2024-2025学年北京某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京十九中高二(上)期中数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知向量之=(2,-1,3),b=(4,x,y),且源/石，贝咏+y=()

A.-4B.-2C.4D.2

2.如图，在平行六面体ABCD-Ai/CiDi中，若布

*=()

—>—>—>

A.a+b—c

B.a+b+c

―>—>—>

C.a-b-c

D.—CL+b+c

3.已知向量瓦？=(1,2,3),丽=(1,一2,1),点C为线段4B中点，则|瓦|=()

A.1B.A/2C.避D.平

4.已知直线小，直线九和平面a,则下列四个命题中正确的是()

A.若m//a,nccr,贝ijzn//nB.若m//a,n//af贝ijm//九

C.若m1a,n//af贝Um1nD.若m1n,n//af则m1a

5.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为根，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为()

42

A.16,B.16,1C.8,4^/3D.8,

3

6.已知直线/的方向向量为访，平面a的法向量为汇则“访•元=0”是ul//a,,的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知不重合的平面a与平面ABC,若平面a的法向量/=(—3,—1,2),屈=(1,0,—2),左=(1,1,1),则()

A.平面a〃平面718cB,平面a1平面4BC

C.平面a、平面4BC相交但不垂直D.以上均有可能

8.金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头,金刚石经常

呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美.下面给

出四个结论：

①4E〃平面CDF；

@AC1EB；

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E

③二面角E-BC-a的平面角余弦值为E；

④过点E至少存在一条直线与正八面体的各个面所成角均相等.y

其中所有正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4F

9.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著.其中卷五记载：“今有刍薨，下广三丈，表四

丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ-4BCD,下底面

ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面48CD上的投影为矩形48CD的中心。，PQ//AB,

AB=4,AD=3,PQ=2,OR=1（长度单位：丈）,则楔体PQ-4BCD的体积为（）（体积单位：立方丈）

A.10

B.8

C.6

D.5

10.如图，在棱长为2的正方体4BCD-刈8停1。1中，E为BBi的中点，F为线段B

G上的动点.给出下列结论错误的是（）

A.三棱锥尸-4。速体积为定值

B.存在唯一点F使EF1DiF

C.若则点F轨迹的长度为2

D.平面2DF截正方体表面得到的截面所有边长之和为3潟+2根

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.若直线a的方向向量是五=（1,一1,2）,平面a的法向量是m=（-2,0,3）,则这

条直线a和这个平面a的位置关系是.（填写“面内、相交、平行”中的一

种）

12.如果一个圆锥的底面半径为3,侧面积为18兀，那么圆锥的母线与底面所成

的夹角等于.（填写具体的角度大小）

13.如图，在正四面体。-ABC中，所有棱长均为2,若前=丽，ON=2NC,

OA=a,OB=b,~OC=c,则丽=；~NM-~OA=

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14.如图,在正四棱柱486—4/忑1。1中，141=228=2BC=2.若M是BBi的中点,

则DM与BC所成角的余弦值为；正四棱柱的外接球表面积为.

15.如图，在长方体ABCD-TliBiCiDi中，CCr=CrDr=2,C1B1

=1,点P为线段B为上一动点，则丽•丽的最小值为.

16.如图，已知菱形4BCD中，AB=2,ABAD=120°,E为边BC的中点，将△力BE沿4E翻折成△48+(

点当位于平面4BCD上方)，连接&C和&D,广为治。的中点，尸在平面4ECD的射影为V,则在翻折过程

中，给出下列四个结论：

①CF〃平面ABm；

②4Bi与CF的夹角为定值,

③三棱锥以-力ED体积最大值为亨;

④点尸'的轨迹的长度为1.

其中所有正确结论的序号是

三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC-4道道1中，XXt=AC=4,AB=3,BC=5.

(1)求直线A/与直线C4所成角的余弦值；

(2)求直线A/与平面AiCB所成角的正弦值；

(3)求点名到平面41cB的距离.

