A+B=π2，据此可判断B选项；由△ABC为锐角三角形可得0<π211．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A，因为SA:SB:取BC的中点D，则MB+MC=2故A，M，D三点共线，且|MA|=2|MD|，同理，取AB中点E，AC中点F，可得B，M，F三点共线，C，M，E三点共线，所以M为△ABC的重心，A正确；

B，若M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r，则SA=12BC⋅r所以12即BC⋅MAC，若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则∠ACB=75°如图所示：

设△ABC的外接圆半径为R，故∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，故SA=12R所以SAD，若M为△ABC的垂心，如图所示：

3MA+4则SA如图，AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC，相交于点M，又S△ABCSAS△ABCSBS△ABCSCS△ABC设MD=m，MF=n，ME=5t，则AM=3m，BM=2n，MC=7t，因为∠CAD=∠CBF，sin∠CAD=所以n3m=mcos∠BMD=m2n故答案为：ABD.【分析】根据题意可推出：MA+MB+MC=0，作出辅助线取BC的中点D，进而推出A，M，D三点共线，同理利用三点共线可推出M为△ABC的重心；设内切圆半径为r，利用三角形的面积公式可推出BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0，据此可判断B选项；设△ABC的外接圆半径为R，利用圆周角定理可推出：∠BMC=90°，∠AMC=120°，∠AMB=150°，利用三角形的面积公式可求出三角形的面积的比值，据此可判断C选项；利用垂心性质可推出：SA:SB:SC=3:4:5，作出辅助线AD⊥BC12．【答案】−8−6i【解析】【解答】解：∵复数3+4i与−5−2i分别表示向量OA与OB，∴OA=(3又AB=∴向量AB表示的复数是−8−6i.故答案为：−8−6i.【分析】利用复数的几何意义可推出向量OA与OB的坐标，利用平面向量的线性运算可求出AB的坐标，利用复数的几何意义可求出对应的复数.13．【答案】2【解析】【解答】解：由正弦定理角化边得a2+bc=b所以cosA=因为A∈(0,π)，所以因为b=2，c=4，所以S△ABC故答案为：23【分析】先利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理可求出cosA=1214．【答案】72π【解析】【解答】解：由∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=32，AB=6△ABC中，由余弦定理可得AC=A所以AC2+B在△ABD中，由余弦定理可得AD=A所以AD2+B取AB中点O，则在Rt△ABC和Rt△ABD中，OA=OB=OC=OD，则三棱锥A−BCD外接球的球心为O，其半径为AB2所以三棱锥A−BCD外接球的表面积为4π⋅(故答案为：72π.【分析】先利用余弦定理可求得AD,AC，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC和△ABD均为直角三角形，取AB中点O，利用直角三角形的性质可推出O为三棱锥A−BCD外接球的球心，其半径为R=AB15．【答案】（1）解：正方体的体积为23三棱锥A1−ABD的体积为所以剩余的几何体A1B1（2）解：由正方体的特点可知三棱锥A1−ABD中，△A1BD是边长为22的等边三角形，△A所以截去的三棱锥A1S=【解析】【分析】（1）观察几何体特征可得：几何体A1B1C1D1−DBC的体积=正方体的体积减去三棱锥A1−ABD的体积，求出正方体的体积和三棱锥的体积可求出答案.

（2）利用正方体的几何特征：△A16．【答案】（1）解：∵向量a=(1,3)∴a设a−b与a之间的夹角为∴cosθ=(∵θ∈[0,π]，∴向量a−b与a的夹角为（2）解：|a∴当t∈[−1,1]时，∴|a−tb|的取值范围是[【解析】【分析】（1）先利用平面向量的坐标运算求出a−b，利用平面向量的数量积和模长，可求出（2）对|a−tb17．【答案】（1）解：设∠ACB=∠ACD=θ，则∠BCD=2θ∈(0°,180°)，所以θ∈(0°,90°)，因为cosθ=105，所以所以sin2θ=2sinθcosθ=2×155×105所以sin∠BDC=（2）解：在△BCD中，由余弦定理得70整理得CD解得CD=40（CD=−60舍去）．在△ACD中，AC=AD，所以cos∠ACD=又105解得AC=AD=1010在△ABC中，AB所以AB=1015由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于40×2000=80000元，故预算资金够用．【解析】【分析】（1）设∠ACB=∠ACD=θ，根据题意利用同角三角函数的基本关系可求出sinθ，再利用二倍角的正弦公式可求出sin2θ，在△BCD中，利用正弦定理可求出sin∠BDC的值；

（2）在△BCD中，利用余弦定理可求出CD，在△ACD中，由AC=AD，cos∠ACD=cos∠ADC=cos∠ACB=1018．【答案】（1）解：由题意，acosB+bcosA=2ccosA，由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin(A+B)=2sinCcosA又A+B=π−C，从而sin(A+B)=sinC=2sinCcosA所以cosA=12，（2）解：如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线，

设P，Q分别为BC、AC上任意一点，PQ=PG+GF+FQ，

|PQ|=|PG+GF+FQ|≤|PG|+|GF|+|FQ|=HG+GF+FE=HE=a+b+c2，

即PQ的长小于等于△ABC周长的一半，当PQ与HE重合时取等，

同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于△ABC周长的一半，因此区域D的“直径”为△ABC的周长l的一半，

由正弦定理得：a=2sinπ3=