数学计算机《第6-8章》课件-第6章

第6章常微分方程6.1微分方程的概念6.2两类一阶微分方程的解法6.3一阶线性微分方程及其解法6.4可降价的高阶微分方程及其解法6.5二阶线性常系数微分方程及其解法本章小结

第6章常微分方程

内容提要：在科学技术和经济管理中，有些实际问题往往是要通过未知函数与其导数满足的关系式去求未知函数，这种关系式就是微分方程。本章重点讨论微分方程的一些基本概念及几种常用的基本的和简单的微分方程的解法。

学习要求：知道微分方程的概念、阶、解、通解、特解等基本概念；会解一阶线性齐次微分方程和一阶线性非齐次微分方程，会解二阶常系数线性齐次微分方程；能够利用分离变量法、常数变易法、特征方程法求解微分方程。

6.1微分方程的概念

6.1.1微分方程的概念

1.引例已知一曲线通过点(0,3)，且在曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的2倍，求该曲线方程。

2.微分方程的基本概念

定义1含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶；当微分方程中所含的未知函数及其各阶导

数全是一次幂，且无相互乘积项时，微分方程就称为线性微分方程；只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程；若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程

为常系数常微分方程。本章所讨论的均是常微分方程。

例如，(1)2y‴+x2y″+4

xy′=0是一个三阶线性微分方程；

(2)y(4)-4y‴+10y″=5是一个四阶线性常系数微分方程；

(3)xyn

+1=0不是一个微分方程；

(4)y″+2yy′+y=0是二阶线性微分方程。

一般地，

n

阶微分方程可写成

F

(x,y

,y′,…,y(4))=0

或

y(n)=f

(x,y,y′,…,y

(n-1))

3.微分方程的解、通解、特解

定义2任何代入微分方程能使该方程成为恒等式的函数叫做该微分方程的解。

确切地说，设函数y=φ

(x

)在区间I

上有n

阶连续导数，如果在区间I

上，有

那么函数y=φ

(x

)就叫做微分方程F(x,y,y‘,…,y

(n))

=0在区间I

上的解。

通解：如果微分方程的解中含有任意常数的个数与微分方程的阶数相同，且任意常数是相互独立(即不能合并)的，这样的解叫做微分方程的通解。

初始条件：用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件。

如x=x

0

时，

y=y

0

，y′=y′0

，或写成：

yx=x

0=y0

，y′x

=x

0

=y′0

。

特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解。

初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题。

如求微分方程y′=f(x,y)满足初始条件y

x

=x0=y

0的解的问题，记为

6.1.2简单微分方程的建立

建立微分方程就是根据实际要求确定要研究的物理量或几何量，找出这些量所满足的规律，运用这些规律列出关于待求函数的导数或微分的关系式。本节引例就是这样一个关于几何量的应用问题，下面再举两个物理量的实例。

习题6－1

1.确定下列微分方程的阶数：

(1)y′+3xy=4sinx

(2)y″+y'-2y=0

(3)(xy′)3+x2y4-y

=0

(4)y‴+sinxy'-x=cosx

2.验证所给函数是否为所给方程的解：

(1)xy′

=2y′

,y=5x2

(2)(x

-2y)y'=2x

-y,x2-xy+y2

=C

(3)y″-2y‘+y=0,y=x2ex

(4)y″=1+y',y=lnsec

(x+1

)

3.某种气体的压强对于温度的变化率与压强成正比，与温度的平方成反比，试建立压强与温度的微分方程。

6.2两类一阶微分方程的解法

一阶微分方程的形式有很多种，这里介绍两种常见类型的一阶方程及其解法。

即

由初始条件，解得C=A-L

0

，所以纯利润与广告费的函数关系为

例3设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落速度成正比(比例系数为常数k

>0)，起跳时速度为0。求下落的速度与时间之间的函数关系。

解

设跳伞员下落速度为V

(t)，他在下落的过程中同时受到重力和阻力的作用，重力大小为mg，方向与V

一致，阻力大小为kV

，方向与V

相反，从而跳伞员所受外力为

F=mg-kV

习题6－2

1.用分离变量法求解下列微分方程：

2.求解下列齐次方程:

