2024-2025学年湖北省高二年级上册期中联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年湖北省高二上学期期中联考数学检测试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.复数z=(l+i)’的共辗复数彳=（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

2.如图，VN5C斜二测画法的直观图是^A'B'C,AHB'C'的面积为那么V/8C的

面积为（）

22

2

C.4D.2

3.在VN5C中,设AB-a,AC=b,若。是线段8C中点,AE=2ED,贝ijBE=()

-^a--b--a+^b

A.33B.33

--a--b-^a+-b

C.33D.33

£

4.如图，三个元件1马Z正常工作的概率均为3,且是相互独立的，将它们接入电路

中，则电路不发生故障的概率是（)

157

A.9B.27C.27D.27

已知点（）

5.°°,°若曲线C上存在两点48,使△0/8为正三角形，则称c为「型曲

线.给定下列三条曲线：①y=f+5；②了=也下；③其中，是「型曲线

的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

6.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所

成角的正弦值为2,则此圆台与其内切球的表面积之比为（）

4137

A.3B.2C.6D.3

7.小明同学在某次数学测试中的成绩是班级第十五名（每位同学测试的成绩两两不同）

且小明同学的成绩恰好是该班成绩的第60百分位数，则该班的人数可能为（）

A.36B.41C.46D.51

8,正四面体0-/8C中，QA=ay点〃满足加=@+9+（27-了）℃,则.长

度的最小值为（）

4A/66^6瓜

----a----ci—ar~

A.5B.5C.3D.76a

二、多选题（本大题共3小题）

9.设/，加是两条不同直线，打，夕是两个不同平面，下列命题为真命题的是（）

A.若a，夕,/'a,贝”〃△或‘up

B.若/，则加〃a或加ua

C.若/〃氏〃a,贝I]/〃加

D.若/-L£,加则C分

10.有以下说法，其中错误的是（）

A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B.互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

C.事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与3中恰有一个发生的概率

大

D.事件A与事件3同时发生的概率一定比A与3中恰有一个发生的概率小

11.某四面体的棱中恰好有一条的长度大于2,则此四面体的体积可能是（）

x1

A.4B.2c.1D.2

三、填空题（本大题共3小题）

12.己知复数z满足匕-3+创=1,则目的最大值是.

13.如图，在梯形中，/B=45.,AB=36,BC=6,且工。一%若初，只是线

段8c上的动点，且因吊=1,则万而•市的取值范围为

AD

14,已知圆-4x-2町+4=0和直线G：y=x+2,折线G：y=|x-2|+2,若

C与G恰有一个公共点，则实数m=；若C与G恰有两个公共点，则实数

加的取值范围是.

四、解答题（本大题共5小题）

asinB=bcosA--

15.在三角形NBC中，内角加3C所对边分别为加Lc,已知I6人

（1）求角A的大小；

26

（2）若。=26,三角形的面积为了，求三角形/8C的周长.

16.在如图所示的四棱锥中，底面48。是梯形，且8CS/'面/BCD,

为SO的中点.

（1）若3=℃,证明：CD,平面&4C；

（2）已知/°=8,80=4,/8=2,斜线S3和平面/BCD所成角的正切值为2,求平面

/C。和平面so的夹角的余弦值.

22

17.已知椭圆瓦/+瓦一I""\"的焦点为月（一2•0）和凡（2百,0）,短轴长为今

（1）求椭圆£的标准方程；

（2）设椭圆上、下顶点分别为却鸟，过点°（°」）的直线4与椭圆£交于⑷8两点（不与

却巴两点重合）.证明直线/耳与直线8鸟交点的纵坐标为定值，并求出该值.

18.某校艺术团共有150人，男生与女生的比例是2:1.为了解艺术团全体学生的身高，

按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为30的样本，并观测样本身高数据（单位：

cm）.已知男生样本的身高平均数为169,标准差为底.下表是抽取的女生样本的数据:

抽取次序12345678910

身高155158156157160161159162169163

记抽取的第，个女生的身高为X，('=L2,3,…,10),样本平均数元=160,标准差s=而.

