4类数列综合（数列不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合）-高考数学必考模型归纳

题型184类数列综合

（数列中不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合）

技法01数列中不等式的证明

技法02数列中的不等式放缩

技法03数列中的参数求解

技法04数列与三角函数综合

技法01数列中不等式的证明

喟3・常见题型解读

数列不等式的证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学

生具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上、需强加练习.

02

跟我学•解题思维司晰

s

例1.（2023•全国•模拟预测）已知正项数列｛4｝的前〃项和为5“，且满足

⑴证明：数列｛。“｝为等比数歹!I;

]a9

（2）若。「的=了，勿=^^，数列也｝的前几项和为北，证明：T<^<1.

技巧点拨o

【详解】（1）由=2"-1得'=（2"-1）凡,则当〃22时，有=（2”T-1）%,

两式相减得S“一Si=a"=（2"-1）%-Qi-1）•a,-,

整理得（2<2）%=Qi-1）%，即A=5。=2，

因此数列｛g｝是以3为公比的等比数列.

（2）由（1）及%-%=I可得％=2，

因此“rr咱”厂=/

2

111

7；=4+%+L+b=

所以n

由于典£N*,所以。＜呼-

2

故y

哈鲁•知识迁移强化

C

1.（2024•福建漳州•统考模拟预测）已知数列｛%｝的前"项和为S"，满足々用一出="+l（〃eN*）,且%为

a2,见的等比中项.

⑴求数列｛见｝的通项公式；（2）设T”为数列的前〃项和，证明：7；＞1.

[anan+lJX

2.（2023・全国•模拟预测）已知凡是数列｛4｝的前“项和，4=；,且智,S用,3s向-1成等比数列.

⑴求数列｛为｝的通项公式.（2）设包=S£M,数列也｝的前几项和为T“，证明：3北＜%.

3.（2023•湖南邵阳•统考二模）已知S“为数列｛%｝的前"项和，q=2,Sn+l=Sn+4an-3,记

^,=log2(a„-l)+3.

]+Z?7

⑴求数歹£〃｝的通项公式；(2)已知g=(-l严•/,记数列匕｝的前"项和为求证：T>^~.

n21

技法02数列中的不等式放缩

喟3・常见题型解读

放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度

观察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习.

(1)、(与<、，其中可称乙为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式

n[Jn+1)nn\Jn-1)n

不等号的方向进行选择。

注：对于二，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例

n

如：——二———------—I,这种放缩的尺度要小于(1)中的式子。此外还可

“2"-1(n-l)(n+l)1n+lj

以构造放缩程度更小的，如：

111411______

22

nn2_j_4H-l(2«-l)(2n+l)2(2"-12n+l)

H~4

1_2212

(2),从而有:2(J"+1-6)=<2(y/n—y/n—1)

GG+yfnyfn+y/n+1y/n+>Jn-1

1

注:对于还可放缩为:—j=<6-y/n-2,n>2,neN*

G

bA_i_7力/A_i_7力

(3)分子分母同加常数：一>-----(b>a>0,m>0Y->-------(a>b>0,m>0)

aa+maa+m

此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验

证不等关系。

2"2"2"2n-l

(4)----------二----------------------------------<-----------------------------------=-------------------------------------

(2"-1)2(2"-1)(2"-1)(2"—1)(2"—2)(2H

=—--------------(n>2,n&N*]

_12"-1V7

knknknk'1-1

可推广为：------F

D

=——-------(n>2,k>2,k,nGN*)

——ir-r)

02

跟我学•解题思维司晰

例2.(2022•福建泉州•统考模拟预测)已知数列｛。“｝满足q+2%+...+"%=g〃伽+1)(2〃+1).

⑴求｛%｝的通项公式；

c11131

(2)设S“=/+/+-+/，证明：Sn>-一一—.

