2023年河北省中考数学一轮复习：全等三角形 练习题

2023年河北省中考数学一轮复习一全等三角形练习题

一、单选题

1.（2021・河北唐山・二模）如图，"8C中，AB>AC,/CAD为AABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹,

则下列结论错误的是（）

D

BfC

A.ZDAE=ZBB.ZEAC=ZCC.AE//BCD.ZDAE=ZEAC

2.（2022.河北唐山.二模）三个全等三角形按如图的形式摆放,则N1+N2+N3的度数是()

A.90B.120C.135D.180

3.（2022.河北石家庄.二模）观察下列尺规作图的痕迹：

B5CB'CBCBc

省②③④

其中，能够说明的是（）

A.①②B.②③C.①③D.③④

4.（2022・河北保定.二模）如图，是作AABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）

c

B

A.两角及夹边B.两边及夹角C.两角及一角的对边D.两边及一边的对角

5.（2022.河北沧州•一模）为了疫情防控工作的需要，某学校在门口的大门上方安装了人体体外测温摄像

头，当学生站在点B时测得摄像头M的仰角为30°,当学生走到点4时测得摄像头M的仰角为60°,则当

学生从B走向A时，测得的摄像头M的仰角为（）

学

校

大

门

A.越来越小，可能为20。B.越来越大，可能为40。

C.越来越大，可能为70。D.走到中点时，仰角一定为45。

6.（2022・河北•唐山市路北区教育局中教研二模）下列各图中，OP是NMON的平分线，点E,尸，G分

别在射线OM,ON,OP±,则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（）

7.（2022•河北邯郸三模）在正方形网格中，—493的位置如图所示，则下列各点中到—AC®两边距离相

等的点是（）

2

A.点QB.点NC.点RD.点M

8.（2021.河北石家庄.二模）如图，MAABC中，ZC=90°,利用尺规在5C,84上分别截取跖，BD,

使BE=BD；分别以。，E为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在/CBA内交于点/；作射线防

交AC于点G,若CG=1,P为AB上一动点，则G尸的最小值为（）

9.（2021•河北廊坊•一模）如图，在4Ao3和△（%）£>中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,

ZAOB=NCOD=36°.连接AC、BD交于点M,连接OM.下列结论：

①ZAAffi=36°;®AC=BD；③OM平分Z4OD；④MO平分N4WD

其中正确的结论个数有（）个.

A.4B.3C.2D.1

10.（2021・河北唐山・二模）如图，在AABC中，ZC=90°,ZA=30°,以点B为圆心，适当长为半径的画

弧，分别交BA,BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于：MN的长为半径画弧，两弧交于点P,

作射线BP交AC于点D,则下列说法中不正确的是（）

A.BP是NABC的平分线B.AD=BDC.SCBD:SABD=1:3D.CD=；BD

11.（2021・河北保定•一模）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分

别交AC,AB于点V,N,再分别以点N为圆心，大于:MN长为半径画弧，两弧交于点P,作射

2

线转交边8C于点。，若8=2,AB=7,则△ABD的面积是（）

c

B.30C.14D.60

12.（2021・河北唐山•一模）如图，在放△ABC中，ZC=90°,利用尺规在5C、5A上分别截取跳）、BE,

使BD=BE；分别以。、E为圆心，以大于的长为半径作圆弧，两弧交于点。；作射线2。交AC于点

F.若CF=2,点尸是上的动点，则EP的最小值为（）

DC

D.无法确定

13.（2021・河北邢台.一模）已知：在ABC中，AB=AC

求证：ZB=NC

证明：如图，作

在△ABD和...ACD中，

■ZBAD=ZCAD

AD=AD

.-.△ABD^AACD

.-.ZB=ZC

其中，横线应补充的条件是（）

A.3c边上高AOB.2C边上中线

C.NA的平分线ADD.BC边的垂直平分线

4

14.（2021・河北唐山•二模）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容.