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18.(本小题12分)

如图，在四棱柱4BCD-4&的。1中，A%，平面A8CD,底面48CD是边长为1的正方形，侧棱44=2.

(I)求证：QD〃平面

(II)求证：AC15C1；

(IH)求二面角Ci-BD-%的余弦值.

19.(本小题12分)

如图，在多面体力BCDEF中，梯形4DEF与平行四边形A8CD所在平面互相垂直，AF//DE,DE1AD,

AD1BE,AF=AD=^DE=1,AB=”.

(1)求证：BF〃平面CDE；

(2)判断线段BE上是否存在点Q,使得平面CDQ1平面BEF?若存在，求出瞿的值，若不存在，说明理

DC

由.

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参考答案

l.c

2.C

3.0

4.C

5.D

6.B

7.C

8.D

9.D

10.B

11.相交

12.J

1—>1—>9—>55

13.于+为一手；

33

14.乎67r

15.1

16.①②④

17.解：（1）在△ABC中，由48=3,AC=4,BC=5,可知AB1AC；

再由直三棱柱性质可知4B,AC,44i两两垂直，

以4为坐标原点，AC,AB,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如下图所示:

可知4(0,0,0),Bi(0,3,4),C(4,0,0),4式0,0,4),

所以福=(0,3,4),E=(-4,0,4),

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福.两—16=2也

因止匕cosVA,B-y,C>=

\ABl\\CAl\-5X4^/25-

可得直线ABi与直线CAi所成角的余弦值为呼.

(2)又易知B(0,3,0),可得品=(4-3,0),

结合(1)中结论可设平面41CB的一个法向量为日=(x,y,z),

.(n1BC.(n-BC=4x-3y=0

则n自1两，所以1•两=—4x+4z=0,

令第=3,可得y=4,z=3,

即可得7=(3,4,3),

设直线//与平面AiCB所成的角为仇

|/8「三|_24=12群^

则sin。=|cos<ABn>\=

lf|函|同-5x73485-,

即直线AB】与平面41cB所成角的正弦值为器1

(3)易知函=(-4,3,4),又1=(3,4,3)可知,

点当到平面的距离为d=匹空兽=葛=噌.

\n\7”17

18.1?：(I)证明：因为B1C1//BC、B1C1=BC,AD//BC,

AD=BC,

所以BiCJ/AD、B1C1=AD,所以四边形团的口力为平行四边

形，

所以。山〃幽，岫＜=平面4BB遇0平面ABB遇口

所以的。〃平面483遇1；

(II)证明:连接BO,因为力Bi1平面4BCD,

由(I)知所以JO1平面ABC。，

又因为力Cu平面4BCD,所以AC1C1D,

因为四边形ABC。是正方形，所以4c1BD,

又因为Ci。CBD=D,所以AC1平面CiBD,

因为CiBu平面CiBD,所以AC1BCi；

(HI)因为也1平面4BCD,所以ABr1AB,

又因为4BCD是正方形，所以4B1AD,

于是4D、AB.两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

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4(0,0,0),S(0,l,0),C(l,l,0),D(l,0,0),-1,®

可知平面CiBD的法向量为为=AC=(1,1,0),

5B=(-1,1,0),西=(0,-1,避)，

设平面BDDi的法向量为元=(x,y,z),

则［瑞^=-^+=0,令丫=3贝历=(居居1)，

所以二面角Ci-B。-小的余弦值为照要=等"=埠.

|m|•\n\J2.177

19.解：(1)证明：•••底面28CD为平行四边形，AB//CD,

又ABC平面CDE,CDu平面CDE,

〃平面W,同理”〃平面CDE,又4BCiAF=4

二平面A8F〃平面CDE,又BFu平面ABF,

BF〃平面CDE；

(2)如图,连接BD,

•.•平面4DEF1平面力BCD,平面4DEFCl平面力BCD=AD,

DE1AD,

DE1平面ABCD,•••DE1DB,又DE1AD,AD1BE,DEClBE=E,

：.ADJ.平面8DE,AD1BD,

DA,DB,DE两两垂直，

・•