天津市和平区2023-2024学年高三下学期二模考试数学试卷(卷后带答案解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页天津市和平区2023-2024学年高三下学期二模考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知为虚数单位，复数，则z的共轭复数（

）A． B． C． D．2．若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（

）A． B． C． D．3．为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种4．已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．5．已知函数的部分图象如下图所示，则以下说法中，正确的为（

）A．B．C．不等式的解集为D．函数的图象的对称中心为6．如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（

）A． B． C． D．7．过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（

）A． B． C． D．8．已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．9．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题10．设集合，，，则．11．在的展开式中，常数项为.（用数字作答）12．过点作曲线的切线，则切点的坐标为．13．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为．14．已知数列满足，则数列的通项公式为，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第项．15．已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．(1)求角B的大小；(2)求b的值；(3)求的值．17．如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点D到平面的距离．18．已知为等差数列的前n项和，，．(1)若为数列的前n项和，求；(2)等差数列满足，数列满足．（i）求数列与数列的通项公式；（ii）求．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足．(1)求椭圆的离心率；(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．20．已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若不等式恒成立，求的取值范围；(3)在（1）的条件下，设，，且.求证：当，且时，不等式成立.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《天津市和平区2023-2024学年高三下学期二模考试数学试卷》参考答案题号123456789答案CABCCBADD1．C【分析】先利用复数的四则运算求出，再结合共轭复数的定义求解．【详解】复数，所以的共轭复数．故选：C．2．A【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案．【详解】不等式等价于，使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意．故选：A．3．B【分析】根据题意，首先选取种相同课外读物，再选取另外两种课外读物，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：首先选取种相同课外读物的选法有种，再选取另外两种课外读物需不同，则共有种，所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种．故选：B．4．C【分析】根据题意，由条件可得函数是周期为2的函数，则可得，，【详解】因为函数是偶函数，则，又函数为偶函数，则，即，所以函数是周期为2的函数，则，，且当时，是减函数，由可得，即.故选：C5．C【分析】由图象求出函数的解析式，然后利用正弦函数的相关性质求解即可逐项判断出来.【详解】由图象可知，，所以，所以，所以，将代入得：，所以，由于，所以，所以，故A错误；，故B错误；由，所以，所以，解得，即不等式的解集为，故C正确；令，解得，所以的图象的对称中心为，故D错误.故选：C6．B【分析】根据题意可得正四棱锥的斜高为5，底面正方形的边长为6，从而可得正四棱锥的高，设这个正四棱锥的内切球的半径为，高线与斜高的夹角为，则易得，，从而可得，再代入球的体积公式，即可求解．【详解】作出四棱锥如图：根据题意可得正四棱锥的斜高为，底面正方形的边长为6，正四棱锥的高为，设这个正四棱锥的内切球的球心为，半径为，与侧面相切于，则高线与斜高的夹角为，则，则,，，这个正四棱锥的内切球的体积为．故选：B．7．A【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.【详解】圆的圆心为，直线关于直线对称时，与直线垂直，所以直线的方程为，由解得，所以.故选：A.8．D【分析】根据题意可知，，从而可得直线方程，再联立抛物线方程求出的横坐标，再根据导数的几何意义及直线平行的性质，求出渐近线（其中一条）的斜率，即可得解．【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得，直线方程为，即，联立，可得，解得或，又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为，由，所以，在点处的切线斜率为，又在点处的切线平行于的一条渐近线，双曲线的一条渐近线的斜率为，双曲线的渐近线方程为．故选：D．9．D【分析】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论．【详解】由，，，可得，故，又，所以，以为直径作圆，则，，，四点共圆，如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），则，又表示在上的投影，由图可知，，，故（此时点在劣弧的中点位置），即的最小值为．故选：D．【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上，②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围.10．【分析】根据集合的交运算以及补集定义即可求解.【详解】，，故，故答案为：11．【分析】求出二项式展开式的通项，再令，求出，再代入计算可得；【详解】解：二项式的展开式通项公式为．令，解得，故展开式的常数项为，故答案为：．12．【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将代入求解即可.【详解】设切点的坐标为，由，，所以过切点的切线方程为：，把代入得：，即，所以，则切点坐标为：即.故答案为：13．/【分析】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，先由相互独立事件的概率公式求出、的值，结合对立事件的性质求出第一空答案，利用全概率公式计算第二空的答案．【详解】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，则，，，所以，，若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率，若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率．故答案为：；．14．【分析】当时求出，当时，，作差即可求出的通项公式，从而求出，即可表示出，再由基本不等式求出数列的最大项.【详解】因为，当时，，解得；当时，，两式相减得，即，经检验当时也成立，所以；因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号．所以数列的最大项为第项.故答案为：；．15．,,．【分析】方程可化为，根据一次函数与二次函数的性质，分别讨论函数与函数，在同一坐标系内作出它们的图象并观察交点的个数，建立关于的不等式，进而求出实数的取值范围．【详解】方程，即，结合，得，原方程可化为，①时，原方程变为，只有一个实数根，不符合题意；②，记，的图象是开口向下的抛物线，函数的最大值，因为在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值为，结合图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；③，则，在上是减函数，在，上是增函数，的最小值为，的图象是开口向上的抛物线，函数的最小值，当时，即时，函数的最小值，观察图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；当时，函数的最小值，方程即的根的判别式△，且方程即的根的判别式△，结合与都在处取最小值，可知与的图象不止有两个交点，不符合题意．综上所述，或，即实数的取值范围是,,．故答案为：,,．【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16．(1)(2)(3)【分析】（1）根据正弦定理和三角函数的恒等变换即可求解；（2）利用余弦定理即可求解；（3）利用正弦定理和二倍角的正、余弦公式即可求解．【详解】（1）因为，由正弦定理有，因为,所以，所以，即，由于,所以，故，解得；（2）因为，所以由余弦定理，即，解得；（3）由正弦定理有，有，因为，所以为锐角，故，又，则，．17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用，结合平面，得出平面；（2）利用向量的夹角公式即可求解；（3）利用点到平面的距离的向量法公式，即可求解．【详解】（1）因为侧棱底面，为等边三角形，所以过点作，则以为点A为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，设长为，则，，因为，所以，则有，．所以，，，，，，．证明：因为，，设平面的法向量为，则，令，则，又因为．所以，所以，又因为平面，所以平面．（2）因为为中点，所以，则，有，又，设直线与平面所成角为，，则直线与平面所成角的正弦值为．（3）因为，平面的法向量为，所以，点D到平面的距离为．18．(1)(2)（i），；（ii）.【分析】（1）设数列公差为，求出，然后求出数列的前n项和即可；（2）（i）设数列公差为，由（1）得，又，求出，然后求出即可；（ii）利用错位相减法与裂项相消法求和即可.【详解】（1）设数列公差为，由公式，，有，求得，即，所以．设，前项和为，．当时，．当时，．所以（2）（ⅰ）设数列公差为，由（1）得，又，即，解得，所以．（ⅱ），设，，①，②①－②得，．所以，．设，所以，．．所以，．19．(1)(2)因此存在直线满足条件．【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解，即可结合的关系求解，（2）联立方程可得坐标，即可根据根据，即可求解.【详解】（1）依题意，，解得，又因为，所以．（2）设直线的方程为，椭圆的方程为，设点，联立方程组，整理得，解得，①，直线AF方程为，设点，，联立方程组，解得，②，又因为，设，则有，即，所以，所以．所以，则有，代入①②有，解得，由题意得，所以，因此存在直线满足题中条件．【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．(1)在上单调递增，在上单调递减(2)(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间