王利广高等代数无答案版-导出

仅供个人学习使用，请勿用于商业用途！答案见下图中的书：第1章多项式1.2.1带余除法、整除、最大公因式和互素例1.2.1设gx=ax2+bxap例1.2.2设fx,gx∈Px,其中证明:存在rx,f1x例1.2.3设fx,gx∈Px.证明:若fxfx,g∂例1.2.4设n为正整数,f1x,f2x,⋯,fx证明:x-例1.2.5假设f1x与f2x为数域P上次数不超过3且x4+x2+1整除f1x3+x例1.2.6设多项式fx,x2x2证明:x2+1是f例1.2.7设fx求ux,vx例1.2.8设d,n∈N.证明例1.2.9设fx=1+x例1.2.10设fx=xx例1.2.11试求7次多项式fx使得fx+1被x-14整除,而f例1.2.12设f,g∈Px.证明:存在m∈N使得f例1.2.13设fx,gx,hx∈P明:fx例1.2.14设fx,gx,hx∈Px.充要条件是fx例1.2.15设fx,gx∈Px不全为0.证明f例1.2.16设f1x,ff例1.2.17设fix,f例1.2.18设fi=fix∈Px,i=1,f这里ui

例1.2.19设fx表示多项式fx的系数换成共轭复数后所得的多项式.(1)若gx(2)若dx=fx,fx,则dx为实系数多项式,且α为fx的实根当且仅当例1.2.20设fx,gx为数域P(1)对任意hx∈Px,由fx∣gf(2)对任意hx∈Px,由fxhxf例1.2.21设fx,gx,px∈Px.若fx≠0,例1.2.22(1)设m,n是大于1的自然数,fx=xm-1+⋯+x+(2)设gx=xn+⋯+x+1,例1.2.23设fx,gx为数域P上的两个非零多项式.证明:fx,gx≠1,当且仅当存在非零多项式s例1.2.24给定不全为0的多项式f1x,f2x,f3x∈Pxf这里f1x,f2x,f31.2.2不可约多项式例1.2.25设fxg其中an≠0,a0≠0.证明:例1.2.26设px∈Px为一个次数大于0的多项式.则px不可约当且仅当对任意fx∈Px,有例1.2.27次数大于0的首项系数为1的多项式fx∈Px是某一不可约多项式的方幂当且仅当对任意的gx∈Px,有fx,gx=

例1.2.28设fx是数域P上的次数大于0的多项式,a,b∈P,a(1)fx在数域P上不可约,当且仅当gx在数域P(2)fx在数域P上有重因式,当且仅当gx在数域P1.2.3重因式、根和重根例1.2.29设fx∈Px且次数n=∂fx≥1.证明:若f'x∣例1.2.30求t的值使得多项式fx=x例1.2.31证明:1+x+例1.2.32设fx为次数≥2的多项式.证明:如果fx∣fxn,则f例1.2.33设fx为一个n次多项式,k=0,1,2,⋯,n例1.2.34设fx∈Px.若任意x,y则fx=0或者例1.2.35求出所有满足条件x-1fx+例1.2.36试求出满足下列条件的所有非零多项式fx这里n是正整数.例1.2.37设a1,a2,⋯,an是数域PFx=x(1)i=(2)任意多项式fx用Fx除所得到的余式为例1.2.38求一个次数不超过3的有理系数多项式fxf例1.2.39写出多项式fx=x4+例1.2.40证明:(1)设fx为首项系数为1的实系数多项式且fx无实根.则存在实系数多项式gx,h(2)设f1x,⋯,fnx为实系数多项式f例1.2.41设α为复数.令Pα={fα:fx∈Px}.证明:Pα为数域当且仅

例1.2.42设a1,a2,⋯,an为n个彼此不同的实数,f1x,f2x,⋯,ff例1.2.43设ξ=ei2π7为1的7次单位原根.找三次整系数多项式gx使得gx以1.2.4有理数域上的不可约多项式例1.2.44设fx其中a,b为整数.试求出使f,g有公共有理根的例1.2.45设1,a1,⋯,a2n是多项式1例1.2.46求所有整数m使得fx=x例1.2.47设n为正整数.证明:x4+n在有理数域上可约当且仅当存在m∈Z使例1.2.48(1)设fx是首项系数为1的n次整系数多项式,a1,a2,⋯,an是n个互不相同的整数,且fa(2)设a1,a2,⋯,an∈Zhx=x-a1x-a例1.2.49设a1,a2,⋯,an是互异的整数.证明:例1.2.50设fx=anxn+⋯+a1x+a0为整系数多项式,k<n且对素数p例1.2.51设fx=anxn+⋯+a0为整系数多项式,a0,a0例1.2.52设fx是一个整系数多项式,n不能整除f0,f1,…,f例1.2.53设fx=anxn+⋯+a1x+(1)若an,a0为奇数,(2)an,a0,例1.2.54设fx是整系数多项式,a,b,c是互异的整数.证明:fx例1.2.55证明:整系数多项式fx与gx相等当且仅当存在整数c,c大于fx,gx的所有系数绝对值的2例1.2.56证明:fx=xp-1+⋯+x+1在例1.2.57设fx,px均为首项系数为1的整系数多项式,px在有理数域Q上不可约.如果px与fx(1)在Qx中,p(2)存在首项系数为1的整系数多项式gx使得f(3)px在复数域上没有重根例1.2.58设fx为数域P上的不可约多项式.设c≠0.c,c-1为fx的复根,b为fx的任意非零复根例1.2.59设t1,t2,⋯,tm是有理数域Q上线性无关的复数,f1x,f2x,⋯,fmx,gx是Q上的一元多项式且gx在Q上不可约.证明:例1.2.60设fx=i=02n+1aixi为Q例1.2.61设a=5+7.找次数为4的有理系数多项式fx使得fa=0.例1.2.62设fx是次数>0的整系数多项式.证明:若1+2为fx的根,则1-2也是1.2.5多元多项式例1.2.63证明:三次方程x3-必要条件是2a例1.2.64设x1,x2,⋯,xn是方程xn+a1xn-1+⋯+an=例1.2.65对x1,x2求一个n次方程使s21.3习题习题1.3.1设fx,f证明:x-1是fx习题1.3.2设gx证明:gx∣fx当且仅当习题1.3.3设f1x,f2x,g1f习题1.3.4设fx,gx∈Px,a,b,习题1.3.5设fx,gx为数域P上两个非零多项式.证明:存在自然数N使得当n1习题1.3.6设fx,gf习题1.3.7设f=fx,g=gx为I证明:(1)I关于多项式的加法和乘法封闭,且任给hx∈I,kx∈P(2)M中次数最低的多项式的全体恰为fx,g习题1.3.8设fx,gx∈Pxf习题1.3.9设fx,gx∈Px不全为f习题1.3.10设fx,gx为数域P上的两个非零多项式.证明:fx习题1.3.11设P为数域,fx,gx∈Px且次数均大于0.证明:f,g习题1.3.12设px∈Px为一个次数大于0的多项式,则px不可约当且仅当对任意的多项式fx,gx∈Px,由习题1.3.13次数大于0的首项系数为1的多项式fx∈Px是某一不可约多项式的方幂,当且仅当对任意的多项式gx,hx∈Px,由fx∣gxhx习题1.3.14设t为fx的kk>1重根.则t也为gx=fx+t-xf'x习题1.3.15设fx为nn>0次多项式且f0证明:gx有n+1习题1.3.16如果t为f'''x的k重根,则t为gx=x-t习题1.3.17证明:xn+axn-m习题1.3.18设多项式fx满足fx2+1