4。22〃+1

［解题

技巧点拨o

【详解】(1)因为％+2出+•••+〃〃〃=,"(〃+1)(2〃+1),①

6

当〃22时，4+2%H----F(〃一l)a〃T=—(n-l)(n-1+l)[2(n—1)+1]=—n(n-1)(2〃-1),②

66

①-②，得

na=—n(ji+1)(2〃+1)——n(ji—1)(2〃—1),所以Q〃=〃("22),

n66

又〃=1时，=—xlx2x3=l,

6

所以％=

(2)由(1)结合已知条件可得:5“=»••+』.

12n

3131

当”=1时，H=i,--^=1.即S,J-Q成立•

11

当〃22时,-2〉---------

nn(n+l)

111.1111111J___1_

所以邑二FH—不+…H—不>1H-------1--------F…H------------1H---------1---------F•+

I222n22x33x4n(n+l)2334nn+\

1+11

〃+l

3__1

2~~n+\

31

综上'Sn~~~

〃+1

唁4人知识迁移强化

1.（2024•广东茂名•统考一模）设S,为数列｛%｝的前"项和，已知S.，是首项为9、公差为:的等差

乙J

数列.

⑴求｛4“｝的通项公式；

n

（2）令2=（2tlM,为数列出｝的前“项积，证明：6-l

3〃/=15

2.（2023上•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）设数列｛q,｝的前"项之积为（，满足2%+7；=1

（几£N*）.

⑴设么=1+],求数列｛〃｝的通项公式6,;

（2）设数列｛为｝的前w项之和为5“，证明:"邛『＜s=一

22(2)n222n+1-l4

3.（2023上•黑龙江•高三校联考阶段练习）已知数列｛%｝的首项为=1,。“是%+i与-1的等差中项.

⑴求证：数列｛%+1｝是等比数列；

11111c

（2）证明：—+—+—++—+—＜2.

a

%%。3n-\

4.（2023•湖北・模拟预测）设对任意〃wN*,数歹£见｝满足。＜风＜1,.＜也小，数列£｝满足％=也.

⑴证明：｛g｝单调递增，且q,＜l;

（2）记么=笑这-1,证明：存在常数心使得

%+1?巴+2I

5.（2022•云南•云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知数列｛%｝的前”项和为5“，且满足q=:,

4+2邑九=。叱2）

⑴求怎和S“

(2)求证：+S；++…+4-----.

24〃

技法03数列中的参数求解

喘;考•常见题型解读

对于此类含参数不等式愿型，大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题，对于求最值，需要分析单调

性，函数类型可通过运算法则或者求导进行判断，数列可通过作差法进行判断数列的单调性，难度中等偏

上、需强加练习.

02

跟我学•解题思维剖析

例3.（2023•河北•模拟预测）在数列｛4｝中，％=-：,2a„=an_l-2n-2（n>2）.

（1）证明：数歹U｛q+27，｝是等比数歹!J；

⑵记数列｛"（4+2明的前“项和为［，若关于〃的不等式〃（2-7；）4也3恒成立，求实数4的取值范围.

〃+1

技巧点拨o

【详解】（1）由题意可得：%+2=g,

当〃22时，可得%=5o„_i—n—l,

1,,1.

则4+2〃=”「"1+2〃=+='，

%T+2（-1）«„-,+2（«-1）a„-i+2（«-l）2

所以数歹支4+2”｝是以首项为公比为3的等比数列.

（2）由（1）可得：a“+2”=；x（J=J，则"（4+2〃）=/,

可得<毛+舁…+羡则以=!+舁…+号，

两式相减得:1111n

=---1---7---r+…-I------------77

22223T2n+l

2

所以7；=2-耍

「、r/xn(n+2\A(n+2),n(n+l)

因为〃(2-4T则f《心

Zn+12

n（n+l）一一4、—口〃(〃+1)

原题意等价于关于”的不等式',矛恒成立,可得

Tmax

构建£=个

》("+1)(〃+2)

"浊+1则-2向

令'(11)解得〃=2或3,

1

b“2%>(»-)»

3

则4<勿=4>”>…，即当〃=2或〃=3时，勿取到最大值5,

33

可得421,所以实数力的取值范围不,+8

NL乙

吃餐•知识迁移强化

1.（2023・河南・信阳高中校联考模拟预测）已知S“为数列®｝的前”项和，且色=吗山,&=12,｛2｝为

正项等比数列，4=%-4,%=%.

