2024-2025学年北师大版九年级下册数学《二次函数》寒假巩固提升训练题

2024-2025学年北师大版九年级数学下册

《第2章二次函数》寒假巩固提升训练题（附答案）

一、单选题

1.某工厂1月份的产值为500万元，平均每月产值的增长率为无，则该工厂3月份的产值y与％之间的函数

解析式为（）

A.y=500（1+x）B.y=500（1+x）2C.y=x2+500%D.y=500x2+x

2.关于二次函数y=2024/的图象的性质下列说法中错误的是（）

A.图象有最高点，最大值为0B.函数图像关于y轴对称

C.%<0时，y随x的增大而减小D.x>0时，y随x的增大而增大

3.已知抛物线y=/一bx+c与x轴交于点4（一1,0）,5（3,0）,则关于x的方程/一bx+c=0的解是（）

A.与=—1,x2=—3B.与=-1,x2=3

C•%1—1,%2=-3D.%1—1,%2=3

4.下列平移中，不能使二次函数y=/+2久—2经过点（一1,1）的是（）

A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位

C.向下平移3个单位D.向上平移4个单位

5.如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+2（a羊0）与丫=-a/一2x（a乎0）的图象可能是（）

水面宽4m,若水面下降2.5m,那么水面宽度为（）

A.5mB.6mC.8mD.9m

7.如图，正方形。ABC的顶点B在抛物线y=/的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，点C

的横坐标为-1,则点4的横坐标为（）

A.3B.4C.3.5D.2

8.二次函数y=ax2++c（aK0）的图像如图，给出下列四个结论：①4ac-b2<0；②4a+c<26；

③3b+2c<0；（4）m（am+b）+b<a,⑤点（一4,%）,（1,%）都在抛物线上，则有y1<y2・其中正确的

结论其中正确结论的个数是（）

A.①③④B.②④⑤C.①③⑤D.②③④

二、填空题

9.若y=（巾+2）工/-4+3x—2是二次函数，则的值是.

10.抛物线丫=/-2%+3的对称轴是,顶点坐标是.

11.在平面直角坐标系中，二次函数丫=尤2+2%-4的最小值为.

12.汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间单位：s）的函数解析式是s=15t-6t2,则

汽车刹车后到停下来前进了m.

13.已知抛物线y=a/+.+c中a>0,且与其轴交于点（一3,0）,（1,0）求当y>0时，自变量x的取值范围

是.

14.某养殖户用80米长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾.如图，该长

方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是一平方米.

2

15.如图，直线%=mx+n与抛物线=x+bx+c交于4B两点，其中点4（2,-3）,点B（5,0）,当y1>y2

时，久的取值范围是

16.如图，已知抛物线y=—/—3x+4,点尸是抛物线上一动点.当点尸在第二象限，NP82=45。时,

点P的坐标是.

三、解答题

17.已知二次函数y=/+2x—3.

(1)将y=x2+2x-3化成y=a(x-h)2+k(a*0)的形式，并写出其图象的顶点坐标；

⑵求此函数图象与x轴交点的坐标.

18.已知：二次函数y=尢2—加久+7n—2.

⑴若图象经过原点，求二次函数的表达式；

⑵求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点.

19.如图，二次函数y=(x+2)2+爪的图象与y轴交于点C,点8在抛物线上，且与点c关于抛物线的对称

轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点2(-1,0)及点B.求二次函数与一次函

数的解析式.

20.中国元素遍布巴黎奥运会的每一个角落.某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自

奥运会开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x（l＜久〈20,且x为整数）天与该天销售量y（单位，

件）之间满足的函数关系如下表所示.为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（单

位：元）与第x（l〈xW20,且x为整数）天之间成一次函数关系且满足z=-4x+100.已知该纪念品

的成本价为20元/件.

第X天1234567

销售量W件220240260280300320340

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）求这20天中，第几天的销售利润最大，并求出最大利润；

⑶商店决定从第10天开始，每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价。元销售，销售第x天与该天

的销售量y之间仍然满足原来的函数关系，问第几天的销售利润取得最大值？

21.如图，抛物线、=口*2+.+（:过点4（0,3）、B（l,0）、C（-l,8）,顶点为

（1）求该二次函数的解析式；

⑵求顶点M的坐标；

（3）x轴上是否存在一点尸，使得P4+PM的值最小？若点尸存在，求出点P的坐标.

（2）若点P是直线8C下方抛物线上一动点，连接PC,PB,当APBC的面积最大时，求点尸的坐标及面积的最

大值；

⑶在（2）的条件下，若点N是直线BC上的动点，在平面内的是否存在点。，使得以PB为边、以尸、B、N、

。为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有。点的坐标:若不存在，请说明理由.

参考答案:

题号12345678

答案BABCDBAC

1.解：1月份产值是500万元，增长率是x,则2月份产值是500(1+%)万元，3月份产值

是500(1+无产万元，

团y=500(1+%)2.

故选:B.