如图，已知NA02,求作：ZDEF,使/DEF=/AOB.

作法：（1）以△为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,08于点P,Q；

（2）作射线EG,并以点E为圆心，。长为半径画弧交EG于点£＞；

（3）以点。为圆心，*长为半径画弧交前弧于点B

（4）作㊉，则/。EP即为所求作的角.

A.△表示点EB.。表示P。

C.*表示£1）D.㊉表示射线所

15.（2022•河北邯郸・一模）投影屏上是对“定理：角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明.

己知：如图，0c是-AO3的平分线，点尸是℃上任意一点，PE±OA,

求证：PE-PF.

证明：是-403的平分线，

ZPOE=NPOF,

•/PE_LOA,PFVOB,：,NPEO=NPFO,

.POE^POF,PE=PF.

小明为了保证以上证明过程更加严谨，想在投影屏上/尸石0=/尸尸0”和“；.POE乌尸。尸’之间作补充,

下列正确的是（）

A.投影屏上推理严谨，不必补充B.应补充：“又〈2OPE=NOPF”

C.应补充：“又OE=OFQP=OP"D.应补充：“又OP=OP"

二、填空题

16.（2021.河北唐山.一模）在x轴，y轴上分别截取。1,OB,使。1=03,再分别以点A,B为圆心，以

大于［A3长为半径画弧，两弧交于点P.若点P的坐标为（。,2"-3）,则。的值为.

17.（2021•河北石家庄•三模）如图，线段AC、BD交于点O,请你添加一个条件:,®AAOB-ACOD.

18.（2022.河北邢台•二模）如图，点尸为定角/AOB的平分线上的一个定点，点N分别在射线。4,

08上（都不与点。重合），且NMPN与互补.若/MPN绕着点、P转动,那么以下四个结论：①P

M=PN恒成立；②的长不变；③。M+ON的值不变；④四边形PMON的面积不变.其中正确的为

19.（2022.河北邯郸.三模）嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法:

①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A,末端落在地面C处；

②把竹竿顶端沿AB下滑至点。，使,此时竹竿末端落在地面E处；

③测得破的长度，就是的高度.

以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法（用字母表示）.

三、解答题

20.（2022.河北•平泉市教育局教研室二模）如图，BD=BC,点E在8C上，S.BE=AC,DE=AB.

6

A

B

D

⑴求证：ABC乌EDB；

(2)判断AC和BO的位置关系，并说明理由.

21.(2022・河北唐山•一模)如图，C是A8上一点，点。、E分别位于A8的异侧，AD//BE,MAD=BC,

AC=BE.

(1)求证：CD=CE；

(2)当时，求B尸的长;

(3)若NA=a,ZACD=25°,且△的外心在该三角形的外部，请直接写出a的取值范围.

22.(2021•河北承德•一模)如图，点C,A,0,B四点在同一条直线上，点。在线段OE上，且。4=0D,

AC=DE,连接CO,AE.

(1)求证AE=CD；

(2)写出Nl,N2和NC三者间的数量关系，并说明理由.

23.(2021・河北唐山•二模)下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图，直线/和直线/外一点P.

求作：直线尸Q,使直线尸。〃直线/.

作法：如图，

①在直线/上取一点A,连接出；

②作出的垂直平分线MN,分别交直线/,线段以于点8,O-,

③以。为圆心，。2长为半径作弧，交直线于另一点。；

④作直线尸。所以直线尸。为所求作的直线.

根据上述作图过程，回答问题：

(1)用直尺和圆规，补全图中的图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明：

证明：•.,直线是E4的垂直平分线，

,NPOQ=NAOB=90°.

：.APOQ^^AOB.

.,.PQ//1()(填推理的依据).

8

参考答案：

1.D

【解析】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得NDAE=/B,故A选项正确，

；.AE〃BC,故C选项正确，

/.ZEAC=ZC,故B选项正确，

VAB>AC,AZOZB,AZCAE>ZDAE,故D选项错误，

故选D.