6.3一阶线性微分方程及其解法

6.3.1一阶线性微分方程的概念定义形如：的方程称为一阶线性非齐次微分方程，简称一阶线性方程。当Q

(x

)≡0时，方程称为一阶齐次线性方程。

例1求方程y′-(sinx)y=0的通解。

解

所给方程是一阶线性齐次方程，分离变量

从而

方程的通解为

即

或

或两边求积分得

于是，得出一阶非齐次线性方程的通解的公式

或

上面的解法即是把对应的齐次方程的通解中的常数C

变易为函数C

(x)，而后再去确定C(x)，从而得到非齐次方程的通解。这种解法顾名思义称为“常数变易法”。

再由常数变易法可设原方程的解为y=C

(x

)x

，从而

例3求解微分方程y′+

ytanx=sin2x。

解

利用求解公式，

P(x)=tanx，

Q(x)=sin2x，代入通解公式得

习题6－3

求解下列线性微分方程：

6.4.1形如y

(n)=f(x)的微分方程

微分方程y

(n

)=f

(x)是一类最简单的高阶微分方程,，它的解法是通过逐次求积分而得其通解的。

6.4可降阶的高阶微分方程及其解法

例1

求微分方程y‴=xex

的通解。

解

方程两边求一次积分得

将上式再积分一次，得

再次积分得

6.4.2形如y″=f(x

,y′)的微分方程

这类二阶微分方程的特点是方程中不显含y

，解题的基本思想步骤是：

(1)令y′=P

，则y″=P′

，原方程化为一阶方程：

P′

=f(x,P)；

(2)求解新方程得P

的表示式；

(3)将P

的表示式代入式子y′=P

，求得原方程的通解．

y=∫Pdx。

习题6-4

求解下列微分方程：

6.5二阶线性常系数微分方程及其解法

6.5.1二阶线性常系数微分方程的概念定义形如y″+py′+qy=f(x

)的方程称为二阶线性常系数非齐次微分方程，其中p，q为常数，

f(x)是x

的已知函数。当f

(x)≡0时，方程

y″+py′+qy

=

0称为二阶线性常系数齐次方程.这是本节重点要讨论的内容

6.5.2二阶线性常系数齐次微分方程解的结构

对于二阶线性常系数齐次方程y″+py′+qy

=0的解，具有以下结构：

定理1设y=y1

(x

)及y=y

2(x)是方程y″+py′+qy

=0的两个解，则对于任意常数C1

与C2

，

y=C

1

y1(x)+C2

y

2

(x)还是方程y″+py′+qy

=0的解。

证

因为y=y1(x)、y=y

2(x)是方程y″+py′+qy

=0的解，所以

y″1+py′1+qy=0，

y″2

+py′2

+qy=0

而

故有y=C

1

y1(x)+C

2

y

2(x)是方程y″+py′+qy

=0的解。

由于erx≠0，所以，只要r

满足方程

r2

+pr

+q

=0

则y=erx就是方程y″+py′+qy

=0的解。

以r

为未知数的代数方程r2

+pr

+q

=0称为微分方程y″+py′+qy

=0的特征方程。特征方程的根称其为特征根。

按照代数理论，一元二次方程一定具有两个根；对于不同的根，其齐次方程的通解具有不同的解的形式。二阶线性常系数齐次微分方程解的结构如下表所述：

求二阶线性常系数齐次微分方程y″+py′+qy

=0的解的步骤如下：

(1)对照所给方程写出其特征方程：r2

+pr

+q

=0；

(2)求出一元二次方程r2

+pr

+q

=0的两个特征根:r1,r2；

(3)根据不同的特征根r1

、r

2

，按表中结构写出齐次方程相应的通解。

6.5.3二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构

下面我们来讨论方程y″+py′+qy

=f(x)解的结构问题。

定理2

如果yp

是线性非齐次方程y″+py′+qy

=f(x)的一个特解，yc

