江西省南昌市2024-2025学年高一上学期1月期末考试 数学 含解析

江西省南昌市2024-2025学年高一上学期1月选课走班调研检测（期末）数学试题一.单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定形式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题进行求解即可.【详解】因为全称量词命题否定是存在量词命题，所以的否定是.故选：B2.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合，解一元二次不等式化简集合，再利用并集的定义求得答案.【详解】依题意，，，所以.故选：C3.某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，62029774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，32141676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到第5个样本编号是（）A.37 B.32 C.14 D.16【答案】D【解析】【分析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可．【详解】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14，57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16，则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16．故选：D4.下列函数中，与函数是同一个函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案.【详解】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数；对于B，的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以与函数不是同一函数；对于C，的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以与函数不是同一函数；对于D，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数.故选：D5.设，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性比大小，即可求解.【详解】由于单调递减，故，即，由于函数为上的单调递增函数，故，故，因此，故选：A6.已知，若有三个零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，把问题转化为方程在上有两个不等根求解.【详解】当时，由，得，而函数在上单调递增，又有三个零点，因此方程在上有两个不等根，于是，解得，所以的取值范围为.故选：B.7.元宵节灯展后，悬挂的2串（5盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为，则花灯与花灯被相邻取下的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】还原情境，根据概率的乘法公式即可求解.【详解】花灯与花灯被相邻取下的包括第一次取a第二次取x和第一次取x第二次取a，概率为.故选：B8.已知函数的零点为，函数的零点为，则下列结论中错误的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】对于AB，根据零点的存在性定理即可判断；对于C，令，从而可得，再结合单调性即可判断；对于D，根据的单调性可得，从而可判断.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增.又，且在上是连续函数，又当时，，所以在上存在唯一零点，即，A正确；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增.又，且在上是连续函数，又当时，，所以在上存在唯一零点，即，B正确；对于C，，令，则，，又，所以，即，又在上单调递增，所以，C错误；对于D，因为在上单调递增，且，所以，D正确.故选：C.二.多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据：甲乙若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（）A.乙比赛成绩优秀的概率为B.甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数C.甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差D.为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛【答案】AC【解析】【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A，应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差，比较它们的大小即可判断BCD.【详解】比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为，故A正确.为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可，甲的平均数，乙的平均数，所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误.甲的方差.乙的方差，则，C正确.由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时约少说明跑的快），并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误.故选：AC10.已知符号函数下列说法正确的是（）A.函数为奇函数B.C.D.函数在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】对于A，运用奇偶性定义判断即可；对于B，利用指数函数的值域结合新定义判断即可；对于C，利用对数函数的值域结合新定义判断即可；对于D，求出时的函数解析式，根据二次函数单调性判断即可.【详解】对于A，，当时，，则，当时，，则，当时，，所以为偶函数，错误.对于B，因为，所以，正确.对于C，当时，，所以，所以，正确.对于D，当时，，则，开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减，正确.