(1)用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺

术团女生总体身高在口60,165]范围内的人数；

72

(2)用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数〃和方差求〃，0的值;

(3)若女生样本数据在(于-2s，5+2s)之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余

女生样本身高的平均数与方差.(其中，样本平均数了=160,标准差s=A.)【参考

22

数据：V15~3.9；159=25281,169=28561.]

19.球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为&的球°,过

球面上一点A作两条大圆的弧益，AC,它们构成的图形叫做球面角，记作

&BAC(或4),其值为二面角B-/O-C的大小，其中点A称为球面角的顶点，大圆

弧/8,/C称为球面角的边不在同一大圆上的三点4B,C,可以得到经过这三点中任意

两点的大圆的劣弧ABgCA,这三条劣弧组成的图形称为球面YABC,这三条劣弧

称为球面VN8c的边，42，C三点称为球面V/2C的顶点；三个球面角44《民《C称

为球面V/8C的三个内角.

已知球心为°的单位球面上有不同在一个大圆上的三点A，B，C.

XL4二一

(1)球面V/5C的三条边相等(称为等边球面三角形)，若2,请直接写出球面

V/BC的内角和(无需证明)；

(2)与二面角类比，我们称从点尸出发的三条射线.，尸'IQ组成的图形为三面角，记

为尸一MNQ,其中点p称为三面角的顶点，尸初，尸称为它的棱，

称为它的面角,若三面角。-N5C的三个面角的余弦值分别为

也也工

①求球面V/BC的三个内角的余弦值；

②求球面VN2C的面积.

答案

1.【正确答案】A

【详解】（l+i>=l+2i+i2=2i,故共轨复数为-2i.

故选：A.

2.【正确答案】A

ZC'O'B'=-SA,B,C,=-A'B''O'C'sin—O'C

【详解】由4则“244

S.„r=-AB-OC=-A'B'-20'C'=A'B'-O'C

如图，作出还原后'ABC,则c22

故S^AB'C，所以S“BC=

故选：A.

【详解】

/JE\

/i--------------------

__►______2_____►?1z~~~►_______►2___1__►2_1一

BE=AE-AB=-AD-AB=-x-(AB+AC)-AB=——AB+-AC=——a+-b

332、)3333

故选：D.

4.【正确答案】C

【详解】记】正常工作为事件A,乙正常工作为事件B,记4正常工作为事件C,

贝U尸(/)=P(8)=尸(。)=3,

电路不发生故障，即［正常工作且％,1至少有一个正常工作,

尸=1-(1--)(1-1)=—

心、4不发生故障即心,4至少有一个正常工作的概率1339,

所以整个电路不发生故障的概率为P=P(/)XxP1=-L3Xxl9=-_2L7.

故选：C.

5.【正确答案】D

572

【详解】对于①，。(0,0)到直线了二一无+5的距离为〒，若直线上存在两点A，B,使

,\OB\=\OC\=—

为正三角形，则3,

-----xy——%+y=

以。为圆心，以3为半径的圆的方程为-3,联立〔3,如图，可求

解出两解，所以曲线①是「型曲线.

对于②，了=收二3化为/+必=2。'0),图形是半圆(包括端点)，则由。(0,0)为顶

点的60°角两边能与半圆找到交点，故曲线②也是「型曲线，

八ooy——(X>0),八

对于③，过。分别作倾斜角为165和105的直线交X、/于45两点,

则06=60°,

-0°y=-—(X>0)

同时过。倾斜角为165和105的直线关于V=r对称，x''也关于^=—对称,

所以。/=08曲线C上存在两点43,使为正三角形，所以曲线③是「型曲线.

yk

故选：D

6.【正确答案】C

【详解】设上底面半径为3下底面半径为d

如图，取圆台的轴截面，作W加，垂足为

设内切球。与梯形两腰分别切于点E,F,

可知8C=《+G,BM=々_八,

ZB=-

由题意可知：母线与底面所成角为3,

BM_r2-r}

贝ijBC2,可得弓二34，

即BC=4八，BM=2八,可得CM=JBC?-BM2=2何

可知内切球°的半径r二6.，

2

可得,圆台=兀/+9兀片+兀（4+3外）x44=26兀1S球二471x(7^)=12K?]