本题考查作图一复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质.

2.D

【解析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360°,Z5+Z7+Z8=180°,BPZ1+Z2+Z3=360°-180°.

解：如图所示：

•.•图中是三个全等三角形，

Z4=Z8,Z6=Z7,

又：三角形48（7的外角和=/1+/2+/3+/4+/5+/6=360°,

又N5+N7+/8=180°,即N5+N6+N4=180°,

Zl+Z2+Z3=360°-180°=180。，

故选：D.

本题主要考查了全等三角形性质以及三角形的内角和定理，解题关键点：熟记全等三角形的性质.

3.C

【解析】根据中垂线、角平分线、画等长线段以及作角平分线等知识点解答即可.

解：如图①为作3c的中垂线，即由在△ABC中/1£»+OC>AC,即A£»+Z）B>AC,可判AB>AC；

如图②为作/48C的角平分线，无法判定AB>AC;

如图③为以AC为半径画弧交AB于。，即AB>AC;

如图③为作/AC8的平分线，无法判定

9

综上，①③正确.

故选C.

本题考查了基本作图和三角形的三边关系，掌握基本作图方法是解答本题的关键.

4.B

【解析】观察图像可知已知线段AB,AC,ZA,由此即可判断.

解：根据作图痕迹可以知道，NA为己知角，和AC是已知的边，

符合“两边及夹角”，

故选：B.

本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型.

5.B

【解析】根据三角形的外角的性质以及解平分线的性质可得结论.

解：不是AMDC的外角又

又NMCF=60°,NMDC=30°

摄像头M的仰角的范围为：越来越大，大于30。而小于60。

所以，选项4越来越小，可能为20。说法错误；

B.越来越大，可能为40。，说法正确；

C.越来越大，可能为70。，说法错误；

D.走到A2中点时，仰角一定为45。，说法错误，

此选项证明如下：

DUC的外角

ZMCF=ZMDC+ZDMC

：.ZDMC=ZMCF-ZMDC

,/ZMCF=60°,ZMDC=30°

/.ZDMC=60°-30°=30°

10

设点。为CO的中点,

CO=DO

过点。作OG1DM于点作交MC的延长线于点H,连接MO,如图,

测温摄像头金M

学

校

大

门

£、〃6

.,.ZOHC=ZOGD=90

ZFCM=60°

；•NOCH=60°

NCOH=36

：.ZCOH=ZODG=30°

在4。。8和小ODG中，

ZCOH=ZODG

<CO=DO

NOHC=NOGD=90。

：.△COH=AODG(ASA)

：.OG=CH

,?CH丰OH

：.OG手OH

M。不是的平分线，

/.ZDMO^-ZDMC

2

ZDMO^15°

：.ZMOD^45°

所以，选项D说法错误，

故选：B

本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三

角形是解答本题的关键.

6.D

由角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：GE±OM,GFION.

11

故选：D

7.D

【解析】根据角平分线性质得出当点在NA08的角平分线上时符合，根据图形得出即可.

解：：当点在NAOB的角平分线上时，到角的两边的距离相等，

根据图形可知M点符合.

故选：D.

本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.

8.C

【解析】当GPLAB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是NABC的角平分线，再根据角

平分线的性质可知，当GP_LAB时，GP=CG=1.

解：由题意可知，当GPLAB时，GP的值最小，

根据尺规作图的方法可知，GB是NABC的角平分线，

VZC=90°,

当GP_LAB时，GP=CG=1,

故答案为：C.

本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大,解题的关键是根据题意得到GB是NABC

的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理.