⑴求证：数列忖,+1%+2一^｝是等差数列；

⑵求数列出｝的通项公式；

⑶设c“=」h，且数列C"的前”项和为r”，若北+二―23恒成立，求实数力的取值范围.

肛n+1

2.（2024•云南曲靖•统考一模）已知数列｛%｝的前〃项和为S,,且S“=2%-〃.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）若数列也,｝满足其前"项和为（，求使得空>器成立的〃的最小值.

anan+l2024

3.(2024・全国•模拟预测)设S“，(分别为数列｛%｝,也｝的前〃项和，且丹=2.

⑴若S〃="+2〃+3,4=|,求数列也｝的通项公式；

132n-l一

(2)若。〃=<，4=1,设机为整数，且对任意的MWN*,m>7-+7-+，,，+-V一恒成立，求机的最小值.

bXb2bn

4.(2023•浙江•统考一模)已知等差数列｛4｝满足％=L

⑴若生+。4=抬，求数列｛〃〃｝的通项公式；

⑵若数列｛d｝满足b.=凡「2a「3,〃eN*,且也｝是等差数列，记T,是数列［的前〃项和.对任意

〃eN*,不等式41<2恒成立，求整数几的最小值.

技法04数列与三角函数综合

•常见题型解读

数列、三角是高中数学的重要内容，从本质上看它们是特殊的函数，都具有函数的某些性质。数列也可

和三角函数综合考查，需强化复习

02

跟我学•解题思维音L析

例4.(2023・山东济南•一模)已知函数力(x)=sin2"x+cos2"x("eN*),记力(x)的最小值为与,数列｛%｝的

前“项和为S",下列说法正确的是()

1。31

A.〃2=_B.$4=

22416

n

n\1

C.Zln(l+«,)<2D.若数列也｝满足我1〃，则三姐+也+2<1

/=11一够％/=14

技巧点拨o

22

【详解】A选项，fx(x)=sinx+cosx=l,故q=l,

21

由基本不等式可得2kin4X+cos4%)Xsin2X+cos2%)=1,故力⑴之耳，当且仅当sir?无=cos?X时，等号成

立，

故%=；，A正确；

B选项，由柯西不等式得

66662233

f3(x)=sinx+cosx=(sin^+cosx)(sinx+cosx)>^sinx-sinx+cosx-cos之;,

当且仅当sin2x=cos2%时，等号成立，

故〃3=一'

4

2(sin8x+cos8x)>(sin4x+cos4^)2，故力(1)=$甘%+以)58%21,当且仅当sir?%=cos?%时，等号成立，

/1

故。4=三，

O

依次类推，可得力（x）=sin2"x+cos2"Mg「，当且仅当siYx=cos2x等号成立,

SLI+KTB错误;

C选项,设/z(x)=ln(l+x)—x,x>0,

贝||1（耳=占一1=三＜0在（0,+8）上恒成立,

故/z（x）=ln（l+x）—X在（0,+。）上单调递减,

所以〃（力＜川0）=0,故ln（l+x）＜x在（0,+8）上恒成立,

Eln(l+aJ这InC正确;

Z=1Z=1

7111

b—_____=________=_

D选项，，，-l-loga„-门丫”一九，

9一1一抽3

Z(Z+1)(J+2)2/(z+1)(z+l)(z+2)

故£物+也+2=7

2x32x33x4+(M+1)(〃+2)

2、lx2（w+l）（w+2）,42（w+l）（w+2）4,口」正确•

故选：ACD

【点睛】常见的裂项相消法求和类型：

刑11p__匚］1111______i_

刀式上,〃（“+女）n+k］'（2〃-1）（2〃+1）212〃一12n+l