2024-2025学年福建省莆田五中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省莆田五中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列{an}中，若a4+A.4 B.±4 C.8 D.±82.在空间直角坐标系O−xyz中，平面α过原点O，其一个法向量为a=(1,0,1)，则点P(2,0,1)到α的距离为(

)A.355 B.35 3.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(m,1)到其焦点的距离为p，O为坐标原点，则|OA|=(

)A.2 B.52 C.4 4.等比数列{an}共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=A.14 B.2 C.1 D.5.从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(单位：元)的总数为(

)A.a(1+p)4 B.a(1+p)5

C.6.已知F是椭圆C：x29+y25=1的左焦点，P为C上一点，A.103 B.113 C.4 7.过双曲线x2a2−y2b2=1的左焦点F1A.2 B.3 C.2 8.已知点O(0,0)，A(0,1)，B(1,1)，C(1,0)，平面上仅在线段OA，AB，BC所在位置分别放置一个双面镜.现有一道光束沿向量s=(1,m)(m>0)的方向从线段OC上某点(不含端点)射入，若光束恰好依次在BC，AB，OA各反射一次后从线段OC上某点射出，则m的取值范围是(

)A.(13,2) B.(12,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题不正确的是(

)A.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n−1，则数列{an}是等差数列

B.等差数列{an}的公差d>010.圆C：x2+y2+4x−6y−3=0，直线l：3x−4y−7=0，点P在圆C上，点Q在直线A.直线l与圆C相交

B.|PQ|的最小值是1

C.从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3

D.直线y=k(x−2)+4与曲线y=1+4−x211.点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1CA.当P在平面CC1D1D上运动时，四棱锥P−ABB1A1的体积发生变化．

B.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]

C.若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面12.已知直线l1：ax+2y−4=0，l2：x−(a−3)y−2=0.若l1//l213.在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BA14.已知数列{an}满足an+1=an+1,an<3,an3,an≥3,记四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知等差数列{an}公差为d，d≠0，a2=7，且a1，a4，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设b16.(本小题12分)

已知圆C经过点A(3,1)，B(−1,3)，且它的圆心C在直线3x−y−2=0上．

(1)求圆C的方程；

(2)若E点为圆C上任意一点，且点F(4,0)，求线段EF的中点M的轨迹方程．17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=22，E，F分别是AD，PC的中点．

(Ⅰ)证明：PC⊥平面BEF；

(Ⅱ)求平面BEF与平面BAP18.(本小题12分)

已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=(n−1)3n+1(n∈N∗)．

(1)求{an}的通项公式；

(2)在an和19.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为32，点A(3,52)在C上，F是C的右焦点．

(1)求双曲线C的标准方程．

(2)不过点A的直线l与C交于两个不同的点M，N，若直线AM和AN的斜率之和为3．

(i)求证：l经过定点B；

(ii)若线段参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.D

6.D

7.A

8.C

9.ACD

10.BCD

11.BC

12.1

13.314.99

11315.解：(1)已知等差数列{an}公差为d，d≠0，且a1，a4，a5成等比数列，

则a1+d=7(a1+3d)2=a1(a1+4d)，解得a1=9d=−2，

a16.解：(1)由已知可设圆心N(a,3a−2)，又由已知得|NA|=|NB|，

从而有(a−3)2+(3a−2−1)2=(a+1)2+(3a−2−3)2，解得：a=2．

于是圆N的圆心N(2,4)，半径r=10．

所以，圆N的方程为(x−2)2+(y−4)2=10．

(2)设M(x,y)，又点D是圆N：(x−2)2+(y−4)2=10上任意一点，

17.解：(Ⅰ)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AP=AB=2，BC=AD=22，四边形ABCD是矩形．

∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,22,0)，D(0,22,0)，P(0,0,2)

又E，F分别是AD，PC的中点，

∴E(0,2,0)，F(1,2,1)．

∴PC=(2,22,−2)，BF=(−1,2,1)，EF=(1,0,1)，

∴PC⋅BF=−2+4−2=0，PC⋅EF=2+0−2=0，

∴PC⊥BF，PC⊥EF，

∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，

∴PC⊥平面BEF．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面BEF的法向量18.解：(1)数列{an}满足a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=(n−1)3n+1(n∈N∗)，

当n=1时，a1=1，

当n≥2时，由a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=(n−1)3n+1(n∈N∗)，

可得a1+3a2+5a3+⋯+(2n−3)an−1=(n−2)3n−1+1，

两式相减可得(2n−1)an=[(n−1)3n+1]−[(n−2)3n−1+1]=(2n−1)3n−1(n≥2)．

所以an=3n−1(n≥2)，

上式对n=1也成立，

所以{an}的通项公式为an=3n−1．

(2)19.解：(1)因为点A(3,52)在双曲线上，且离心率为32，

所以9a2−254b2=1ca=32a2+b2=c2，

解得a2=4，b2=5，

则双曲线C的标准方程为x24−y25=1；

(2)(i)证明：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

此时kAM=y1−52x1−3，kAN=y2−52x2−3，

则kAM+kAN=y1−52x1−3+y2−52x2−3=3，

整理得(x2−3)(y1−52)+(x1−3)(y2−52)=3(x1−3)(x2−3)，