高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价三十六　对数函数的图象和性质(二)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价三十六对数函数的图象和性质(二)含答案。三十六对数函数的图象和性质(二)(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)已知函数f(x)=log12x,x∈[14,22],则f(A.[12,2] B.[-12C.[0,2] D.[0,12【解析】选A.函数f(x)=log12x在[14,所以函数的最小值为f(22)=log1222函数的最大值为f(14)=log121所以函数的值域为[12,2]2.(5分)已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-12,0)内恒有f(x)>0,则a的取值范围是(A.(1,+∞) B.(0,1)C.(0,2) D.(1,2)【解析】选D.由-12<x<0,得0<2x+1<1若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1,所以1<a<2.3.(5分)(2024·潍坊高一检测)已知f(x)=(3a-2)x-4aA.(1,+∞) B.(0,23C.(23,1) D.【解析】选A.由题意得3a-2>0a4.(5分)(2023·眉山高一检测)已知函数f(x)=lnx-1x+1+asinx+2,且f(m)=5,则f(-A.-5 B.-3 C.-1 D.3【解析】选C.根据题意,函数f(x)=lnx-1x+1+则f(-x)=ln-x-1-x+1+asin(-x)+2=-ln则有f(x)+f(-x)=4,故f(m)+f(-m)=4,若f(m)=5,则f(-m)=-1.【补偿训练】(2024·商丘高一检测)“a=1”是“f(x)=lga+x1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=1时,f(x)=lg1+x1-x,由1+x1-x>0得-1<x<1,则f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)=lg1-x1+若f(x)=lga+x1-ax是奇函数,则f(-x)+f(x所以lga2-x21-a2x2=0,则a2-所以a2=1,故a=±1,不一定推得a=1,从而必要性不成立;所以“a=1”是“f(x)=lga+x5.(5分)(2024·宜宾高一检测)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为:lgE=4.8+1.5M.2008年5月12日,我国汶川发生了里氏8.0级大地震,它所释放出来的能量约是2022年9月5日我国泸定发生的里氏6.8级地震释放能量的(参考数据:101.5≈32,101.8≈63,101.9≈79)()A.32倍 B.63倍 C.79倍 D.100倍【解析】选B.设里氏8.0级、里氏6.8级地震释放的能量分别为E1,E2,则lgE1-lgE2=(4.8+1.5×8)-(4.8+1.5×6.8)=1.5×1.2=1.8,即lgE1E2=1.8,所以E1E2【补偿训练】(2024·扬州高一检测)为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》,某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺,使排放的污水中污染物浓度逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废水中污染物浓度为2.25g/m3,首次改良工艺后所排放的废水中污染物浓度为2.21g/m3,第n次改良工艺后排放的废水中污染物浓度rn满足函数模型rn=r0+(r1-r0)·30.25n+t(t∈R,n∈N*),其中r0为改良工艺前所排放的废水中污染物浓度,r1为首次改良工艺后所排放的废水中污染物浓度,n为改良工艺的次数,假设废水中含有的污染物浓度不超过0.25g/m3时符合废水排放标准,若该企业排放的废水符合排放标准,则改良工艺的次数最少需要(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)()A.14次 B.15次 C.16次 D.17次【解析】选C.依题意,r0=2.25,r1=2.21,当n=1时,r1=r0+(r1-r0)×30.25+t,即30.25+t=1,可得t=-0.25,于是rn=2.25-0.04×30.25(n-1),由rn≤0.25,得30.25(n-1)≥50,即0.25(n-1)≥lg50lg3则n≥4(2-lg2)lg3+1≈15.17,又n所以若该企业排放的废水符合排放标准,则改良工艺的次数最少需要16次.6.(5分)(多选)已知函数f(x)=loga1-xa>0,aA.fx的定义域是-∞,B.fx的值域是RC.fx的图象过原点D.当a>1时,fx在定义域上是增函数【解析】选ABC.对于A选项,对于函数fx=loga1-xa>0,a≠1,1-x>0,解得对于B选项,1-x>0,函数fx的值域是R,B选项正确;对于C选项,因为f0=loga1=0,所以,函数fx的图象过原点,C选项正确;对于D选项,当a>1时,由于内层函数u=1-x在-∞,1上为减函数,外层函数y=logau为增函数,所以,函数fx在定义域上是减函数,D选项错误7.(5分)(2024·扬州高一检测)若函数f(x)=lg(x2-mx+1)的值域为R,则实数m的取值范围是.