故选：BCD11.已知，下列说法正确的是（）A.函数定义域为 B.C.在为减函数 D.不等式的解集为【答案】BC【解析】【分析】对于A，求得函数定义域为即可判断；对于B，分两种情况结合基本不等式即可判断；对于C，根据复合函数的单调性即可判断；对于D，求解不等式即可判断.【详解】对于A，因为且，所以函数定义域为，A错误；对于B，因为，当时，，则，当且仅当，即时，等号成立，当时，，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，B正确；对于C，令，则在上单调递增，且，又在上单调递减，所以在上为减函数；因为在上单调递增，且，又在上单调递减，所以在上为减函数；所以在上为减函数，C正确；对于D，，令，当时，解得或，所以或，当时，，所以无实数解，所以不等式的解集为，D错误.故选：BC.三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若，则______.【答案】【解析】【分析】先求出，然后分和两种情况，得到方程，求解即可.【详解】由得，所以，所以或，解得.故答案为：13.某车间10名工人生产某产品的数量（单位：件）分别为32，35，38，39，40，42，44，44，45，x，若所给数据的第50百分位数与第25百分位数的差为2，且，则______.【答案】40【解析】【分析】分类讨论确定第50百分位数与第25百分位数，列式求解即可.【详解】已知数据有10个，所以第50百分位数为第5项和第6项数据的平均值，第25百分位数为第3项数据，若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和35，则，不合题意；若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和x，则，解得，不合题意；若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38，则，不合题意；若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38，则，解得，不合题意；若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38，则，解得；若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为41和38，它们的差为3，不符合条件.故答案为：4014.电除尘器是火力发电厂必备的配套设备，它的功能是将燃煤或燃油锅炉排放烟气中的颗粒烟尘加以清除，从而大幅度降低排入大气层中的烟尘量，这是改善环境污染，提高空气质量的重要环保设备.其除尘效率与驱进速度之间的函数关系为，其中为烟气量，总除尘面积，若在烟气量与总除尘面积一定的情况下，除尘效率时，驱进速度为；除尘效率时，驱进速度为，则______.（结果保留两位有效数字）参考数据：.【答案】1.7【解析】【分析】根据题意可得，结合指、对数运算求解即可.详解】由题意可得：，整理可得，两式相比可得.故答案为：1.7.四.简答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用对数的概念、对数运算性质及换底公式，指数幂的运算性质化简计算；（2）结合指对互化，利用对数运算性质及换底公式求解即可.【详解】（1）原式；（2）因为，所以，所以，则.16.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）记函数的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）函数为奇函数，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）结合指数运算，利用奇函数定义证明即可；（2）先根据指数函数的值域求出函数的值域，然后利用充分不必要条件的概念列不等式求解即可.【小问1详解】函数为奇函数，其理由如下：因为的定义域为R，且，所以，则函数为奇函数.【小问2详解】因为，所以，则，所以，所以，所以集合，“”是“”的充分不必要条件，所以，则.17.某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表：男生样本的频率分布直方图女生样本的频率分布表组别频数频率40.108nmp120.3020.05（1）求和的值；（2）计算男生样本的平均数和方差；（3）根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差【答案】（1），；（2）平均数为169，方差为89（3）平均数为166，方差为100.8.【解析】【分析】（1）根据频率和为1求，由频率公式求的值；（2）根据平均数、方差公式求解；（3）根据分层抽样的平均数、方差公式求解.【小问1详解】因为，所以，因为的频数为4，频率为0.1，所以样本容量为40，则，所以；小问2详解】由男生样本的频率分布直方图知，平均数为，方差为；【小问3详解】由女生样本的频率分布表可知平均数，方差为所以平均数为，方差为.所以估计高一年级全体学生身高的平均数为166，方差为100.8.18.已知.（1）当时，求证：在上为减函数；（2）若方程有且仅有一个实数根，求的最小值；（3）若存在使得在上恒成立，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据单调性的定义，按照步骤证明即可；（2）先利用定义法判函数的单调性，然后利用基本不等式求出的最小值，由题意，将化为，利用基本不等式求最小值即可；（3）结合（2）利用基本不等式得求出的最小值，，根据消去a即可证明.【小问1详解】当时，，设，且.则，因为，所以，所以.所以，所以在为减函数；【小问2详解】因为，所以，任取，，且，则，因为，，且，所以，，当时，，所以，即，当时，，所以，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.因为，当且仅当时等号成立，因为方程有且仅有一个实数根，所以，即，则，当且仅当即时取等，所以的最小值为4；【小问3详解】因为当时，，当且仅当时等号成立，由题意知，，所以，即.19.“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式.在平面直角坐标系中，其定义为：A，B的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离.（1）已知点.（i）若点的横坐标为，且点在函数图象上，求；（ii）若点在函数上运动，求的最小值；（2）已知点在函数上运动，点，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）求出点坐标，代入曼哈顿距离公式求解即可；（ii）由已知，求出曼哈顿距离，结合一次函数单调性求出分段函数的最小值；（2）利用曼