黑龙江省大庆市2025届高三第二次教学质量检测数学试题(卷后带答案解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页黑龙江省大庆市2025届高三第二次教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数为纯虚数，则a的值为（

）A． B．1 C． D．22．已知幂函数的图象经过点，则的值为（

）A． B． C．3 D．93．已知等比数列中，，则的值为（

）A． B． C． D．4．已知是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．6．若锐角满足，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知定义域为的函数为奇函数，对任意的,,，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．已知数列为等差数列，且公差，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设是两个非零向量，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．在方向上的投影向量的模为10．已知函数，其中，且．若函数在区间内无零点，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于对称B．在上单调递增C．直线是的一条切线D．若在区间上的图象与直线有且只有三个交点，则实数m的取值范围为11．广东汕头海湾大桥被誉为“中国第一座大跨度现代悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，其方程为（为参数，）．当时，该方程是双曲余弦函数，类似的函数还有双曲正弦函数，则下列说法正确的是（

）A．，B．当时，函数有最小值C．，D．，三、填空题12．已知集合，则的所有元素之和为．13．设双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于M，N两点，且．若四边形的周长为，则C的离心率为．14．在正四棱台中，，则该正四棱台的高为；若点P在四边形ABCD内运动，且，则点P的轨迹长度为．四、解答题15．在中，．(1)求B；(2)求函数在上的最大值．16．已知函数在处取得极值．(1)求a的值；(2)若存在使得，求实数m的取值范围．17．设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)证明：当时，．18．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，平面平面．(1)求证：；(2)如图，且，求点M到平面PBC的距离；(3)设四棱锥的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为?若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．19．已知曲线，点在曲线W上．(1)求曲线W在点Q处的切线方程；(2)如图1，过曲线W外一点A（不在y轴上）作W的两条切线AB，AC，切点为B，C，过曲线W上一点M的切线交AB，AC于点，且，把这样的叫做“外切三角形”．①连接AM交BC于点E，求证：A，M，E三点的纵坐标成等差数列；②如图2，从点A出发做出的第一个外切三角形是再过点分别做出2个“外切三角形”，即和；继续过点分别做出4个“外切三角形”以此类推，依次做出1，2，4，8，…，个外切三角形．设的面积为S，求这些“外切三角形”的面积之和T，并证明．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《黑龙江省大庆市2025届高三第二次教学质量检测数学试题》参考答案题号12345678910答案ABDBCACBACDAC题号11答案BCD1．A【分析】由复数乘法及纯虚数定义可判断选项正误.【详解】由题，，又为纯虚数，.故选：A．2．B【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值.【详解】设，则即，故选：B．3．D【分析】根据给定条件，利用等比数列性质列式计算得解.【详解】由等比数列性质，得，所以.故选：D4．B【分析】根据线线、线面、面面位置关系的有关知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，若，则m，n可能平行或异面，所以A错误；对于B选项，若，则m垂直于内的任意直线，，所以B正确；对于C选项，若，则m，n可能平行或相交或异面，所以C错误；对于D选项，若，则或，所以D错误.故选：B5．C【分析】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积是列式化简.【详解】设，则由已知得化简得，故选：C．6．A【分析】应用同角三角函数关系结合二倍角正弦得出，再应用二倍角余弦公式得出，最后得出正切即可.【详解】且平方得，又，故选：A．7．C【分析】根据题意，把要求解不等式,化为,利用函数的单调性，即可解得不等式.【详解】设,由为奇函数可知为偶函数因为任意的,,，都有所以时,单调递减,由对称性可知在上单调递增．因为，所以若,则化为,即,由单调性可知．若，则化为，即，由单调性可得．综上,．故选:C8．B【分析】设数列公差为d，结合等差数列通项公式分析可知直线过定点，再根据圆的性质可知当时，弦长最小，此时最小，进而运算求解.【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，设数列公差为d，则直线可化为，即．令，解得，可知直线过定点，当时，弦长最小，此时最小．又因为，则，可知，则．故选：B．【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．9．ACD【分析】对于A，根据条件，利用数量积的定义，即可判断正误；对于B，利用向量相等的条件，即可求解；对于C，根据条件，利用数量积的运算律，可得，即可求解；对于D，利用投向量及模长的定义，即可求解.【详解】对于选项A，由可知，当时，，所以．所以选项A正确，对于选项B，由可知，与共线，不一定是．所以选项B错误，对于选项C，由，得，即，所以，所以选项C正确，对于选项D，由投影向量定义可知，在方向上的投影向量为，所以其模长为，故选项D正确．故选：ACD．10．AC【分析】根据已知条件求出，再根据对称性，单调性，判定AB；结合导数判定C；结合零点知识判定D.【详解】由且，都有同号可知，,又，由得，由知关于对称，故A正确．当时，，此时先增后减，故B错误．．令得或，其中，时在处得切线为，故C正确．由得．由正弦函数图象知道，得．故D错误．故选：AC．11．BCD【分析】利用指数运算可判断A选项；利用不等式的基本性质可求得函数的最小值，可判断B选项；利用导数分析函数在上的单调性，利用导数比较、的大小关系，结合函数的单调性可判断C选项；令，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可判断D选项.【详解】对于A选项，，，A错；对于B选项，，当时，，则，则，所以，，所以，当时，函数有最小值，B对；对于C选项．设，则，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，函数在上单调递增，则，即，又，当时，，所以，在上单调递增，所以，．故C正确；对于D选项．当时，则，则在上单调递增．当时，，则函数在上单调递减．设，可在上单调递增，因为，，则，所以，存在，使得，即存在，使得，故D正确故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.12．/2.5【分析】先利用指数幂的运算化简集合B，再利用集合的并集运算求解即可.【详解】,即,的所有元素之和为．故答案为：.13．【分析】由双曲线对称性结合题意可得四边形为矩形，设，由双曲线定义及题意可得，据此可得答案.【详解】由双曲线的对称性，可知四边形为平行四边形，又，则四边形为矩形，设，则，两个方程平方后相加得，在直角三角形中，所以，化简得，由得．故答案为：14．【分析】根据正四棱台的结构特征，结合已知条件计算出高，再判断确定点的轨迹，再应用弧长公式求出轨迹长度.【详解】