【解析】由题意得,函数f(x)=lg(x2-mx+1)的值域为R,所以Δ=m2-4≥0,解得m∈(-∞,-2]∪[2,+∞).答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)8.(5分)(2024·常州高一检测)已知函数f(x)=1+log3x,x∈[1,9],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为.

【解析】由于f(x)=1+log3x,x∈[1,9],由y=[f(x)]2+f(x2),得1≤x≤91≤即函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3].所以0≤log3x≤1,又因为y=[f(x)]2+f(x2)=(1+log3x)2+1+log3x2=(log3x)2+4log3x+2=(2+log3x)2-2,因为0≤log3x≤1,所以2≤y≤7,故函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为[2,7].答案:[2,7]9.(5分)若f(x)=x13+log123-x3+x,则满足不等式f(2m【解析】由3-x3+x>0得-3<x<3,显然由复合函数单调性可知,y=log123-x所以函数f(x)在区间(-3,3)上单调递增.又因为f(-x)=(-x)13+log123+x3所以函数f(x)为奇函数,所以f(2m-3)+f(m)>0⇔f(2m-3)>-f(m)⇔f(2m-3)>f(-m),所以2m-3>-答案:(1,3)【补偿训练】(2024·绵阳高一检测)函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,若关于实数t的不等式f(log3t)+f(log13t)>2f(2)恒成立,则t的取值范围是(A.(0,19)∪B.(0,13)∪C.(9,+∞)D.(0,19【解析】选A.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|),又log13t=-log3t,则f(log3t)+f(log13t)>2f(2),即为2f(log3即f(log3t)>f(2),即f(|log3t|)>f(2),又因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以|log3t|>2,则log3t>2或log3t<-2,解得t>9或0<t<19所以t的取值范围是(0,19)∪(9,+∞)10.(10分)已知函数f(x)=(log2x-2)·(log8x+13)(1)若x∈[1,4]时,求该函数的值域;【解析】(1)由题知,f(x)=(log2x-2)·(log8x+13),x∈令t=log2x,t∈[0,2],所以g(t)=(t-2)(13t+13)=13(t-2)(t+1)=13(t所以g(2)≥g(t)≥g(12所以-34≤g(t所以该函数的值域为[-34,0](2)若f(x)≤mlog2x对∀x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围.【解析】(2)同(1)令t=log2x,因为x∈[4,16],所以t∈[2,4],所以13(t-2)(t+1)≤mt,所以t2-t-2≤3mt,即3m≥t-2所以3m≥(t因为g(t)=t-2t-1,易知其在[2,4]上单调递增,所以3m≥4-24-1=所以m≥56,所以m的取值范围为[56【综合应用练】11.(5分)(2024·武汉高一检测)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当1<x<2时,f(x)=log2x+1,则f(20232A.log23 B.log23-1C.-log23 D.-log23-1【解析】选C.因为f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),可知4为f(x)的周期,且20232=4×253-12,可得f(20232)=f(-12)=-f(12.(5分)(多选)星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念,例如,1等星的星等值为1,-0.46等星的星等值为-0.46.已知两个天体的星等值m1,m2和它们对应的亮度E1,E2满足关系式m2-m1=-2.5lgE2E1(E1>0,E2A.星等值越小,星星就越亮B.1等星的亮度恰好是6等星的100倍C.若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5,则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10-1D.若星体甲与星体乙的星等值的差大于10,则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10-4【解析】选ABD.对选项A,若m2<m1,则m2-m1=-2.5lgE2即lgE2E1>0,所以E2E1>1,因为E1>0,所以所以星等值越小,星星就越亮,A正确;对选项B,当m2=6,m1=1时,5=-2.5lgE2E1对选项C,若m2-m1=-2.5lgE2E1<2.5,则lgE2E对选项D,若m2-m1=-2.5lgE2E1>10,则lgE2E113.