习题1.3.19设fx∈Cx.若存在非零复数c∈C使得对任意的有fx=fx-c,习题1.3.20设fx是数域P上的多项式,且对任意的afa+b=f习题1.3.21试求出满足条件fx2-习题1.3.22求多项式fx=x习题1.3.23设a为实数.则fx=xn+ax习题1.3.24证明实系数多项式fx=x5+习题1.3.25设a1,a2,⋯,fx=x当且仅当fx是一个整系数多项式的平方,从而n一定为偶数习题1.3.26设fx=x3+ax2+bx+(1)fx在Q上不可约(2)fx没有有理根习题1.3.27设fx是一整系数多项式,f0,f1均为奇数.则习题1.3.28设fx=xn+a1xn-1+⋯+an为整系数多项式.证明:若n习题1.3.29设fx为整系数多项式,a1,fa1=fa2=fa习题1.3.30设p1,p2,⋯,ps为互异的素数,n为正整数且n≠1习题1.3.31设fx是复系数一元多项式,对任意的整数n,fn还是整数,证明:fx的系数都是有理数.举例说明存在不是整系数的多项式满足对任意的整数习题1.3.32设整系数多项式fx满足f1=f2=f3=p,p

第2章行列式2.2.1计算行列式的常用方法例2.2.1计算D例这里,a≠例2.2.3一个n阶行列式D的元素由aij=maxi,j例2.2.4计算n阶行列式Dn=例例2.2.6计算Dn例2.2.7求多项式,fx例2.2.8计算Dn例2.2.9计算D例2.2.10设D=a11a12⋯a1,n-11例2.2.11设A=222例2.2.12设Dn=xa⋯aax⋯a⋮例2.2.13计算D例2.2.14求fx=a1例2.2.15计算D=例2.2.16计算D例2.2.17设S=a1例2.2.18计算fx+1-例2.2.19计算D=例2.2.21计算D例2.2.20证明:(1)a其中Aij为aij在a11(2)i=例2.2.22计算D=例2.2.23计算D例2.2.24计算D例2.2.25计算D=例2.2.26设sk=a1k+例2.2.27设A=aijn×n为数域P上的可逆矩阵,A-1=B例2.2.28计算D例2.2.29计算D例2.2.30计算Dn=例2.2.31计算D例2.2.32求Dn=例2.2.33计算行列式D2.2.2分块矩阵的行列式例2.2.34计算行列式Dn=例2.2.35求矩阵行列式的值A,这里矩阵A=例2.2.36将n阶行列式D的每个元素减去它同行的所有其他元素得到的行列式记为D1.证明:D

例2.2.37设D=aij,Aij为M例2.2.38设A例2.2.39设A=02a13a1⋯例2.2.40设A,B为n阶复方阵,AB=BA例2.2.41设A,B,C,D为n=2.2.3行列式的应用例2.2.42求j1,j2,⋯,jn​a1j1例2.2.43求元素为1或0的三阶矩阵A的行列式A可取到的最大值.例2.2.44设n≥2.证明:元素为1或者-1的n阶矩阵A的行列式A的值能够被2n例2.2.45求元素为1或者-1的三阶矩阵A的行列式A可取到的最大值.例2.2.46设n≥3.证明:元素为1或者-1的n阶矩阵A的行列式的绝对值不超过例2.2.47求元素为1或者-1的4阶矩阵A的行列式d可以取到的最大值.例2.2.48设n≥3.证明:元素为1,-1或0的n阶行列式dn的绝对值不超过例2.2.49设dn为n×n行列式,从左至右,-cos1,cos2,⋯,cosn函数cos的变元按照弧度计,而不按照度数计.求limn→∞d例2.2.50证明D2.3习题习题2.3.1计算D习题2.3.2一个n阶行列式D的元素由aij=i-j习题2.3.3计算D习题2.3.4设A=aij是n阶方阵,且aij=i×j,1≤i,j≤n,习题2.3.5设A习题2.3.6计算Dn=习题2.3.7设A=aij,B=bij为n习题2.3.8计算行列式d=习题2.3.9计算行列式的值1习题2.3.10计算D=习题2.3.11.设dn=sinαi+αjn×n为习题2.3.12设n阶行列式a11a12⋯1,2,⋯,n.对任意数b,求n习题2.3.13计算Dn习题2.3.14求Dn习题2.3.15已知A=1234522211第3章线性方程组3.2.1向量组的线性相关、线性无关及秩例3.2.1证明:若α1,α2⋯,αr线性无关,则α1,α2,⋯,α例3.2.2设α1,α(1)若α1+α2,α2+α(2)若α1,α2,⋯,αn线性无关,则α1+α2,α2+例3.2.3试构造无穷多个n维向量使得其中的任意n个均线性无关.例3.2.4设向量组(I):α1,α2,⋯,αs的秩为r,(II):αi1,αi2,⋯,αim例3.2.5若α1,α2,⋯,αs线性无关,α1可由β1,β2,⋯,βt例3.2.6若α1,α2,⋯,αs线性无关,α1,α2,⋯,αs,β,γ线性相关,则β,例3.2.7设α1,α2,⋯,αm,αβ线性无关⇔α1,例3.2.8证明:α1,α2,⋯,αss≥2线性相关⇔存在不全为0例3.2.9设α1,α2,⋯,αr线性无关,βi=j=例3.2.10证明:若α1,α2,⋯,αs,β满足β=α1+例3.2.11证明:α1,α2,⋯,αss≥2线性无关⇔存在β可由α1例3.2.12设α1,α2,⋯,αr线性无关且可由(1)r≤(2)在向量组β1,β2,⋯,βs中,存在r个向量被α1,例3.2.13α1,α2,⋯,αs线性相关且α1≠0⇔存在αi例3.2.14若有序向量组α1,α2,⋯,αk线性无关,在其前面添一向量β,则在得3.2.2方程组的解例3.2.15证明:整系数线性方程组x例3.2.16证明:方程组x1+x例3.2.17考虑线性方程组x(a)求该方程组的解.