9.B

【解析】由SAS证明△AOCgABOD,得到/OAC=NOBD,由三角形的外角性质得：ZAMB+ZOBD

=ZAOB+ZOAC,得出/AMB=NAOB=36。，①正确；

根据全等三角形的性质得出NOCA=NODB,AC=BD,②正确；

作OG_LAC于G,OH_LBD于H,如图所示:则NOGC=NOHD=90。，由AAS证明△OCG0△ODH(AAS),

得出OG=OH,由角平分线的判定方法得出MO平分4④正确；

由NAOB=NCOD,得出当NDOM=NAOM时，OM才平分/BOC,假设NDOM=NAOM,由

AAOCgZ\BOD得出NCOM=/BOM,由MO平分/BMC得出NCMO=NBMO,推出△COM^ABOM,

得OB=OC,而OA=OB,所以OA=OC,而。4<OC,故③错误；即可得出结论.

VZAOB=ZCOD=36°,

ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,

即/AOC=NBOD,

在4AOCBOD中,

12

OA=OB

<ZAOC=/BOD,

OC=OD

AAAOC^ABOD(SAS),

.\ZOCA=ZODB,AC=BD,②正确;

.*.ZOAC=ZOBD,

由三角形的外角性质得：ZAMB+ZOBD=ZAOB+ZOAC,

・・・NAMB=NAOB=36。，②正确；

作OG_LAC于G,OHJ_BD于H,如图所示：

则NOGC=NOHD=90。，

在^OCG和^ODH中，

AOCA=AODB

<ZOGC=ZOHD,

OC=OD

.,.△OCG^AODH(AAS),

AOG=OH,

・•・欣?平分44AZD,④正确；

".'ZAOB=ZCOD,

・••当NDOM=NAOM时，OM才平分NBOC,

假设NDOM=NAOM

VAAOC^ABOD,

・・・NCOM=NBOM,

VMO平分NBMC,

AZCMO=ZBMO,

在^COM和^BOM中，

ZCOM=/BOM

<OM=OM,

ZCMO=ZBMO

13

.".△COM^ABOM(ASA),

；.OB=OC,

VOA=OB

；.OA=OC

与。1<oc矛盾，

.•.③错误；

正确的有①②④;

故选B.

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解

题的关键.

10.C

【解析】A、由作法得3。是NABC的平分线，即可判定；

B、先根据三角形内角和定理求出NABC的度数，再由BP是N4BC的平分线得出/48。=30。=/4,即可

判定；

C,D、根据含30。的直角三角形，30。所对直角边等于斜边的一半，即可判定.

解：由作法得3。平分NABC,所以A选项的结论正确；

VZC=90°,乙4=30。，

ZABC=60°,

ZABD=30°=ZA,

：.AD=BD,所以B选项的结论正确；

/CBD=；NABC=30。，

：.BD=2CD,所以。选项的结论正确；

：.AD^2.CD,

:.S4ABD=2S4CBD,所以C选项的结论错误.

故选C.

14

此题考查含30。角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计

算.

11.A

【解析】过点D作DELAB于点E,由题意易得CD=DE=2,进而根据三角形面积公式可求解.

解：过点D作DE_LAB于点E,如图所示：

TAD平分NCAB,ZC=90°,

・'•CD=DE,

VCD=2,

・・・DE=2,

・.•AB=1,

故选A.

本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键.

12.B

【解析】由作法得8尸平分/A8C,过尸点作口，区4于X,根据角平分线的性质可知FH=FC=2,再根

据垂线段最短即可求解.

解：由作法得取平分/ABC,

过F点作FHLBA于H,如图，

15

A

根据角平分线的性质可知：FH=FC=2,

:点尸是AB上的动点，FH1BA,

•••点P点运动到H点时，FP的最小值，

即FP的最小值为2.

故选：B.

本题考查角平分线的作图方法、角平分线的性质、求直线外一点到直线的最短距离等知识，根据作图方法

判断出B尸平分/ABC是解题关键.

13.C

【解析】根据全等三角形判定&4S,即可选出.

证明：如图，作NA的平分线AD

在△ABD和中，

AB=AC

/BAD=ZCAD

AD=AD

.-.△ABD^AACD

:.ZB=ZC

故选C

本题主要考查了全等三角形的判定，属于基础题型.