S台_26M2_13

所以S球12叫26.

故选：C.

7.【正确答案】A

【详解】设班级的人数为X,由题意0.6x<x-14<0.6x+l,解得35<x<37.5,xeN.

故选：A

8.【正确答案】C

【详解】如图所示，延长。4。瓦℃至点2E,尸，使得诙=2逅,灰=2/，/=2区

QM=xQA+yQB+（2-x-y）QC=^QD+^QE+^—^^QF

所以222

x7（2-x-y）

---11-1

又由22---------2---------，所以A/,。,反尸四点共面，

所以的最小值，即为点A到平面。E尸的距离，

因为点A是8的中点，则点A到平面尸的距离是点0到平面DE尸的距离的一半,

又因为QD=QE=QF=DE=DF=EF=2a,所以三棱锥。一。跖为正三棱锥，

取等边ADEF的中心为。，连接0。,0°,可得0°，平面。即，

所以即为点°到平面。跳"的距离，

r>c2A2也a

DO=­x=-------

在等边ADEF,因为DE=DF=EF=2a,可得33,

QO=^QD2-DO2=J4a2-=—a

在直角中，可得"I3J3,

276

即点。到平面。跖的距离为3",

A/6

—a

所以的最小值为3.

故选：C

9.【正确答案】AB

【详解】对于A,若a，四/,a,则/〃?或/up,故A正确；

对于B,若则机〃a或加ua,故B正确；

对于C,若"，〃％〃〃a,则〃?，〃平行或相交或异面，故C不正确;

对于D,若/上民加,a,当机〃呼则a〃,，故D不正确.

故选：AB.

10.【正确答案】ACD

【详解】对于AB,投一枚骰子，事件A表示掷出的点数为2,事件B表出的点数为

3,

则事件A和B互斥，但不是对立事件，互为对立的事件一定互斥，故A错误，B正确;

对于C,当两个事件A和3互斥时，事件A和事件3至少有一个发生的概率

与A和&中恰有一个发生的概率相等，他们都等于「（/）+尸（3）,故c错误;

对于D,考虑投掷一个骰子的试验，样本空间为{1，2,3,4,5,6},

记事件'={123,4,5},事件8={2,3,4,5,6},

P（AB）=-

则事件A和&同时发生的概率3,

1

A和3恰好有一个发生的概率为3,故D错误.

故选：ACD.

11.【正确答案】ABC

【详解】设四面体/BCD,棱4B>2,而其余每条棱长都小于等于2,

设A到底面的高为力，在"CD中，A到CZ）的距离为4,则％2匕

1

>—a

若NE是A/8的高，则中有一条的长度-2，（设CD的长为。42）.

-A/16-£Z2

类似的，在△BCZ）中，点B到。的距离小于等于2

SBCD4—J16-

所以4

V.——h,SQ—Q（16—Q?）=—Q（4—Q）（4+Q）

RrnRrnV

所以，3"CD24V）24八）

1（。+4-。丫

（4+a）=-（4+a）＜-（4+2）=1

66

故选：ABC.

A

12.【正确答案】6

【分析】

先设出复数z=x+Wx，蚱R）,由已知得出复平面内点GM到G，一4）的距离为1；再结

合图象即可求出目的最大值.

【详解】

设2=工+y9”2,贝止-3+圳+-3+（y+4）i|=l,则@一3）2+G+4）2=1,即复平面

内点GM到GY）的距离为J.

又上3+j?表示复平面内点（*J）到原点的距离，结合图像可知：最大值为原点到

GT的距离加1,即柠不7+1=6.

故6.