(b)求全体解集合的极大线性无关组.例3.2.18(1)设A,B分别是数域K上s×n,s×m矩阵,叙述矩阵方程(2)设A是数域K上s×n列满秩矩阵,试问:方程XA=En是否有解?有解,(3)设A是数域K上s×n列满秩矩阵,试问:对于数域K上任意s×m矩阵B,矩阵方程AX=B是否一定有解?当有解时,它有多少个解?例3.2.19设An×n为实方阵,b为n维实列向量.则A例3.2.20若b为n维列向量,A与Abb'0的秩相同,则例3.2.21若A为n阶反对称矩阵,b为n维列向量,AX=b有解r例3.2.22在Pn中,设α证明:若线性方程组a的解都是b1x1+b2x2+⋯+bnxn例3.2.23设α1,α2,⋯,αs为齐次线性方程组AX=0的基础解系,证明:β不为例3.2.24设A是s×n矩阵,β为s(1)设非齐次线性方程组AX=β有解且rA=r.则AX=β(2)AX=β对所有的s维非零向量β都有解.求例3.2.25设A为n×s矩阵,n≤s.证明:对任给的n维列向量b,AX=例3.2.26已知数域P上n阶方阵A各行元素和为0且rA=n-1.求AX例3.2.27若A为数域P上n阶方阵,A=0且A有一个代数余子式不为零.求AX=例3.2.28设矩阵A=aijn×n可逆,a例3.2.29若α1,α2,⋯,αs为线性无关的n维向量,s<n,则α例3.2.30设m<n,m×n阶矩阵A的秩为m,n×n-m阶矩阵B的秩为n-m,例3.2.31设A=aijm×nβ求方程组j=1n例3.2.32A=α1,α2,⋯,αn为数域P上n阶方阵,rA=n-1且例3.2.33设三元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为1.已知η1,η2,η3为其三个非零解,且例3.2.34已知四阶方阵A=α1,α2,α3,α4,α1,α2,α3,α4为例3.2.35设A为m×n矩阵,b为m维列向量.证明:AX=b有解⇔A'X=0例3.2.36设A为s×n矩阵.若AX=0的解均为BX=0例3.2.37证明:齐次线性方程组ABX=0与BX=0例3.2.38给定方程组a11则方程组(1)与方程组(2)同解⇔A=0或A可逆,此处A=aij为实方阵,Aij为3.2.3方程组理论的一些应用例3.2.39证明:线性方程组Aα=b无解⇔存在行向量c,使得例3.2.40设A为n阶方阵,证明:存在n阶非零方阵B,使得AB=例3.2.41设A=aij为n阶实方阵(1)若aii>j≠i(2)若aii>j≠i例3.2.42设A为n阶矩阵.若存在正整数k>n,使得Ak=0例3.2.43设An×s是实列满秩矩阵,s(1)存在列满秩矩阵Bn×n-s,使得P(2)X0=Cn×m为矩阵方程A'Xn×m=0例3.2.44设线性方程组AX=β有解,其中A=aijm×n为数域P上的矩阵,X为n维列向量,β=b1,b2,⋯,bm'.固定k1≤k例3.2.45设A的行向量组的转置是方程组x1+x2+⋯+xn=0的解.令Mi表示A(1)i=1n-1iMi=0(2)令i=1n-1例3.2.46证明:如果一个球面的球心坐标x0,y0,例3.2.47设A=aijn×m,B=bjkm×3.3习题习题3.3.1用消元法求极大线性无关组与秩:α习题3.3.2设A,B都是m×n矩阵,线性方程组AX=0与BX=0同解,则A与B的列向量组是否等价?行向量组是否等价?习题3.3.3解方程1习题3.3.4就a取何值讨论方程组ax+y+z=习题3.3.5设s个行向量αi=ai1,ai2,⋯,ain1≤i习题3.3.6若Am×n为实矩阵,则习题3.3.7设A是s×n矩阵,B是n×m矩阵,rAB=rB.则对于所有的m×l习题3.3.8设C为n×r列满秩矩阵且r<n.则存在列满秩矩阵B,使得C'B=0且习题3.3.9若非零矩阵An×r的列向量为某齐次线性方程组DX=0的基础解系.证明:矩阵Cn×r的列向量组也为该方程组的基础解系⇔C=AB,此处例3.3.1设A为n阶实矩阵,且任给α∈Rn×1习题3.3.10设A,B分别是数域P上的m×s和s×n矩阵,AB=C.若rA=r,则数域P上存在一个秩为min{s-r,n}的s×n矩阵D习题3.3.11设A为方阵,请根据方程组1:AX=b1和2:AX=b2的解的情况确定方程组A,b1X第4章矩阵4.2.1求矩阵的行列式例4.2.1设n为奇数,A为n阶方阵,A=1,AA例4.2.2设A,B为n(1)若A2=B2=(2)若A,B为正交矩阵,A+B=例4.2.3设n阶n≥3非零实矩阵A满足A*=A'.则例4.2.4设An×n为实方阵,n为奇数n≥3.若aij明:En例4.2.5设矩阵An×n可逆且A的各行元素之和为A(1)a≠(2)A-1的各行元素之和为a(3)A*的各行元素之和为a(4)若a=A,则(5)求2A-1例4.2.6设A是复数域上n阶循环矩阵,其第一行为a1,a2,⋯,例4.2.7设A为n阶可逆阵,α,β为n维列向量.(1)A+(2)A+αβ'例4.2.8设A为n阶矩阵,α,β为n维列向量,则A里A*为A的伴随矩阵例4.2.9设A为n阶可逆阵,α,β为n维列向量.则例4.2.10设A,B为n×m,m×(1)EmBA例4.2.11设A,B,C,D(1)AB(2)若rABCD=n,问ABC不可逆,请举反例说明.4.2.2关于矩阵的伴随矩阵例4.2.12设A=1002例4.2.13设A,B为n阶矩阵,A*,B*分别为AA00B.对下面的四个选项,若正确给出证明(A)M*=AA(C)M*=AB例4.2.14设A为n阶方阵,n>1.证明:例4.2.15设A为n阶方阵,n>1.证明:例4.2.16设n≥2,A为n阶方阵.例.4.2.17设A,B为同阶方阵.则例4.2.18设A为n阶方阵,n≥2.证明:例4.2.19设An×n为实方阵.证明4.2.3关于矩阵的逆例4.2.20设A为n阶复方阵,则存在a>0,使得对任意的t∈C,0<t<例4.2.21求n阶矩阵Mn的逆矩阵nM例4.2.22设n阶方阵A,B满足A+(1)A-E可逆;(2)AB=例4.2.23设A,B,A+B均为n阶可逆阵.