14.D

【解析】根据作一个角等于已知角的方法进行判断，即可得出结论.

解：由图可得作法：

(1)以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交。8于点P,。；

(2)作射线EG,并以点E为圆心，。0为半径画弧交EG于点。；

(3)以。为圆心，P。长为半径画弧交前弧于点F；

(4)作射线所，跖即为所求作的角.

故选：D.

16

本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法.

15.D

【解析】根据全等三角形的判定：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”

或“AAS”）；即可解答；

解:根据全等三角形的判定条件，应补充:“又：OP=OP”,利用（AAS）证明POE空P。尸，从而有PE=PF.

故选：D.

本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；掌握（AAS）的判定条件是解题关键.

16.3

【解析】利用角平分线的性质即可求解.

由作法可知点P在ZBCM的平分线上，故横坐标与纵坐标相等，

:点尸的坐标为®2a-3）,

a=2a—3,

•・a=3.

故答案为：3.

本题考查了尺规作图：作一个角的平分线，角平分线的性质，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解

题的关键.

17.OB=OD.（答案不唯一）

【解析】AO=OC,有一对对顶角NAOB与NCOD,添加OB=OD,即得结论.

解：：OA=OC,ZAOB=ZCOD（对顶角相等），OB=OD,

.♦.△ABO0△CDO（SAS）.

故答案为：OB=OD.（答案不唯一）

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS>SAS、ASA、AAS、HL.添

加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一

角对应相等时，角必须是两边的夹角.

17

18.①③④

【解析】作PE±OA于E,PF±OB于F.只要证明RtAPOE^RtAPOF,△PEM^APFN,即可---判断.

如图作PELLOA于尸/LL03于E

•：/PE0=NPF0=9U。,

：.ZEPF+ZAOB=\SO0,

9：/MPN+/A0B=18。。,

：.ZEPF=/MPN,

：.ZEPM=ZFPN,

TO尸平分NA08,PE_LOA于E,PF工OB于F,

：・PE=PF,

在RtAPOE和RtAPOF中，

[OP=OP

[PE=PF，

.*.RtAPOE^RtAPOF(HL),

：.OE=OF,

在△PEM和△尸尸N中，

ZEPM=ZFPN

<PE=PF,

ZPEM=ZPFN

:•△PEM9&PFN(ASA),

:・EM=NF,PM=PN,故①正确，

:・SbPEM=S〉PNF,

：・S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故④正确，

OM+ON=OE+ME+OF-Nb=20E=定值，故③正确，

VM,N的位置变化，

・・・MN的长度是变化的，故②错误，

18

故答案为①③④.

本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

19.CB##BCHL

【解析】根据题意，将的长度转化为的长度，证明RtABC丝Rt由即可求解.

解：由③可得将A3的长度转化为的长度，证明Rt_ABCZRtEBD,故把竹竿顶端沿AB下滑至点D

使DB=CB,

证明ZABC=ZEBD=90°,AC=ED,DB=CB,

RtABC^Rt£BD(HL)

故答案为：CB,HL.

本题考查了HL证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握HL的性质与判定是解题的关键.

20.⑴见解析

(2)AC//BD,理由见解析

【解析】(1)运用SSS证明即可；

(2)由(1)得Nr«E=N3C4,根据内错角相等，两直线平行可得结论.

(1)在AABC和AEDB中，

BD=BC

<BE=AC,

DE=AB

：.AABCsAEDB(SS5)；

(2)AC和8。的位置关系是AC〃瓦)，理由如下：

AABCsA£DB

ZDBE=ZBCA,

：.AC//BD.

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键.

21.(1)见解析；(2)BF=2。(3)40°<a<130°

【解析】(1)根据全等三角形的判定，证明△ACD丝△3EC,即可得到结论；

(2)由(1)的结论，结合三角形的外角性质，得至UNBFE=NBEF,然后得到'=郎=4。，即可得到

答案；

(3)根据题意，先用a表示出/DCE,然后判断A