2.解：团二次函数解析式为y=2024/,2024>0,

团二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0),

回函数图像有最低点，最小值为0,函数图像关于y轴对称，在对称轴右侧，y随工的增大而增

大，在对称轴左侧y随％的增大而减小，

以V0时，y随％的增大而减小，%>0时，y随％的增大而增大，

国四个选项中，只有A选项说法错误，符合题意，

故选：A.

3.解:回y=/一。=+>与尤轴交于点4(一1,0),8(3,0)两点，

团方程％2—bx+C=0的两个根为%1=—1,x2=3,

故选：B.

4.C解：抛物线y=%2+2x—2=(%+I)2—3,

则当向左平移2个单位，得到y=(%+1+2)2-3=(%+3乃一3,

当％=-1时，y=l,抛物线经过(一1,1),故此A不符合题意；

则当向右平移2个单位，得到y=(x+1-2)2-3=(%-I)2-3,

当久=-1时，y=1,抛物线经过(一1,1),故此B不符合题意；

则当向下平移3个单位，得到y=(%+1)2-3-3=(%+I/-6,

当％=-1时，y=-6,抛物线不经过(一1,1),故此C符合题意；

则当向上平移4个单位，得到y=(x+I)2-3+4=(%+I)2+1,

当汽=一1时，y=l,抛物线经过(一1,1),故此D不符合题意；

故选：C.

5.角军：y=ax+2,

:•b=2,

・•・一次函数图象与y轴的正半轴相交，

①当a>0时，

则二次函数y=-ax2-2x（a丰0）的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线x=—3=

-i<0,

a

②当Q<0时，

则二次函数y=-ax2-2x（a。0）的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线式=-?=

—2a

1

-->0,

a

故D正确；

故选：D.

6.解：如图，以4B中点。为原点建立平面直角坐标系，

WA=OB=1AB=2m,

财（-2,0）,B（2,0）,

回。C=2m,

13c坐标为（0,2）,

设抛物线解析式为y=a%2+2,

把4（一2,0）代入得0=4a+2,

解得：a=—

回抛物线解析式为y=-|x2+2,

当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-2.5时，对应的抛物线上两

点之间的距离，

把y=—2.5代入抛物线解析式得出：—2.5=-|%2+2,

解得：x=±3,

回水面宽度为3-(-3)=6(m).

故选：B.

7.解：由题可得:设B82K)

团点B在抛物线y=/的第一象限的图象上，

0x2=2x

解得：%1=2或久2=0(舍去)，

站(2,4),

0OS=V22+42=2A/5,

回四边形04BC为正方形，

回。a=oc=VTo,

过点C作CD1久轴于点D,过点4作AE1无轴于点E,

团NCOO+"CO=90。，4COO+Z.AOE=90°,

回乙40E=LDCO,

团OC=AO,(CDO=Z.OEA=90°,

[HACDO=△OEA,

团CO=OE,

回点c的横坐标为-1,

回。O=1

团在RtACD。中，CD=y/OC2-OD2=J(VlO)2-l2=3,

HOF=3,

点a的横坐标为3,

故选：A.

8.解：团二次函数图像与％轴有两个交点，

团对于方程a/+&%+c=。有两个不相等的实数解，即有/—4ac>0,

[Mac-b2<0,故结论①正确；

回二次函数图像对称轴为％=-1,且当久=0时，有y>0,

回由抛物线的对称性质可知，当％=-2时，可有y=4a—2b+c>0,

04a+c>2b,故结论②不正确；

回二次函数图像的对称轴为x=-二=一1,

2a

M=2a,

又团当％=1时,可有y=a+b+c<0,

回2a+2b+2cVO,

回3b+2c<0,故结论③正确；

团二次函数图像的对称轴为久=-1,且开口向下，

团当％=—1时，y取最大值，止匕时y=a—b+c,

令％=m(mH—1),可有y=am2+bm+c<a—h+c,

0am2+bm<a—b,

0m(am+b)+b<a,

而本结论中没有说明血。-1,故结论④不正确；

团二次函数图像的对称轴为％=-1,且开口向下，

回数轴上的点距离对称轴越大，函数值y越小，

团|—4—(—1)|=3>[1—(—1)|=2,

回、1<、2，故结论⑤正确•

综上所述，结论正确的有①③⑤.

故选：C.

9.解：y=(m+2)xm2-4+3x—2是二次函数，

••・TH+2H0,m2—4=2,

・•・mW—2,m=+V6,

故答案为：±6.

10.解：=%2—2%+3=(x—l)2+2,

团抛物线对称轴为直线％=1,顶点坐标为(1,2).

故答案为：直线％=1；(1,2).

11.解：•・,y=/+2%—4=(x+I)2—5,

当％=-1时，取到最小值为：-5,

故答案为：-5.

12.解:根据二次函数解析式s=15t—6t2=—6(t—1f+g

当t=：时，s取得最大值3

48

即汽车刹车后到停下来前进的距离是

O

故答案为：

O

13.解：1抛物线y=ax2+Z?x+c中a>0,

・•・抛物线的图象开口向上，

••・抛物线y=ax2+b%+c与％轴交于点(一3,0),(1,0),如图，

当y>0时，二次函数图象在x轴上方，

•••x<—3或%>1,

故答案为：％V—3或%>1.