证明:A-例4.2.24设A为数域P上2阶方阵,A5=0(其实只需A3=(1)存在k∈P使得A2=k例4.2.25设A,B∈Pn×n为n阶方阵.则E例4.2.26设A,B分别是数域K上的n×m和m×n矩阵.证明:若En-AB可逆,则例4.2.27设A为n阶可逆反对称矩阵,α是n维列向量.证明:Aαα'k可例4.2.28设A为n阶可逆阵,B,C为n×m,m×n阶矩阵.证明:Em+C例4.2.29设An×n可逆.对A做下述初等变换,首先将第一行的-k倍加到n行,再交换1,n行得例4.2.30设P为数域,a1,a2,⋯,aA=a1a2a3⋯ana例4.2.31设εk=e2kπin,这里k为整数B例4.2.32设A为数域P上n阶可逆矩阵,1+(1)证明矩阵P=Aα-β(2)证明A+αβ'例4.2.33试求解矩阵方程X1例4.2.34设实数域上n阶方阵A的所有顺序主子式全为正数,而非对角线上元素全为负数,则A-14.2.4矩阵迹(tr)的性质例4.2.35设An×n,Bn×n为数域P(1)trA+B=trA+tr(3)trAB=trBA.(5)trEij=δij,这里Eij为第i行第j列交点处元素为1其余元素全为0的n阶方阵.(6)若P为数域P上的n×n可逆矩阵,则例4.2.36证明:对任何二阶复方阵A,B,例4.2.37设An×m为实矩阵,对任意实矩阵Bm×n,均有例4.2.38设MnC是复数域上所有n阶方阵组成的线性空间,T:MnC→C是一个线性映射,满足对任意的A,B∈MnC,TAB=TBA例4.2.39设A是n阶可逆实对称矩阵.证明:A是正定矩阵当且仅当对任意的n阶正定矩阵B,均有trAB例4.2.40设A是n阶实方阵,证明:A为实对称矩阵当且仅当AA'=A2,其中A'4.2.5矩阵的秩例4.2.41设A是数域P上n阶方阵.证明:对任意的正整数k,有rA例4.2.42设A,B均为数域P上n(1)若AB=0,则(2)设A是数域P上的n阶矩阵.对任意的列向量X,AX=0,例4.2.43设A,B为数域P上m×n阶矩阵.例4.2.44证明:若A,B,C分别是数域P上nr例4.2.45设A1,⋯,As为数域P上n阶方阵,A1例4.2.46数域P上矩阵Am×n的秩为rr≥1⇔A可分解为A=i=1r例4.2.47设An×n,Bn×n为数域P上n(1)A+aB=0(2)A*+aB*例4.2.48设A为数域P上n阶可逆阵,U,V为n×m阶矩阵,Em为则rV例4.2.49设A,B分别是数域P上的s×n,r例4.2.50证明:若A为数域P上n阶方阵.则A2=r例4.2.51设A是数域P上的n阶矩阵.rA<n,A=B1⋯Bs,B1,⋯,Bs例4.2.52若A,B为数域P上n阶方阵,则例4.2.53设A,B为数域P上n阶矩阵.证明:若A+B=En,r4.2.6矩阵标准型与矩阵的分解例4.2.54求数域P上可逆矩阵P与Q使得P101-103例4.2.55设A为数域P上n阶方阵.证明:存在n阶方阵B,C,使得A=BC,其中B例4.2.56设A为数域P上n阶方阵.证明:存在数域P上n阶方阵B,使得A例4.2.57设A是数域P上的n阶方阵.证明:(1)如果矩阵A的各阶顺序主子式都不为0,那么A可以唯一地分解成A=BC,其中B是主对角元素都为1的下三角形矩阵,C是上三角形矩阵(2)设A可逆.试问:A是否可以分解成A=BC,其中B是主对角元素都为1的下三角矩阵,C是上三角形矩阵?例4.2.58(1)将a00a-1表为形如(2)若A=abcd,A=1(3)若An×n=1,则A可表示为形如例4.2.59设A是数域P上的m×r(1)A列满秩⇔存在Pm×m为可逆矩阵,使得(2)A为行满秩⇔存在Qr×r为可逆矩阵,使得(3)由rAm×n=r,则存在列满秩矩阵Pm×r例4.2.60设An×n为数域P上方阵,rA=r.证明:存在秩为r的方阵B,例4.2.61设A,B为数域P上n阶方阵且rA+rB≤n.证明:存在n阶可逆例4.2.62设A是数域P上的一个m×n矩阵,Em是m阶单位矩阵,证明:存在n×m矩阵B使得AB=Em的充要条件是4.2.7特殊矩阵例4.2.63求数域P上满足A*=A例4.2.64求数域P上平方等于0的所有二阶矩阵.例4.2.65设A是数域P上的二阶矩阵,l≥2是整数.证明:Al=0当且仅例4.2.66求出数域P上二阶对合矩阵A2=E例4.2.67求出实数域上二阶正交矩阵AA'=例4.2.68证明:(1)2×2实矩阵A满足AA(2)证明不存在二阶实矩阵A使得A2=-10例4.2.69证明或否定:对任何C上的2×2矩阵A,存在2×2矩阵B4.2.8矩阵性质的应用例4.2.70设A=aijn×n,且对任意的i,j,aij例4.2.71设J=λ010⋯000λ01⋯例4.2.72设a为实数,A=a1a⋱⋱1例4.2.73设Am×n,Bn×p,Cp×s为数域例4.2.74设A3×2,B2×3例4.2.75设A,B分别是3×2,2×3例4.2.76设A为n阶方阵,且A的每行每列中只有一个元素为1或者-1,其余元素全为0.求证:存在自然数k使得Ak4.3习题习题4.3.1设A为n阶方阵,AA'=En习题4.3.2设A=aij4×4为实方阵,Aij=-a习题4.3.3设α为n维列向量,α'α=1.习题4.3.4设A,B为n阶可逆矩阵.求Q=习题4.3.5设A为数域P上n阶矩阵,En-A,En习题4.3.6设A,B(1)证明:ABBA=A+B⋅A-B.(2)若习题4.3.7设A为n阶实矩阵,C为正交矩阵.(1)证明:trC(2)用σA表示A的所有元素的平方和.则σ习题4.3.8证明:任意n阶实方阵A为反对称矩阵的充要条件是AA习题4.3.9证明:若A,B为同阶实方阵,AB=B-习题4.3.10设A,B,C为数域P上n阶方阵,习题4.3.11设A是数域P上n阶矩阵.证明:rA习题4.3.12设A,B,C为数域P上同阶方阵.若习题4.3.13设An×r,Br×n(1)若rA=r,则(2)若rB=r,则习题4.3.14设A,B为数域P上n阶方阵,En为n阶单位矩阵,0为n阶零矩阵(1)rA(3)rAB习题4.3.15设An×s,Bn×t为数域习题4.3.16A为数域P上s×n阶矩阵,证明习题4.3.17设A为数域P上可逆矩阵,G=AB习题4.3.18设数域P上n阶矩阵A,B可交换.证明习题4.3.19求出数域P上二阶幂等矩阵A2=A