13.【正确答案】L4」

【详解】以点B为坐标原点，5c所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系

xBy,

BC=6,/.C（6,0）,v|^5|=3s/2,ZABC=45°,/.^（3,3）

.••石=河,则“⑸,设“（X，。）,

贝l」N（x+l,O）（其中0Wx45）,

DM=(x-4,-3),DN=(x-3,-3)

2-7X+21=

35

x——------------►►---------------------►

所以，当2时，取得最小值4,当x=0时OM.DN取得最大值21.

A

故

14.【正确答案】-4±4及（L+8）

【详解】由题意可知：圆C可化为（x-2）2+（y-用）2=疗表示圆心为c（2"）,

半径为网的圆，故加4°，

12—777+21।।

------------------—^2

若C与G：x-y+2=°恰有一个公共点，则41,解得机=-4±4也;

法一，因为C与均关于直线x=2对称，注意到G与直线x=2的交点为Q，2）,

若C与G恰有两个公共点，等价于C与C?在（2,+s）内只有1个公共点，

且C不过（2,2）,此时Cz：y=x,

\y=x

联立方程+y2-4x-2my+4=0消去y得厂—（2+加）x+2=0,

即关于》方程“一（2+加卜+2=°在（2,+8）仅有一解，且解不为2,

m+2-加+2-空^2

----->2-----<2

222

4-2(2+m)+2<0甫2?-(2+机)x2+2<0_p.(2+加)2-4二0

则

解得加＞1,

所以实数m的取值范围是（L+8）.

法二，因为o与G均关于直线x=2对称，注意到G与直线x=2的交点为。，2）,

若C与G恰有两个公共点，等价于C与C?在Q,+8）内只有1个公共点，

且c不过（2,2）,

所以点（2,2）在圆。：/+/-4》-2叼+4=0内,

gp22+22-8-4m+4<0,解得力>1.

所以实数机的取值范围是（L+°°

故①-4±4拒；②0，+8）.

兀

15.【正确答案】（1）§

⑵2g+2

ab

bsinZ=6cosA——

【详解】（1）由正弦定理sin/sing得asin8=bsin”,所以I6

sinA=cosA——cos/+1sin/

I6

所以2,整理得sinZ=J3cos/,

,sin4

因为“«0,兀），所以sinN>0,tanA---------

因此cosN>0,所以cosA

A,=—兀

所以3

273一

（2）由V/8C的面积为3,得23，解得3,

b=-y/3c=—V3

又c=2b,则3,3

2人2cL,1648

a2c+b-2bccosA=----1--------=4

=2b+c=2V3

由余弦定理得333，解得。，，

所以V/BC的周长为20+2.

16.【正确答案】（1）证明见解析

7

⑵9

【详解】（1）因为平面48czUD,CZ）u平面/5C0,

可知SALAD.SALCD1

cQA=QD=SQ=-SD

在RtA"£>中，。为SO的中点，则2,

因为0/=℃,所以℃=B=S。，所以/S°=90。，gpSCVCD,

又因为"cSC=S,2u平面NCS,SCu平面/cs,所以CD,平面NCS.

（2）由题意可知：S/工平面"CD,

所以48是斜线P3在平面N8CD上的射影，即/S8/为S3和平面所成的角,

tan/SBA==2

在RSS/B中，AB,所以"=4

又因为故4B，40，/S两两垂直，

以A为坐标原点，以/氏/。,45所在直线分别为％轴，》轴，z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系，

则/（0,0,0）,2（2,0,0）,C（2,4,0）,D（0,8,0）,5（0,0,4）,0（0,4,2）,

可得而=（0,4,2）,就=（2,4,0）,丽=（0,8,-4）,而=（一2,4,0）,

设平面ACQ的法向量为ni=（%跖*1）,

-AQ=0J2必+Z[=0

则〔"『NC=°,即[x[+2"=0,可取4=（2,-1,2）;

设平面的法向量为“=k，%/2）,

*..

%.SD=0J2y2-z2=0

则四。。=0,即1_%2+2%=0,可取％=（2/，2）；

一一।々・%4-1+47

COS〃1,〃2=----―-------------------

卜21J4+1+4,—4+1+49

从而可知

7

所以平面"CQ和平面SCD的夹角的余弦值为9.

