河北省沧州市运东四校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（含答案）

河北省沧州市运东四校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是（）A．零向量没有方向B．共线向量一定是相等向量C．若向量a,b同向，且|D．单位向量的模都相等2．已知复数z满足(3−4i)z=5，则z=（）A．45−35i B．353．下列说法中错误的是（）A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（）A．平行 B．相交C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内5．如图所示，在直角坐标系中，已知A(1,0)，B(−1,2)，A．42 B．32 C．226．已知向量a=(−1,1),bA．(12,12) B．(7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(AB+12BCA．正三角形B．一个内角余弦值为12C．底角余弦值为14D．底角正弦值为148．如图，在△ABC中，AC=BC，D在边AB上，∠ACB=3∠BCD，4AD=5DBA．−2425 B．−732 C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数z=3−2A．z的虚部为2B．z是纯虚数C．z的模是11D．z在复平面内对应的点位于第四象限10．在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（）A．AD−AB=2C．AF+AE=2(11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=9，a=2c，B=πA．△ABC的外接圆的面积为27πB．△ABC的周长为9+9C．△ABC是直角三角形D．△ABC的内切圆的半径为(9−3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知(2−i)x=4+yi，其中x，y是实数，则x+y=．13．如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的塔高，无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为500m，在C处测得塔底A（即小山的最高处）的俯角为45°，塔顶B的俯角为30°，向山顶方向沿水平线CE飞行50m到达D处时，测得塔底A的俯角为75°，则该座小山的海拔为m；古塔AB的塔高为m．14．在△ABC中，已知向量AB与AC满足(AB|AB|+AC四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z=(2−i)m（1）当m为何值时，z为纯虚数?（2）当m=2时，求z⋅z16．已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形．（1）若该几何体的高为2，求该几何体的体积V；（2）若该几何体的侧棱长均为41217．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin（1）求角A；（2）若△ABC的面积为1，求a的最小值．18．如图，在△ABC中，D，E是边BC上的两点，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠BAC=2π（1）若sin∠DAE=513（2）求证：sin∠AED=19．若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①|AB|=|AC|；②存在异于点A的点G使得：AG与（1）求∠BAC；（2）若A(−1,0)，B(2,（3）记a，b，c中的最小值为min{a,b,c}，若|AB|=2

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、零向量的方向是任意的，故A错误；B、相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；C、向量不可以比较大小，故C错误；D、单位向量的模为1，故D正确.故答案为：D.【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：由(3−4i)z=5，可得z=5故答案为：D．【分析】根据复数的乘除运算求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：A、棱台的上、下底面是相似且对应边平行，故A正确；

B、用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台和圆锥，故B正确；

C、直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥，而绕斜边所在直线旋转一周

所形成的几何体是同底的圆锥组合体，故C错误；

D、在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的

连线平行于轴时才是母线，故D正确.

故答案为：C.

【分析】根据棱台的结构特征即可判断A；根据圆锥的结构特征即可判断B；根据旋转体的结构特征即可判断C；根据母线的定义即可判断D.4．【答案】D【解析】【解答】由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)，故答案为：D．【分析】由题意，结合直线与面之间的位置关系知当一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系便只能是平行或者这条直线在这个平面内，即可得出答案。5．【答案】D【解析】【解答】解：由图可知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BC=2，BC//△ABC的直观图是△A因为A'C'=AC=2，B故答案为：D.【分析】根据已知条件，作出△ABC的直观图，再计算面积即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可知：a→·b→=1,a→=2，

所以b在a7．【答案】C【解析】【解答】解：因为(AB所以|AC|=|AB|，即b=c，

即b=2a，即b=c=2a，三角形不可能为等边三角形和直角三角形，故AB错误；所以该等腰三角形底角的余弦值为cosC=该等腰三角形底角正弦值为sinC=故答案为：C．【分析】根据平面向量的线性运算可得b=c，由正弦定理可得b=2a，在△ABC中，求出cosC8．【答案】B【解析】【解答】解：设∠BCD=α，则∠ACB=3∠BCD=3α，∠ACD=2α，在△ACD中，由正弦定理可得：ADsin在△BCD中，由正弦定理可得：BDsin又因为AC=BC，∠ADC+∠BDC=π，所以CAsin所以ADsin2α=又因为4AD=5DB．所以AD所以cos∠ACD=故答案为：B．【分析】设∠BCD=α，在△ACD和△BCD中，分别利用正弦定理，结合AC=BC，∠ADC+∠BDC=π，得到ADsin2α=9．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、复数z=3−2i，则复数z的虚部为B、因为复数z=3−2C、|z|=3D、z在复平面内对应的点为(3,故答案为：CD．【分析】根据复数的有关概念即可判断AB；根据复数的模以及复数的的几何意义即可判断CD.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、EF=EC+B、2ECC、AF+D、AF⋅故答案为：ABD.【分析】根据平面向量的线性运算以及向量数量积的运算逐项分析判断即可.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为R，在△ABC中，因为b=9，B=π3，