第5章二次型5.2.1二次型的矩阵、秩及合同变换例5.2.1设f例5.2.2设A为n阶实可逆矩阵,若A与-A合同,则n为偶数;进而,若A为实对称矩阵,则A的正惯性指数为n例5.2.3设A为n阶实对称矩阵,A的所有的顺序主子式D1,D则A合同于对角矩阵D例5.2.4证明:(1)实二次型f的秩为矩阵A=aij(2)求出fx1,x2例5.2.5设n阶实对称矩阵A可逆,Aij为元素aij的代数余子式g5.2.2二次型的标准形、规范形、惯性定理例5.2.6若n元实二次型fx1,x2,⋯,xn=X'AX当且仅当例5.2.7证明:一个实二次型可分解为两个一次齐次因式的积当且仅当秩为2,符号差为0或者秩为1.例5.2.8设 f为实二次型,其中li为x1,⋯,xn的一次齐次式.则fx1,⋯,xn例5.2.9若实二次型fx1,⋯,xn=X'AX的矩阵A满足A≠0,当xk+1=⋯=xn=0时,fx例5.2.10证明:A=1ij

例5.2.11设A为n阶正定矩阵,B为n×m矩阵.证明:(1)B'(2)rB=m当且仅当B例5.2.12.证明:(1)设A为正定矩阵.则A的逆矩阵和伴随矩阵都是正定矩阵.(2)设A为正定矩阵.设A-1和A*表示A的逆矩阵和伴随矩阵.证明:A-1(3)若A*正定,则A>0时,A正定,A<0时(4)若A半正定,则A*半正定(5)若An×n半负定,则n为奇数时,A*半正定;n为偶数时,例5.2.13设ABB'C为正定矩阵,其中A,C分别是n阶与(1)A,C正定;(2)C-例5.2.14设a1,⋯,anf正定当且仅当1+例5.2.15设ai>0,i=1,2,⋯,n,且a例5.2.16证明下述n+1阶矩阵AA例5.2.17设A为n阶实对称矩阵.证明:(1)存在正实数t使得tEn+(2)存在正实数t使得En+t(3)若A可逆,则A与A-1有相同的正、负惯性指数,特别地,A正定当且仅当A-例5.2.18设A=aijn×(1)A的主对角线上元素全大于0.(2)对i≠j,我们有(3)A中各元素绝对值中最大者一定在对角线上,且为正数.例5.2.19设A为n阶正定矩阵,B为实对称矩阵且X'BX=X'例5.2.20设gx1,x(1)二次型fy1,y2(2)若A=aij正定,则A≤annPn-1,其中Pn(3)若A正定,则A≤a11a22⋯ann.(4)若(5)若A为方阵,则A2(6)设A为n阶实方阵且A的所有元素aij≤k.证明(7)设A=aijn×n为n阶实对称矩阵,例5.2.21证明:n阶实方阵A正定⇔存在n个线性无关的列向量α1,α2,⋯,αn例5.2.22(1)设A1,⋯,As为n阶实方阵,i=(2)若A,B为实对称矩阵,C为实反对称矩阵,A2例5.2.23设A为n阶实方阵.则A半正定⇔任意Bn×m例5.2.24设A=aijn×n存在非零矩阵B使得AB=0.则A例5.2.25设A为实方阵,则存在可逆矩阵P使得AP=C,0,其中rC=5.2.4与实对称(反对称)矩阵有关的问题例5.2.26设A为实对称矩阵,B为半正定矩阵且A+iB(1)方程组AX=0BX=0例5.2.27设A为n阶实可逆矩阵,S为实反对称矩阵.则A'例5.2.28若实对称矩阵A的所有一阶主子式之和与所有二阶主子式之和均为0,则A=例5.2.29设A为实对称矩阵,α,β为列向量.(1)若t1>0,t2<0,则α,β线性无关.(2)若(3)若α,β为单位向量,t1<t2.则对任意的t∈t1,t(4)若t1>0,t2<0,则存在η,θ,η和θ线性无关,而例5.2.30(1)设A为实对称矩阵.证明:对任意的n维实列向量α,α'(2)证明:A为反对称矩阵⇔对任意的n维实列向量α,

例5.2.31证明:实反对称矩阵A合同于0例5.2.32设S为n阶非零实反对称方阵,求证:2E例5.2.33设n元实二次型fX=X'AX的秩为r,正、负惯性指数分别为p,q(1)证明:存在q维子空间W⊆Rn使得对任意X∈W有fX=0.(或改为存在一个12(2)令V=X∣X∈Rn,fX=例5.2.34设A为正定矩阵.证明:A+A-例5.2.35设A=aij,B=bij(1)若A,B为半正定矩阵,则C(2)若A,B为正定矩阵,则C例5.2.36设fX=X'AX,gX=X'BX为实二次型,B可逆,A-λB=0有n例5.2.37用trM表示一个方阵M的迹,即M对角线上元素的和.设A,B为半正定矩阵.则trAB=例5.2.38证明:若S为n阶正定矩阵,则存在唯一的正定矩阵S1使得S例5.2.39设A,B为同阶实对称矩阵.则AB-例5.2.40设Q为n阶正定矩阵,X为n维实列向量.证明:0例5.2.41设A,B为n阶实矩阵,AB+BA=0,且A例5.2.42设A,C分别是n,m阶实对称矩阵,B是n×m实矩阵,ABB'C正例5.2.43设A为n×n实矩阵(未必对称),对任一n维实向量α=a1,⋯,an,αAα'≥0且存在n维实向量β使得βAβ'=0.同时对任意的n维实向量γ1和γ2,当γ1Aγ2​例5.2.44设A,B,C均为实n阶正定矩阵,Pt=t2A+tB+C,ft=Pt,其中t为未定元,Pt表示Pt的行列式.若λ5.3习题习题5.3.1设A=A1A2为n阶实可逆矩阵,A1,A2分别是(1)fX=X'A1'A1-A2'A2X习题5.3.2求可逆矩阵C使得C'AC为对角矩阵,这里习题5.3.3设α1,α2,⋯,αs为n维实非零列向量,αi'习题5.3.4设A为n阶实方阵.证明:rA=n当且仅当存在n阶实方阵B使得A习题5.3.5t取何值时,二次型fx1,x2,x3=习题5.3.6判断二次型fx1,⋯,习题5.3.7设二次型fx其中a,b为实数.问a,b为何值时习题5.3.8设A=aijn×n正定,b1,⋯,b习题5.3.9设A=15516.求非零整数x习题5.3.10设B为n阶正定矩阵,N为n×k阶列满秩矩阵,则二次型fX=X'AX的正、负惯性指数分别为n习题5.3.11设A为n阶正定矩阵,B为n×m矩阵.证明:习题5.3.12主对角线上全为1的上三角形矩阵称为特殊上三角形矩阵.(1)设A为对称矩阵,T为特殊上三角形矩阵,则B=T'AT与A(2)若对称矩阵A的各阶顺序主子式不为0,则存在特殊上三角形矩阵T使得T'AT习题5.3.13已知实矩阵A=22(1)矩阵方程AX=B有解但是BY=A(2)A相似于B当且仅当a=3,b=23.