---1---=1

17.【正确答案】（1"64

（2）证明见解析，定值为4

【详解】（1）根据题意可得：c=2®2b=4,b=2,所以/=62+°2=16,

22

二+匕=1

因为焦点在X轴，所以椭圆E的标准方程为164；

（2）因为直线4过点0（°/），且与椭圆的交点不与用巴重合，

可知直线4的斜率存在,

且直线4与椭圆必相交，可设直线4：7="+1，/（再，%），3。2，%）,

y=kx+l

</y2_

联立方程［16十4一1，消去y可得（16/+4卜2+32痴-48=0,

8k12

x.+x=----——,xx=----——

由根与系数的关系可得：9必-+19-4F+1,

+

AP{:y=――-x+2BP2:y-x-2

因为“（°，2），6（°，-2）,可得直线再，直线马

必一2

kAP}演_马（%-2）_%2（向-1）_何%2-工2-（巧+工2）+玉

kBP^%+2芭（%+2）xx（kx2+3）kxxx2+3x1kxxx2+3^

所以%

nk（%k\4k

必一2

y-2_再_马（必一2）_迎（丘「1）

y+2）+2万（％+2）x{（kx2+3）y-2_1

%即y+2解得了=4,

所以直线'41鸟的交点尸在直线y=4上.

18.【正确答案】（1）20

（2）〃=166,cr2=49

20

（3）平均数为159,方差为§

2

【详解】（1）・.・在女生样本中，身高在160,165］的频率历一.

12

］50xx_20

二艺术团女生总体身高在『60,165］范围内的人数估计为X3X5~人.

（2）由题意知：男生样本的身高平均数为169,方差为39,

女生样本的身高平均数为160,方差15,

20x169+10x160

-----------------------=166

则总样本的平均数为30

、差为|x[39+(166-169)2]+1x[15+(160-166)2]=32+17=49

.•.〃=166,(y2=49

(X-25,X+25)=(160-2V15,160+2^/15(152.2,167.8)

\3)由屈、知：\'，

由样本数据可知-9如。-2而,160+2后)…69为偏离值，

亍=1x(160*10-169)=159

剔除169后，女生样本的身高平均数为9

\(10A1<10)10

S2=6gx,2-10x2=-£^-256000=15=256150

由1。3=1)1。1日)得：；=i

则剔除169后，女生样本的身高的方差为

22(

s'1-169-9^=1256150-28561-9x25281)=y

3兀

19.【正确答案】(1)2

\_n

⑵①5,0,2.②%

—/=—

【详解】(1)(1)由2可知dC在两个互相垂直(即交点处切线垂直)的大圆上,

/—~TT/~~TT

BC<~AB=AC<-

从而2,故2,

ZAOB=ZAOC=a&\0,-__

设I2」，则/8=/c=a,

a

从而阿一⑷一2sin],注意到3,C到直线/0的距离均为sine,故忸[=缶强

‘'ID/^|_IjD|VZsin6z=2sin—V2cos—=1

所以由=知目q—N回，所以2,即2,

71

a——

这得到2,

c

TT

ZAOB=ZAOC=-„

从而2,又D5°在两个互相垂直的大圆上，

ZBOC=-

故2,

从而°4。民℃两两垂直，

从而由°色℃在平面内交于点0,可知。/垂直于平面OBC,

而。/在平面和平面OAB内，

故平面0a垂直于平面0BC,同理平面垂直于平面0BC,

平面。28垂直于平面。C4,所以三个平面048,03C,0C/两两垂直，

MZ=KB=/C=—71

故由球面角的定义知2,

3兀

所以球面V4BC的内角和是T.

cosZAOB=—,cosZBOC=—,cosZCOA=-

(2)①由已知条件，可设333,

/(i,o,o),2g,中

如图，以0为原点，构建空间直角坐标系，则。(0,0,0),不妨设133)

设C（p,g,r）,则由|。4|=|。却=|。。|=1可知

1---------

—=cos^COA=OAOC=p

3；

—=cos^BOC=OB-OC=—p+—q

3