取正方形的中心为，正方形ABCD的中心为O，连接，则平面ABCD．过点作于点H，则，所以平面ABCD，且四边形为矩形，，．在中，，即该正四棱台的高为．

连接PH，在中，，点P的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD内的部分，即．过点H作于点E，过H作于点F，则．在中，．同理，，的长度为，故点P的轨迹长度为.故答案为：；.15．(1)(2)【分析】（1）运用正弦定理计算正弦值，进而得到角度；（2）将其转化为正弦型函数，后求值域即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得或．又为钝角.（2）由（1）可知．∴当，即时．16．(1)(2)【分析】（1）对函数求导，根据求得的值，验证函数的单调性可知的值符合题意.（2）问题等价于存在使得，构造函数，对函数求导，利用导数研究函数的单调性以及最值即可求得的取值范围.【详解】（1），由已知，又当时，令得，且当时在区间上单调递增，时，在区间上单调递减．在处取得极大值.综上，.（2）问题等价于存在使得．设，则当时，在上单调递减，，故m的范围是．17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）先根据等差数列的通项公式得到，再根据得到，接着用“累乘法”可得数列的通项公式.（2）分为偶数与奇数两种情况，表示出，结合作差法比较与的大小.【详解】（1）由题意得，

①，当时，

②由①②得：，即．又时，满足.（2）由得，.①当n为偶数时，此时，，故②当n为奇数时，综上，当时，．18．(1)证明见解析(2)(3)存在点E为PB上靠近点P的三等分点【分析】（1）由题可证平面PCD，再由线面平行性质可完成证明；（2）以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题可得平面PBC的法向量，然后结合空间向量知识可得答案；（3）由球心定义可得点Q坐标，然后设，由空间向量知识可得平面AEC的一个法向量，及PQ与平面AEC所成的角的正弦值关于的表达式，据此可得答案.【详解】（1）证明：四边形ABCD为正方形又平面PCD，平面PCD平面PCD又平面PAB，平面平面（2）取BC中点N，连接ON，则平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．设平面PBC的一个法向量为则，得，取点M到平面PBC的距离为（3）存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为，，且平面ABCD为正方形，点Q在平面上的射影是ABCD的中心，可设则，解得．即设，，设平面AEC的一个法向量为，则得，取设直线PQ与平面AEC所成的角为化简得，即或（舍）．∴存在点E为PB上靠近点P的三等分点，使得直线PQ与平面AEC所成角的正弦值为．【点睛】关键点睛：对于外接球问题关键在于确定球心位置，可先找某一平面外接圆圆心，则球心在过圆心所在平面的垂线上；对于动点问题，常设边长比例为参数，再用参数表示已知量，求解相关方程或不等式.19．(1)(2)①证明见解析；②，证明见解析【分析】（1）由导数知识可得切线在点Q处切线斜率，即可得答案；（2）①由（1）结合A在AB上，同时A在AC上可得BC方程，再由，可得直线AM方程，据此可找到A，M，E三点的纵坐标的关系，可完成证明；②由（1）结合几何知识可得每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的，然后可由等比数列求和公式完成证明.【详解】（1）由题可得，则，，，故点Q处的切线方程为即．（2）①则由（1）可知直线AB为直线AC为，由A在AB上，同时A在AC，可知直线BC的方程为，即，，又由（1）可知直线的斜率为，又，