(3)A合同于习题5.3.14设A为n阶实对称矩阵.证明:存在一正实数c使得对任意n维列向量X有X'习题5.3.15设A=a11aA*B=a11b11习题5.3.16设A为n阶实矩阵,且A不是对称矩阵,对任意的n维实列向量α,都有α'Aα≥0.设β为一列向量,满足Aβ=习题5.3.17设A为n阶实反对称矩阵.证明:A≥第6章线性空间6.2.1线性空间的维数与基、子空间例6.2.1设A=λ1λ⋱⋱1λn×n,其中V=B∈Mn例6.2.2设V是数域P上的n维线性空间.W=Lα1,α2,α3,α4为V的一个子空间,β1,β2∈W且线性无关,证明例6.2.3若数域P上n维线性空间V中的s个向量α1,⋯,αs线性相关,而其中任意s-(1)若k1α1+k2α2+⋯+(2)若k且l1≠0,则例6.2.4设P为一个数域,W为Pn的一个非零子空间,W中的每个向量a1,⋯,an满足a1=⋯=an=例6.2.5设W为Pn的一个非零子空间,W中任一非零向量的为0的分量的个数≤r.证明:例6.2.6设A,B分别为数域P上n×m,m×p矩阵.设XV={β:β=XA,XAB=0}.证明:V为线性空间且dimV=rA-rAB.例6.2.7设F,K,E是数域,K⊂F⊂E.则F,E是K上的线性空间.假定作为K上的线性空间F是有限维的,作为F例6.2.8设A∈X=Rn×n,A在X中的中心化子CA={B∈X:AB=BA}为X的子空间.证明:A为实对称矩阵时例6.2.9设V为数域P上的n维线性空间,n≥1.证明:存在V中的一个由无穷多个向量构成的向量组αi:i∈N使得其中的任意n6.2.2线性(子)空间的交与和例6.2.10设V为数域P上的有限维线性空间,V1,V2为dimV1+V2=dimV1∩例6.2.11设V1,V2,V3为有限维线性空间V的子空间,V例6.2.12设V为数域P上n维线性空间n>1.证明:V的r维子空间(1≤r例6.2.13设V为数域P上n维线性空间n>1.证明:V的任-r(1≤r≤例6.2.14设V1,⋯,Vs为数域P上线性空间V的s(1)存在一个向量α不属于V1,⋯,Vs中的任何一个,(2)存在V的一组基ε1,ε2,⋯,例6.2.15设W0,W1,⋯,Wt是数域P上n维线性空间的t+1个子空间且W0⊆W6.2.3线性空间的直和例6.2.16设V为数域P上n维线性空间,V1,V2为V的子空间,且V1,V2的维数相等.证明:例6.2.17设V为数域P上n维线性空间,V1,V2,⋯,Vs为V的非零真子空间,且维数相等.证明存在一个子空间W使得V例6.2.18设V1,⋯,Vs为数域P上线性空间W(1)W为直和;(3)Vi(2)零向量分解唯一;(4)dimW例6.2.19设fx,gx为数域P上互素的多项式,M∈Pn×n,A=fM,B=gM.例6.2.20设A是数域P上的n阶可逆矩阵,设A=AP例6.2.21设n是一个自然数,V是由所有n×n实矩阵构成的n2维实线性空间,U和W是由所有n×n实对称矩阵和实反对称矩阵构成的线性空间.证明例6.2.22设A,B,C,D是数域K上n阶方阵,两两可交换,且AC+BD=En为V2=X∈K6.3习题习题6.3.1求由向量组α1=1,2习题6.3.2设α1,α2,⋯,αn为数域P上n维线性空间V的一组基,A为n×s阶矩习题6.3.3(1)证明:在Pxn中,fi=j≠i​x-a(2)在(1)中取a1,⋯,an为全体n次单位根,求由基1,x,⋯,xn习题6.3.4设A为n阶半正定或半负定矩阵.证明:W=X∈Rn:X'AX=0}为Rn的子空间,并求出W的维数.举例说明A为不定矩阵时,W不为线性空间.习题6.3.5设As×n为实矩阵,rA=r<n.设As×nX=习题6.3.6设α1,α2,⋯,αs与β1,β2,⋯,βt是数域Px1α1习题6.3.7W1,W2为n元齐次线性方程组AX=0与BX=0的解空间.试构造两个n习题6.3.8设V是数域K上的n维线性空间,V中有s组向量,其中每组都有t个线性无关的向量βi1,⋯,βit1≤i≤s,t<n.证明:在V中存在n习题6.3.9设W1,W2为数域P上线性空间W的两个子空间,W=W1+W2.证习题6.3.10设A是数域P上的n阶方阵,A2=A.令V1和V2分别为AX=0和A习题6.3.11设V1和V2分别是数域P上齐次线性方程组和x1=x2=⋯=xn习题6.3.12设σ1,σ2,σ3是数域P上线性空间V上的两两不同的线性变换.求证:存在α

第7章线性变换7.2.1线性变换例7.2.1设V为数域P上n维线性空间,σ∈LV为V上的一个线性变换.若σ在V的任意一组基下的矩阵都相同,则σ例7.2.2设V为数域P上n维线性空间,σ是V上线性变换,W1,W2⊂V为线性空间,V=W1例7.2.3设σ为数域P上n维线性空间V上的线性变换.(1)设α1,α2,⋯,αr为σV的一组基,β1,β2,⋯,βr为(2)若W为V的一个子空间,则dimσW例7.2.4设σ为数域P上线性空间V上的线性变换,σk-1α≠0,例7.2.5设V为数域P上n维线性空间,σ是V上一个线性变换,α1,⋯,αn为V的(1)求σ在基α1,⋯,α(2)证明:σn(3)设τ∈LV,τn=0,τn-1≠0.则存在(4)若存在向量α∈V使得σn-1α≠(5)设τ∈LV.若存在向量α∈V使得τn-1α≠0,τnα=0(6)设τ∈LV.若存在向量α∈V使得τn-1α≠0,τnα=0,则(7)设τ∈LV.若存在向量α∈V使得τn-1α≠0,τ(8)设n阶方阵M,N满足MnΓ1≠⌀,N(9)σ在某基下的矩阵是00⋯0010⋯00例7.2.6设V是数域P上一个有限维的线性空间,σ,τ∈(1)证明:若kerσ,kerτ分别是σ,τ的零空间,则ker(2)证明:V的维数为偶数.(3)证明:若V的维数为2,则V有一组基使得σ,τ例7.2.7设V是数域P上n维线性空间,σ,τ是其上的线性变换,dimker例7.2.8设V是数域P上n维线性空间,σi:i=1,⋯,sσ其中I是V上的恒等变换,rσi是σi的秩i=1,2,⋯,s.求证例7.2.9设Fn是数域F上的n维列向量构成的线性空间,σ:Fn→Fn是一个线性变换.