14.解：设养殖园的面积为S平方米，宽为万米，则长为医竺=(40-2%)米，

根据题意，得S=x(40-2x)

=-2x2+40%

=一2(久一10)2+200,

团一2<0,

回开口向下，

团当x=10时，S最大，最大值为200.

即围成养殖园的最大面积200平方米.

故答案为：200.

15.解：由题意知，当yi>、2时，则力的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有

的X的取值，

回图象交于点4(2,-3),点B(5,0),

团当yi>丫2时，2cx<5,

故答案为：2<x<5.

16.解：如图，连接PB,作PD_Lx轴于D,

在y=—/—3刀+4中，令y=0,则———3x+4=0,

解得：K1=—4,%2=1，

EB(l,0),

回点尸是抛物线上一动点，

回设P(m,—Hi?—36+4),贝UPO=—m?—3m+4,BD=1-m,

EINPBA=45°,

0APBD为等腰直角三角形，

SPD=BD,HP—m2—3m+4=1-m,

解得：m=-3或m=1,

回点尸在第二象限，

0m=-3,

El—m2—3m+4=—3)2—3X(—3)+4=4,

IBP(-3,4),

故答案为：(—3,4).

17.(1)解：由y=/+2x—3=(x+1)2—4,

回顶点坐标为(一1,-4)；

(2)解：令y=0,即/+2%-3=0,

解得：K1=-3,久2=1，

回函数图象与x轴交点的坐标为(一3,0),(1,0).

18.(1)解：•・・抛物线经过原点.

••・把(0,0)代入y=x2—mx+m—2,

得：m—2=0,

解得TH=2,

・•・二次函数的表达式为y=%2-2x.

(2)证明：令y=0,则％2—+772—2=0.

A=(-771)2—4(771—2)

=m2—4m+8

=(m—2)2+4.

v(m—2>>0.

(m-2)2+4>0.

・•.方程有两个不相等的实数根.

・・.无论m为任何实数，该二次函数的图象与%轴都有两个交点.

19.解：团二次函数y=(%+2尸+血的图像过点4(一1,0),

团0=(-1+2)2+771,

团771=—1,

回二次函数的解析式为y=(%+2)2-1,

化成一般式为y=%2+4%+3,

当汽=0时，得：y=3,

回C(0,3),

回点3在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，

回点8、点C的纵坐标相等，

团当y=3时，得：%2+4%+3=3,

解得：%=-4或%=0,

瓯(-4,3),

团一次函数y=kx+b的图像经过点/(一1,0),8(-4,3),

(—k+b=0

t—4/c+5=3'

回一次函数的解析式为y=-x-1,

即：二次函数的解析式为y=/+4x+3,一次函数的解析式为y=1.

20.(1)解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得y是x的一次函数，

设丫=k％+6,把x=l,y=220,x=2,y=240代入可得：

｛猊［=2黑，解得:M=20；

12k+b=2403=200

也关于x的函数表达式为y=20%+200(1<%<20)；

(2)解：设总利润为w元，则

w=y(z-20)

=(20%+200)(-4%+100-20)

=—80%2+800%+16000

=-80(%-5)2+18000；

回一80<0,

团当％=5时，w取得最大值，

所以，第5天利润最大，最大利润为：w=18000(元)；

(3)解：设第x天的销售利润为吻元，

当49时，同(2)当％=5时，Wi取得最大值，最大利润为：w=18000元；

当10<％〈20时，

Wi=(20%+200)(-4%+80—a)

=—80%2+(800—20a)%+200(80—a),

b800-20a40-a

以=---=----:——T=----------，

2a2x(-80)8

0-80<0,所以抛物线开口向下，又10WXW20,

40-a-

0%=-----<5,

8

回当X>竽时，也随尤的增大而减小，

8

当％=10时有最大值，最大值为=-80X102+10X(800-20a)+200(80-a)=16000-

400a,

而16000-400a<18000,

综上：第5天的销售利润取得最大值.

21.(1)解：依题意，

把4(0,3)、8(1,0)、C(-l,8)代入y=a/+bx+c

(c=3ra=1

得｛a+b+c=0，解得｛5=—4

(a—b+c=8(c=3

回抛物线的解析式为y=/一4%+3；

(2)(2)由(1)得y=——4%+3=(%—2)2—1,

团顶点〃的坐标为(2,-1).；

(3)解：存在.理由如下

如图，连接与％轴交于点尸，即P/+PB的值最小.

设直线的解析式为y=kx+b

把4(0,3)和点M(2,-1)代入)/=入+6

(b=3

l2k+b=-l'

解得,广一;■

Ib=3

回直线AM的解析式为y=-2%+3.

当y=0时，由-2%+3=。得x=|,

回点P的坐标为(|,0).

22.(1)解：ry=ax?+b久一4交x轴于点4(一2,0)和点B(4,0),

.C0=4a—2b—4

•••b=16a+4b-4'

(a=-

•••J2,

Lb=-1

.・.y=-1x^o—X—4.;

(2)解：当x=0时，y=-4,

C(0,-4),

过点P作