数学计算机《第6-8章》课件-第7章

第7章无穷级数7.1常数项级数的概念7.2常数项级数的审敛法7.3幂级数7.4函数展开成幂级数本章小结

第7章无穷级数

内容提要：无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具。本章介绍无穷级数的概念和性质，重点讨论常数项级数的收敛、发散判别法,幂级数的概念及初等函数的幂级数展开。学习要求：了解级数的概念、性质,掌握正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别和交错级数的判别法，掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法，能用五个基本函数展开式间接展开幂级数。

7.1常数项级数的概念

7..1.1常数项级数的概念定义1

给定有序数列u

1,u

2,…,un,…，则式

u

1+u

2

+…+un+…

习题7－1

1.根据级数收敛的定义求下列级数的和：2.判别下列级数的敛散性：

7.2常数项级数的审敛法

习题7－2

1.判断下列数项级数的敛散性：

2.判断下列数项级数是否收敛：

3.判断下列数项级数的敛散性：

4.判定级数的敛散性，是条件收敛还是绝对收敛？

7.3幂级数

前面讨论了常数项级数，但是在实际中应用得更多的是幂级数。下面讨论幂级数的情况。

由该定理可知，幂级数的收敛域具有三种情

形：

(1)仅在x=0时收敛，收敛域只有一点，x

=0。

(2)在(-∞,+∞)内处处绝对收敛，收敛域为(-∞,+∞)。

(3)存在一个正数R

，当|x|<R

时，绝对收敛；

当|x|>R

时，发散；在x=±R时，可能收敛也可能发散，需将x=±R

代入幂级数中转化成常数项级数加以判定。

上述(3)中的正数R

叫做幂级数的收敛半径。下面给出求幂级数收敛半径的方法。

7.3.2幂级数的性质

设幂级数的收敛半径为R>0，则在其收敛区域D

上就确定了一个和函数S

(x)，即

下面给出幂级数的和函数S

(x

)在收敛区间内的一些运算性质。

设幂级数的和函数分别为S

1

(x

)和S

2(x

)，收敛半径分别为R1

、R2

，并记R=min(R1

、R2

)，则在(-R,R)内有以下运算性质：

性质1(加法运算)

性质2(连续性)

性质3(可导性)

性质4(可积性)

习题7－3

1.求下列幂级数的收敛区间：

2.利用逐项求导数或逐项积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数。

7.4函数展开成幂级数

上节我们讨论了幂级数的收敛半径、收敛域及和函数的性质，可知幂级数在收敛域内具有连续性、逐项可导与逐项可积性，而很多实际问题是研究给定函数f

(x)，考虑是否能找到这样一个幂级数,它在收敛域内以f

(x

)为和函数的问题。怎样才能求得这样的幂级数呢?这就是把函数展开成幂级数的问题。

7.4.1泰勒公式与泰勒级数

1.泰勒公式与麦克劳林公式

定义1设函数f

(x)在含有x

0

的某区间内具有直至n+1阶的导数，则在该区间内f(x)关于(x

-x

0

)的

n次多项式与一个余项Rn

之和的表达式，即

称为n

阶泰勒公式，其中,称为f(x)的拉格朗日余项(ξ

介于x

与x

0之间)。

在f(x)的n阶泰勒公式中，当x

0

=0时，则ξ

介于0与x

之间，记ξ=θx,(0<θ<1)。则泰勒公式就变为较简单的如下形式

上式称为n阶麦克劳林公式。

2.泰勒级数与麦克劳林级数

定义2设函数f(x)在含有x

0的某区间内具有任意阶导数f(n)(x

)(n=1,2,…)，则级数，

称为f(x)在x=x

0处的泰勒级数，即为关于x-xx

0的幂级数。特别地，当x

0=0时，

称为f(x

)的麦克劳林级数，即为关于x

的幂级数。

7.4.2将函数展开成幂级数

1.直接展开法

直接展开法就是利用泰勒级数或麦克劳林级数公式直接求取。其步骤是

(1)求出f(x)的各阶导数：

f′(x)，f″(x)，…，

f(n)(x)，…；

(2)求函数及其各阶导数在展开点处的值：

f

′(x

0)，f″(x

0)，…，

f(n)(x

0)，…；

(3)写出幂级数并求出收敛半径R；

(4)考察在区间(-R,R

)

是否为零。

例1将函数f

(x

)=ex展开成关于x-1的幂级数。

解

x-1的幂级数也就是在x

0

=1处的泰勒级数。所给函数的各阶导数为

f(n)(x

)=ex(n

=1,2,3,…)

因此

f(n

)(1)=e

，(n=1,2,3,…)。于是得级数

它的收敛半径

R=+∞，对于任何有限的数x、ξ(ξ介于1与x之间)，有

而从而有展开式

例2将函数f

(x

)=sinx

展开成x

的幂级数。

解

这是在x

0

=0处展开的麦克劳林级数，因为

所以f

(n

)(0)顺序循环地取0,1,0,-1,…(n=0,1,2,3,…)，于是得级数

它的收敛半径为R=+∞。

对于任何有限的数x、ξ

(ξ

介于0与x之间)，有

因此得展开式

2.间接展开法

间接展开法是指从已知函数的展开式出发，利用幂级数的运算法则得到所求函数的展开式的方法。下面六个基本函数展开式可以作为公式使用，需要熟记。

例3

将函数f

(x

)=cosx展开成x

的幂级数。

解

已知

由于(sinx)′=cosx

，对上式两边求导可得

习题7－4

本章小结

一、数项级数的概念与性质

1.常数项级数的概念式子：

u1

+u2+…+un+…=

称为无穷级数，简称级数，其中u1称为级数的首项，un称为级数的通项或一般项。由于级数的每一项都是常数，故亦称为常数项级数。

性质2：如果级数

，则级数

也收敛，且收敛于s±t。

性质3：删去、添加或改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性。

常被用来做比较的级数有：等比级数，当|q|<1时收敛；当q≥1时发散。P－级数，当p>1时收敛；当p≤1时发散。

它们的敛散性必须熟记。

3.比值判别法

(1)当ρ<1时，级数收敛；

(2)当ρ>1时，级数发散；

(3)当ρ=1时，不能用此法判定级数的敛散性。

当正项级数的通项中含有连乘积的形式an

、nn或n!等因子时，考虑用比值判别法。

4.根值判别法

(1)当ρ<1时，级数收敛；

(2)当ρ>1时，级数发散；

(3)当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散。

2.绝对收敛和条件收敛

将级数的各项取绝对值后得到的正项级数

如果收敛，则称原级数绝对收敛：如果发散，但级数

收敛，则称该级数为条件收敛。

四、幂级数

1.函数项级数

设函数un(x

)(n=1,2,…)的定义区间都是I

，则称级数为区间I上的函数项级数.最简单的函数项级数就是幂级数。

2.幂级数及其收敛性

形如或的函数项级数称为幂级数。

幂级数中的x

取定一值x

0

时，就得到一个常数项级数：若此常数项级数收敛，则称幂级数

在x

=x

0处收敛，

x

0称为幂级数的收敛点;若此常数项级

数发散，则称幂级数在x=x

0处发散，

x

0称为该幂级数的发散点。幂级数的所有收敛点组成的集合称为幂级数的收敛域；所有发散点组成的集合称为幂级数的发散域，幂级数的收敛区域可以由收敛半径取得。

3.