若对F上的任意n阶方阵A,σAα=Aσα,任意α∈Fn,证明例7.2.10设V为数域P上n维线性空间,V1,V2为V的子空间,满足dimV1+dimV2=n.7.2.2线性变换和矩阵的特征值、特征向量例7.2.11已知数域P上三阶方阵A与三维向量ξ,使得向量组ξ,Aξ,A2ξ线性无(1)记P=ξ,Aξ,A2ξ.(2)计算行列式A+E3,其中E例7.2.12设A为数域P上的n阶方阵.(1)若A在P中有n个特征值λ1,λ2,⋯,λn,则A在P上相似于上三角方阵B(2)若λ1,⋯,λr是A在P中的特征值,则A在P其中B1=λ例7.2.13设fx=a0+a1x+⋯+amxm是数域K上的一个多项式.证明:如果λ0是数域K上的n阶矩阵A的一个特征值,且α是A的属于λ0的一个特征向量,则fλ0是矩阵例7.2.14设V=Pn×n.A∈V有特征值λii=1,⋯,n,但是-例7.2.15设数域P上n阶矩阵A的秩r<n,则A至少有n-例7.2.16设λ1是n维线性空间V上的线性变换σ的n1重特征值,则例7.2.17设A,B为n阶方阵,B为幂零矩阵且AB=BA.证明:A+B=A例7.2.18设A是n阶方阵,A+Enm=0.求证:例7.2.19设A为n阶方阵,A2(1)若rA=r,则En+A=2r.(2)设例7.2.20设A是四阶方阵,3E4+A=0,AA例7.2.21设A为n阶方阵且不可逆.证明:A的伴随矩阵A*的n个特征值至少有n-1个为0,而另一个非零特征值(若存在)等于例7.2.22设σ是数域P上nn≥3维线性空间V上的线性变换,为fλ=λn+例7.2.23设A,B均为n阶矩阵,B的特征多项式为fλ.求证:fA可逆当且仅当B的任意特征值均不是例7.2.24设A,B,C均为数域P上n阶方阵,AC=CB,rC=r≥1.证明:A,B的特征多项式有r次公因式例7.2.25设A∈MnC,B∈MmC在MnmC中有唯一的解X.当C=0时,AX-例7.2.26设n阶实矩阵A的主对角线上元素全为1,且A的特征值全是非负实数,求证:A≤例7.2.27设A,B为数域P上n阶方阵,λ为BA的非零特征值,VλBA为BA的属于(1)λ也为AB的特征值.(2)dimV例7.2.28设数域P上的n阶方阵A的特征多项式为λ-λ1⋯λ-λn.例7.2.29设数域P上n阶方阵A的特征值为λ1,λ2,⋯,λn,相应的特征向量为α1,例7.2.30证明:任意n阶实方阵A的特征向量也是其伴随矩阵A*的特征向量例7.2.31设A,M,N为n阶实方阵,M,N正定,λ为H=AMN-A'的特征值,u=αβ为相应的特征向量,这里α,β均为例7.2.32设A为n阶实方阵.(1)若对任意的n维非零实列向量α,均有α'Aα<0,则A(2)若对任意的n维非零实列向量α,均有α'Aα>0,则A(3)若对任意的n维非零实列向量α,α'Aα>例7.2.33设A=aij是n阶复方阵,si=j=1naij例7.2.34设V为实数域R上的n维线性空间,σ∈LV,例7.2.35(1)设λ1,λ2为数域P上线性空间V上的线性变换σ的两个互异特征值,ε1,ε2为对应的特征向量,则(2)若线性变换σ以V的每个非零向量为特征向量,则σ为数乘变换.7.2.3特征多项式、零化多项式和最小多项式例7.2.36证明:秩为1的nn>1阶矩阵A的最小多项式为例7.2.37设n阶实矩阵A有一个特征值为1的三次虚根,若A的最小多项式次数为2,求证:A+En例7.2.38设A=1020-1例7.2.39设A∈Pn×n,fx∈Px.已知ff例7.2.40设A∈Rn×n可逆.证明:A-1由此求出A=1-例7.2.41若n阶实方阵A的元素均为a,a≠0,则存在多项式fx使得例7.2.42设σ为数域P上的线性空间V的线性变换.试给出σ的零化多项式与最小多项式的定义以及二者的关系,并加以证明.例7.2.43设fx是数域P上方阵A的特征多项式,gx为任一多项式,fx,gx=例7.2.44设数域P上n阶方阵A的最小多项式为mλ,gλ为数域P上任意多项式,则gA例7.2.45设A是数域P上n×n矩阵,(1)A的最小多项式唯一.(2)A的最小多项式是A的特征多项式的因式.例7.2.46证明:数域P上相似的两个矩阵具有相同的最小多项式.例7.2.47设A∈Pk×k,W={fA:fx∈Px},mx是A例7.2.48设数域P上n阶方阵C(1)求C的特征多项式.(2)求C的最小多项式.(3)求与方阵C交换的方阵全体.7.2.4线性变换和矩阵的对角化问题例7.2.49设A为数域P上n×n矩阵.若A在数域P上可以对角化,则A的伴随矩阵A*在数域P上也可以对角化且A与A例7.2.50证明或提供反例:若A是一个可逆的n×n复矩阵并且A的某次幂是对角矩阵,则A例7.2.51设2n阶矩阵A是有理数域Q上的矩阵,其特征多项式的所有不可约因子为λ2+λ+1,λ2-2.又A例7.2.52设V是复数域上的线性空间,σ,τ为V的线性变换,(1)若λ为σ的一个特征值,则Vλ为τ的不变子空间(2)σ,τ例7.2.53设V为复数域上的n维线性空间,σ1,⋯,σt为V上的线性变换(1)σi的特征子空间均为σj(2)σ1,⋯,σ例7.2.54设A,B为数域P上的n阶方阵,A,B的特征值均在数域P中,AB=BA,则存在可逆矩阵P使得例7.2.55设A,B,C为n阶复方阵,AC=CA,BC=CB,例7.2.56设A与B是2阶实矩阵且A2=B2可逆矩阵T使得TAT例7.2.57设V=Pn×n是数域P上的n阶方阵构成的线性空间,A∈V且A与对(1)σ为V上的一个线性变换.(2)σ在V的某一组基下的矩阵也是对角矩阵.例7.2.58设映射σ:V=Pn×n(1)证明:σ为一个线性变换.(2)求σ的特征子空间.(3)证明:σ可以对角化.例7.2.59设V=Pn×n是数域P上的n阶方阵构成的线性空间,A∈V且A与对则(1)σ为V上的一个线性变换.(2)σ在V的某一组基下的矩阵也是对角矩阵.例7.2.60设A,B为复数域上的两个n阶方阵,A+(1)A,B(2)A可对角化等价于B可对角化.例7.2.61设A是实二阶矩阵且A<0.求证:A例7.2.62设A,B,C是复数域上的n阶矩阵,A,B设fλ是A的特征多项式,且fB可逆.求证:M=例7.2.63设V是有限维复线性空间,σ,τ是V上的线性变换(且满足στ=τσ.