(5分)(2024·泉州高一检测)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)在[0,2]上的值域是[0,1],则实数a=;此时,若函数g(x)=ax+m-19的图象不经过第二象限,则m的取值范围是【解析】因为x∈[0,2],则x+1∈[1,3].当a>1时,f(x)=loga(x+1)单调递增,所以f(1)当0<a<1时,f(x)=loga(x+1)单调递减,所以f(1所以a=3.函数g(x)=3x+m-19在R上单调递增,函数图象不经过第二象限,所以g(0)=3m-1解得m≤-2,即m的取值范围是(-∞,-2].答案:3(-∞,-2]14.(10分)已知函数f(x)=log2x-(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;【解析】(1)由函数f(x)=log2x-1x即(x-1)(x+1)>0,解得x<-1或x>1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.又f(-x)=log2-x-1-x+1=log2x+1x所以f(x)是奇函数;(2)当x∈(3,+∞)时,f(x)+log2(x+1)>m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(2)f(x)+log2(x+1)>m恒成立,则log2x-1x+1+log2(即log2(x-1)>m在(3,+∞)上恒成立,令g(x)=log2(x-1),因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,当x=3时,g(3)=log2(3-1)=1,所以x∈(3,+∞)时,g(x)∈(1,+∞),则实数m的取值范围是(-∞,1].【补偿训练】(2024·汕头高一检测)已知函数f(x)=loga4x+12x(a(1)试判断函数f(x)的奇偶性;【解析】(1)因为f(x)=loga4x+12x(又f(-x)=loga4-x+12-x=loga所以函数f(x)是偶函数.(2)当a=2时,求函数f(x)的值域;【解析】(2)当a=2时,f(x)=log24x因为2x>0,4x+12x=2当且仅当2x=1,即x=0时取等号,所以f(x)=log24x+12所以函数f(x)的值域为[1,+∞).(3)已知g(x)=x-2x,若∀x1∈[-4,4],∃x2∈[0,4],使得f(x1)-g(x2)>2,求实数a的取值范围.【解析】(3)∀x1∈[-4,4],∃x2∈[0,4],使得f(x1)-g(x2)≥2,等价于[f(x)]min>[g(x)+2]min,令t=x,x∈[0,4],t∈[0,2],令h(t)=t2-2t+2,则g(x)+2在[0,4]上的最小值等于h(t)在[0,2]上的最小值,h(t)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以h(t)在[0,2]上的最小值为h(1)=1,所以[f(x)]min≥1.因为f(x)为偶函数,所以f(x)在[-4,4]上的最小值等于f(x)在[0,4]上的最小值,设m(x)=4x+12x,则f(x)=logam(x),任取0≤x1m(x1)-m(x2)=4x1+12x1-4x2+12x2=(所以2x1<2x2,2x1-2x2<0,x1所以(2x1-2x2)(1-12x1+x2)<0,所以m(x)=4x当0<a<1时,函数f(x)=logam(x)在[0,4]上单调递减,所以f(x)min=f(4)=loga44+124因为0<a<1,25716>1,所以loga257当a>1时,函数f(x)=logam(x)在[0,4]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=loga2,所以loga2>1,1<a<2.综上,实数a的取值范围为(1,2).15.(10分)(2024·杭州高一检测)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(3,1).(1)若函数g(x)=f(x+1)+f(5-x),求g(x)在区间[1,2]上的最值;【解析】(1)由题意可得loga3=1,得a=3.所以g(x)=log3(x+1)+log3(5-x),即g(x)=log3(-x2+4x+5).当1≤x≤2时,-x2+4x+5=-(x-2)2+9∈[8,9],所以g(x)max=log39=2,g(x)min=log38=3log32,所以g(x)在区间[1,2]上的最大值为2,最小值为3log32;(2)对于(1)中的g(x),当x∈[1,2]时,不等式f(m2-2m)-g(x)≥0有解,求m的取值范围.【解析】(2)由(1)知,当x∈[1,2]时,g(x)min=3log32,不等式f(m2-2m)-g(x)≥0有解,即log3(m2-2m)≥g(x)min,x∈[1,2].所以log3(m2-2m)≥log38,即m2-2m≥8,得m≤-2或m≥4,所以实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[4,+∞).