大二奥数试题及答案

大二奥数试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.下列数列中，哪一项不是等差数列？

A.2,5,8,11,14

B.3,6,9,12,15

C.1,4,7,10,13

D.4,10,16,22,28

2.在直角坐标系中，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(-3,1)，则线段AB的中点坐标是？

A.(1,2)

B.(1,3)

C.(2,1)

D.(2,2)

3.下列函数中，哪一项是奇函数？

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x^5

4.下列方程中，哪个方程的解集是实数集？

A.x^2+1=0

B.x^2-1=0

C.x^2+2x+1=0

D.x^2-2x+1=0

5.一个正方体的棱长为2，那么它的体积是？

A.4

B.8

C.12

D.16

二、填空题（每题5分，共20分）

1.若数列{an}是等比数列，且a1=3，公比q=2，则第5项an=________。

2.在直角坐标系中，点P(1,2)关于x轴的对称点坐标是________。

3.函数f(x)=x^3-3x在x=0处的导数是________。

4.方程x^2-4x+3=0的解是________。

5.正方体的表面积是________。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.求解不等式：2x-3<5。

2.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在区间(1,3)上的最大值和最小值。

3.已知等差数列{an}的前三项分别为3,5,7，求该数列的通项公式。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，则对任意正整数n，有an=2n-1。

2.证明：在三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.某工厂生产一批产品，计划每天生产20个，10天完成。实际生产过程中，每天比计划多生产5个，结果提前2天完成任务。求实际生产了多少天？

2.已知直角坐标系中，点P的坐标为(2,-3)，点Q在y轴上，且|PQ|=5，求点Q的坐标。

六、综合题（每题20分，共40分）

1.某班级有男生x人，女生y人，已知男生人数是女生人数的2倍，全班共有50人，求男生和女生各有多少人。

2.在直角坐标系中，直线l的方程为2x-y=4，直线m与直线l平行，且经过点(3,-2)，求直线m的方程。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.答案：D

解析：等差数列的相邻项之差是常数，因此B选项中的数列不是等差数列。

2.答案：A

解析：线段中点的坐标是两个端点坐标的平均值，即(2+(-3))/2=1，(3+1)/2=2。

3.答案：B

解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)，只有x^3满足这一条件。

4.答案：B

解析：x^2-1=(x-1)(x+1)，解集为所有实数。

5.答案：B

解析：正方体的体积是棱长的立方，即2^3=8。

二、填空题答案及解析：

1.答案：31

解析：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，代入a1=3，q=2，得an=3*2^(5-1)=3*16=48。

2.答案：(1,-2)

解析：关于x轴对称的点的y坐标取相反数，x坐标不变。

3.答案：-3

解析：f'(x)=3x^2-4，代入x=0，得f'(0)=-3。

4.答案：1,3

解析：因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。

5.答案：24

解析：正方体的表面积是6倍的棱长平方，即6*2^2=24。

三、解答题答案及解析：

1.答案：7

解析：将不等式2x-3<5两边同时加3，得2x<8，再同时除以2，得x<4，因此实际生产了7天。

2.答案：f(x)在(1,3)上的最小值为-1，最大值为1

解析：函数f(x)=x^2-4x+3在(1,3)内是一个开口向上的抛物线，顶点为x=2，因此最小值在x=2时取得，f(2)=-1；最大值在x=1或x=3时取得，f(1)=f(3)=1。

3.答案：an=2n+1

解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，得an=3+2(n-1)=2n+1。

四、证明题答案及解析：

1.答案：证明如下：

解析：由等差数列的性质，an=a1+(n-1)d，代入a1=1，d=2，得an=1+2(n-1)=2n-1，因此结论成立。

2.答案：证明如下：

解析：由等腰三角形的性质，底角相等，因此∠B=∠C。

五、应用题答案及解析：

1.答案：8

解析：设实际生产了n天，则总产量为20n，实际生产了20n=20*8，因此实际生产了8天。

2.答案：(0,-3)，(0,3)

解析：点Q在y轴上，x坐标为0，根据|PQ|=5，得Q点的y坐标可以是-3或3。

六、综合题答案及解析：

1.答案：男生有40人，女生有10人

解析：由男生人数是女生人数的2倍，得x=2y，又因为全班共有50人，得x+y=50