由正弦定理可得bsinB=2R，即9sinπ3=2RB、由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，得到81=4c2+C、因为a=63，c=33，b=9，所以a2D、设内切圆半径为r，由12bc=12(故答案为：ABC.【分析】根据已知条件，利用正弦定理，求得外接圆半径为R，求出外接圆的面积即可判断A；根据条件利用余弦定理，可求得c=33，a=63，即可判断BC；设内切圆半径为r，利用1212．【答案】0【解析】【解答】解：因为(2−i)x=2x−xi=4+yi，所以2x=4−x=y，解得x=2，y=−2，所以x+y=0故答案为：0.【分析】根据复数相等的充要条件列式求解即可.13．【答案】475−253；【解析】【解答】解：在△ACD，CD=50,由正弦定理ACsin∠ADC又sin105°=sin75°=sin(所以AC=5012延长AB交CE于H，如图所示：

则AH=ACsin∠ACD=25因为无人机飞行的海拔高度为500m，所以该座小山的海拔为500−25(在△ABC中，∠ACB=45°−30°=15°,又sin∠ACB=sin(由正弦定理ABsin15°=故答案为：475−253；50【分析】在△ACD，根据已知条件，利用正弦定理得到AC=25(6+2)，延长AB交CE于H14．【答案】π【解析】【解答】解：设角A的平分线交BC于D，因为AB⋅AC=0，所以AB⊥AC设AB|AB|=AE，AC|AC|=AF，如图所示：

则AE+AF=AG，因为|因为(AB|AB|+综上可知：△ABC为等腰直角三角形且∠CAB=π2，所以故答案为：π4【分析】依题意可得AB⊥AC，设角A的平分线交BC于D，即可得到AD⊥BC，从而得到△ABC为等腰直角三角形，即可得解.15．【答案】（1）解：复数z=(2−i)m2−(1+3i)m−3+i(m∈R)若z为纯虚数，则2m2−m−3=0−m（2）解：当m=2时，复数z=3−9i，则共轭复数为z=3+9i故z⋅z【解析】【分析】（1）化简复数z，利用复数为纯虚数列式求解即可；（2）将m=2代入求得复数z以及共轭复数，再利用复数的乘法运算求解即可.16．【答案】（1）解：几何体的体积V=1（2）解：正侧面及相对侧面底边上的高h1左、右侧面的底边上的高h2故几何体的侧面面积S=2×(1【解析】【分析】（1）由题意，利用棱锥的体积公式求解即可；（2）先求出四棱锥正侧面和相对侧面底边上的高，再分别求左右侧面底边上的高，最后利用面积公式求解即可.17．【答案】（1）解：由asin(π又A+B+C=π，所以sinAcosC=因为C∈(0,π)，所以sinC≠0又A∈(0,π)，所以（2）解：因为△ABC的面积S=12bc由勾股定理及基本不等式可得a2=b2+故a的最小值为2．【解析】【分析】（1）由题意，根据诱导公式和正弦定理边化角可得sinAcosC=sinB（2）根据三角形面积公式，结合勾股定理、基本不等式求解即可.18．【答案】（1）解：因为AE平分∠BAC，∠BAC=2π3，所以因为AD⊥BC，sin∠DAE=所以cos∠DAE=在△ACE中，sin∠AEC=cos∠DAE=sinC=所以AEEC（2）证明：因为∠BAC=2π3，由S△BAC=S△BAE+因为AD⊥BC，12所以AD=3AB⋅AC2BC【解析】【分析】（1）由题意，根据同角三角函数基本关系求出cos∠DAE，再利用两角和的正弦公式求出sin（2）根据三角形面积公式可得AE=AB⋅ACAB+AC、AD=319．【答案】（1）解：因为AG与AB+AC同向，设则cos∠GAB=cos∠GAC=又∠GAB，∠GAC∈[0,π]．因为|AB|=|AC由AG⋅AB|又∠GAB∈[0,π]，所以∠GAB=π（2）解：由（1）知|AB|=|AC|，因为A(−1,0)，B(2,3)，C(x,y)(y>0)则(x+1)2+y2=12（3）解：设BC的中点为D，则AD=12(AB+AC)，又AG=所以∠