2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修第二册教学课件 第4章-4.2 一元线性回归模型

4.2

一元线性回归模型

第4章学习目标1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.2.了解最小二乘法的原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.核心素养：数据分析、数学建模、数学运算新知学习概念解析一、回归直线方程与回归分析1.回归直线方程找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这样所得到的直线就可以比较科学地反映实际问题中两个变量之间的相关关系.这条直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程.2.回归分析由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析.在回归分析中，被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示.用来预测或解释因变量的变量称为自变量，用x表示.对于具有相关关系的两个变量，可以用一个线性方程来表示它们之间的关系.3.一元线性回归方程如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y＝a+bx（1）

来近似刻画，则称（1）式为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数.

水稻产量/kg320330360410460470480施肥量/kg15202530354045例

下面是水稻产量与施肥量的一组统计数据：（1）将上表中的数据制成散点图.（2）你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似有什么关系吗？水稻产量会一直随施肥量增加而增加吗？（3）若近似呈线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.解

（1）以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，

可得散点图如图所示.（2）从图中可以发现施肥量与水稻产量近似呈线性关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量大致由小变大.但水稻产量只是在一定范围内随着施肥量的增加而大致增加.（3）近似直线如图所示.二.最小二乘法概念解析

【知识拓展】最小二乘法（又称最小平方法）通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配.在统计学中，利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小.概念解析

x14569y2035506580

三.非线性回归分析概念解析在实际问题中，如果从数据的散点图可以看出两个变量之间有明显的非线性关系，就需要选择一个合适的曲线方程，按照这个曲线方程对原始数据进行代换.目的是把变量间的非线性关系转化近似的线性关系，然后用建立线性回归方程的方法确定未知参数.解决非线性回归问题的方法及步骤：（1）确定变量：确定解释变量x，预报变量y；（2）画散点图：通过观察散点图并与学过的函数（幂函数、指数函数、对数函数、二次函数）做比较，选取拟合效果好的函数模型；（3）变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题；（4）分析拟合效果：通过计算相关系数等来判断拟合效果；（5）写出非线性回归方程.例

为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：（1）用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图.（2）描述解释变量x与预报变量y之间的关系.天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190

x123456z1.792.483.223.894.555.25一、求线性回归方程例1

一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：请判断其是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求线性回归方程.解在直角坐标系中画出数据的散点图，如图所示零件数102030405060708090100加工时间/分626875818995102108115122典例剖析观察判断出散点在一条直线附近，故具有线性相关关系.由测得的数据列表如下：ixiyi

xiyi110621006202206840013603307590022504408116003240550892500445066095360057007701024900714088010864008640990115810010350101001221000012200合计5509173850055950

二、线性回归方程的性质

开业天数1020304050每天销售额/万元62758189B

解析当生产创收总额为1万元时，工资约为1500元，A错误；当生产创收总额提高1万元时，工资平均提高600元，B错误，C正确；当月工资为2700元时，生产创收总额约为3万元，D错误.C三、利用回归方程对总体进行估计例3

在本章第1.1节的练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数Y（单位：杯）与当天气温X（单位：℃）之间存在近似的线性关系.数据如表

（1）试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程；（2）如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯.气温X

/

℃261813104-1杯数Y

/

杯202434385064

ixiyi

xiyi12620676520218243