若σ与τ各自均能够对角化,则存在V的一组基使得σ与τ在这组基下的矩阵同时例7.2.64设n阶复矩阵Ai:i=1,⋯,m两两可交换,即AiAj=Aj例7.2.65(1)设A为n阶方阵.若存在自然数m使得Am=En,则(2)证明:若存在自然数k使得非零矩阵A满足Ak=0,则A必不相似于对(3)若n阶方阵A适合A2=En,则(4)若n阶方阵A满足A2=A,则A(5)若n阶实矩阵A满足A2+A+En=例7.2.66设σ是数域K上n维线性空间V上的线性变换.如果σ的矩阵可以对角化,则对σ的任意一个不变子空间M,σM例7.2.67设σ是数域K上n维线性空间V上的线性变换.如果σ的矩阵可以对角化,则对σ的任意一个不变子空间M,都存在σ的不变子空间N使得V=例7.2.68设σ为复数域上n维线性空间V上的线性变换.如果对σ的任意一个不变子空间M,都存在σ的不变子空间N使得V=M⊕N,则例7.2.69设A=715-2-4.求实矩阵B例7.2.70已知矩阵A=1-(1)求y的值.(2)求P使得P-例7.2.71设A=1-120-例7.2.72证明:32例7.2.73设A=2100例7.2.74设A=1例7.2.75设矩阵A=3112例7.2.76设V是复数域上的所有2×2矩阵构成的线性空间.对于V中任意矩阵A,定义线性变换σA(1)若A=0100,则(2)若A的特征值均为0,则σA的所有特征值均为例7.2.77用B表示元素全为1的n阶矩阵,n≥2.设fx=a+bx(1)求B的全部特征值和特征向量.(2)求A的特征子空间.(3)A是否可以对角化?若A可以对角化,求出有理数域上的一个可逆矩阵P使得P-1AP为对角矩阵例7.2.78已知A的特征多项式为fλ=λ3-7λ例7.2.79已知某个实对称矩阵A的特征多项式为f例7.2.80已知A1,A2,A3是三个非零三阶矩阵,且(1)Ai的特征值只有1和(2)Ai的属于特征值1的特征向量是Ajj≠i(3)若X1,X2,X3分别是A1,A2,A(4)rA(5)存在可逆矩阵P使得P-1AiP同时为对角矩阵(6)对i,j=1,2,例7.2.81设B=a12a1实数.证明:(1)对任意的自然数k,存在m使得Bk(2)对任意的自然数s,存在方阵X使得B=例7.2.82设数域P上的n维线性空间V的一个线性变换σ在基α1,⋯,A(1)求σ的特征多项式.(2)n维线性空间V有循环基吗?若有,试求之.(3)求A的最小多项式,并说明理由.例7.2.83设A,B均为数域P上的n阶矩阵,AB=BA,A有两两不同的特征(1)存在可逆矩阵P使得P-1AP(2)存在多项式fx=0或者次数不超过n-1次的非零多项式fx例7.2.84设A,B为n阶实方阵,A2=A,B2=B,AB=BA.例7.2.85用trA表示n阶方阵A的对角线上的元素之和(1)对复数域上的n阶方阵A,tr(2)证明:不存在n阶方阵A,B使得例7.2.86设V是数域P上的n维线性空间.假设存在V上的线性变换σ,δ(1)τδ=(2)σ的秩小于δ的秩.试证明τ与σ至少有一个公共的特征向量.7.2.5不变子空间、值域、核例7.2.87设σ是有限维线性空间V上的线性变换,σn=I是V上的恒等变换,n∈N.设W={α∈V:σα=α}.证明:W例7.2.88设σ为n维线性空间V上的一个线性变换,α1,⋯,αk分别是σ的属于不同特征值λ1,⋯,λk的特征向量.若α1+⋯+α例7.2.89设V=Pxn为数域P上次数不高于n-1的多项式生成的线性空间.σ:V→V(1)求kerσ(2)证明:V=ker例7.2.90设fx,gx∈Px,dx为fx,gx的最大公因式,σ为数域P例7.2.91设σ是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换,fx是σ的最小多项式,且在Px中存在首项系数为1的互素的多项式f1x,f2x使得fx(1)V1,V2都是(2)V=(3)存在V的一组基ε1,⋯,εn使得σ(4)σV1的最小多项式为f1x,例7.2.92设σ,τ为数域P上的n维线性空间V的线性变换σ2=σ,τ例7.2.93设σ1,⋯,σs为数域P上n维线性空间V的线性变换,σi2=例7.2.94设V为数域P上的n维线性空间.ε1,⋯,εn为V的一组基.V1为ε1+⋯+(1)V2为V的子空间(2)V=(3)设V的线性变换σ在基ε1,⋯,εn下的矩阵为置换矩阵A,即A的各行、各列有且只有一个数,其余的为0.则V1,V例7.2.95设σ为数域P上n维线性空间V的线性变换,σV=σ-(1)n为偶数.(2)存在V的基使σ在该基下的矩阵为0E例7.2.96如果数域P上的n维线性空间V的线性变换σ在数域P中有n个两两互异的特征值,求σ的不变子空间的个数.例7.2.97设V为数域K上n维线性空间,σ是V上线性变换.证明:必存在mN使得V=Im例7.2.98设A是数域P上的n阶方阵.证明:A相似于B00C,其中B是可逆矩阵,C是幂零矩阵,即存在m使得例7.2.99给定实数域R上二维线性空间V上的线性变换σ.设σ在一组基下的矩阵为A=011-a0例7.2.100设σ是复数域上6维线性空间V上的线性变换,σ的特征多项式为f证明:V能够分解为三个σ-不变子空间的直和,且它们的维数分别是1,例7.2.101设σ是数域K上的n维线性空间V上的线性变换.证明:存在V的σ-不变子空间W1,W2,⋯,Wm使得V=W1⊕W2⊕⋯⊕W例7.2.102设fλ,mλ分别是数域K上的矩阵其不可约分解式分别为mλ=这里p1λ,p2λ,⋯,ptλ为两两互素的首项系数为1的不可约多项式.设矩阵7.2.6循环矩阵及其对角化例7.2.103称C=010⋯0001⋯0⋮⋮例7.2.104复数域上n阶循环移位矩阵C=010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋮例7.2.105用MnP表示数域P上的所有n阶矩阵构成的集合.数域P上的nA称为循环矩阵.用U表示所有n阶循环矩阵的集合.证明:U是MnP的一个子空间,例7.2.106求复数域上n阶循环矩阵A=a1例7.2.107求证:复数域上的n阶循环矩阵A=a1a2例7.2.108证明:复数域上的所有n阶循环矩阵都可以对角化,并且能同时找到一个可逆矩阵P使得它们同时对角化.7.3习题习题7.3.1设数域P上的n阶