是该方程所对应的线性齐次方程y″+py′+qy

=0的通解，则

y=yp+yc

是线性非齐次方程y″+py′+qy

=f(x)的通解。

证明

因为yc和yp分别是方程y″+py′+qy

=f(x)和方程y″+py′+qy

=0的解，所以将y=yp+yc代入方程y″+py′+qy

=f(x)的左端，有

(yp+yc)″+p

(yp+yc)′

+q(yp+yc)

这表明y=yp+yc

是非齐次线性微分方程y″+py′+qy

=f(x

)

的解。由于yc

中含有两个相互独立的任意常数，所以y

=yp+yc也含有两个相互独立的任意常数，即y=yp+yc

c是非齐次线性微分方程y″+py′+qy

=f(x)的通解。

由定理可知，求方程y″+py′+qy

=f(x)的通解即先求出方程y″+py′+qy

=f(x)的通解yc

，而后再求出方程y″+py′+qy

=f(x)的一个特解yp，那么，y=yp+yc

即为方程y″+py′+qy

=f(x)的通解。

关于齐次方程的通解yc的求法，前面已作介绍，下面仅就自由项f(x)的特殊类型，给出非齐次方程特解yp的求法。

设

则yp=xkQn

(x)eλx(Qn

(x)与Pn(x

)的同次多项式，其中k

根据λ

不是特征根、是特征单根、是特征二重根而分别取k=0、k=1、k=2)。

例4求方程y″-2y′=3x

+1的一个特解。

解

特征方程为r2

-2r=0，特征根r

1=2，r

2=0；

f(x)=3x+1，

λ=0是特征单根，因此设特解yp=x(Ax+B)代入方程y″-2y′=3x+1，得

2A-2(2Ax+B)=3x+1

即-4Ax+(2A-2B)=3x

+1

比较两边系数，从而可得

则得原方程的一个特解为

例5求方程y″-5y′+9y

=5x

e-3x的通解。

解

(1)先求对应的齐次方程的通解。

特征方程为

r2+6r+9=0

解得特征根为r1

=r

2=-3,于是得到齐次方程y″-5y′+9y

=0的通解为

yp

=(C

1+C

2x)x

e-3x

(2)再求原方程的一个特解。

因为λ=-3是特征方程的二重根，

Pn

(x

)=5x

是一次多项式，所以可设

yp

=x2(Ax+B)e-3x

求导得

将yp

，y′p

，y″p

代入原方程，并约去e-3x得

6Ax+2B=5x

习题6－5

习题6－5

本章小结

一、常微分方程的概念

(1)微分方程。含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶；未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程。至于方程中是否出现未知函数或自变量，是无关紧要的。

(2)微分方程的解。如果把某个函数y=y(x)代入微分方程，能使方程变成恒等式，这个函数就称为微分方程的解。微分方程的解可以是显函数，也可以是隐函数。

(3)微分方程的通解。n阶微分方程的解中，如果含有n

个独立任意常数，则这样的解称为

n阶微分方程的通解(或一般解)。

(4)微分方程的特解。在微分方程的通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为该方程的特解。

(5)初始条件。确定特解的条件称为初始条件。一般地，一阶微分方程的初始条件为。二阶微分方程的初始条件为。

3.一阶线性微分方程

形如y′+p(x)y=q(x)的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程。求其通解的方法如下：

1)常数变易法

先求出对应的齐次方程y′+p(x)y=0的通解y

=C

e-∫p

(x)d，然后设C=C(x

)，则y=C

e-∫p(x)d，并求出y′。

将y

及算出

y′代入非齐次方程y′+p(x)y=q(x