高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册4.4.2　第1课时　对数函数的图象和性质(一)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册4.4.2第1课时对数函数的图象和性质(一)含答案4.4.2对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质(一)【学习目标】1.会用描点法或作图工具画出具体对数函数的图象2.结合图象理解对数函数的性质3.掌握对数函数图象与性质的简单应用【素养达成】直观想象直观想象逻辑推理、数学运算一、对数函数的图象与性质0<a<1a>1图象定义域0值域R性质过定点1,0,即x=1时,减函数增函数版本交融(北师大版P115)1.根据表中的数据(精确到0.01的近似值),画出函数y=log2x,y=log3x和y=log5x的图象,并观察图象,说明三个函数图象的相同之处.x0.511.5234…1000y=log2x-100.5811.582…9.97y=log3x-0.6300.370.6311.26…6.29y=log5x-0.4300.250.430.680.86…4.29提示:图象如图所示.三个图象都过点(1,0),定义域都是(0,+∞),值域都是(-∞,+∞),在定义域(0,+∞)上都是增函数.2.对数函数y=logax,当a>1时,讨论a的变化对函数图象的影响.提示:当a>1时,a越大,在直线x=1的右侧,图象越贴近x轴.3.请你猜想,对数函数y=logax,当0<a<1时,a的变化对函数图象有何影响?提示:当0<a<1时,a越小,在直线x=1的右侧,图象越贴近x轴.二、反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对数函数的图象都过定点(0,1). (×)提示:对数函数的图象都过定点(1,0).(2)对数函数的图象都在y轴的右侧. (√)提示:对数函数的定义域为(0,+∞),故图象都在y轴的右侧.(3)若对数函数y=log2ax是减函数,则0<a<12. 提示:由对数函数的性质可知,若对数函数y=log2ax是减函数,则0<2a<1,即0<a<12(4)y=2x与y=2log4x互为反函数. (√)提示:因为函数y=2x的反函数为y=log2x,而y=2log4x=2×log2xlog类型一与对数函数有关的图象问题(直观想象)角度1定点问题【典例1】(2024·台州高一检测)若函数f(x)=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则P的坐标是 ()A.(3,0) B.(4,0) C.(3,1) D.(4,2)【解析】选D.令x-3=1,可得x=4,f(4)=loga1+2=2.因此,定点P的坐标为(4,2).【总结升华】与对数函数有关的定点问题解决方法求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).【即学即练】(2024·杭州高一检测)函数f(x)=logn(x+m)恒过定点(-2,0),则m的值为 ()A.5 B.4 C.3 D.2【解析】选C.由函数f(x)=logn(x+m)恒过定点(-2,0),可得logn(-2+m)=0,所以-2+m=1,解得m=3.角度2图象识别【典例2】(1)如图是对数函数y=logax的图象,已知a值取5,53,45,18,则相应的C1,C2,C3,C4的a值依次是 A.18,45,53,5 B.5,53C.53,5,45,18 D.5,53【解析】选B.因为当a>1时,图象呈上升趋势;当0<a<1时,图象呈下降趋势,又当a>1时,a越大,图象向右越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象向右越靠近x轴,故C1,C2,C3,C4对应的a值依次是5,53,45,(2)(多选)(2024·乌鲁木齐高一检测)在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax(a>0,且a≠1)的图象可能是 ()【解析】选BD.当a>1时,y=a-x的定义域为R,且在R上单调递减,y=logax的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,D符合题意;当0<a<1时,y=a-x定义域为R,且在R上单调递增,y=logax定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,B符合题意.【补偿训练】当a>1时,在同一平面直角坐标系中,y=1ax与y=loga(-x)的图象是 (【解析】选B.y=loga(-x)的定义域为(-∞,0),故A,D错误;又因为a>1,所以0<1a<1,故C错误,B正确【总结升华】对数函数图象的识别在第一象限内取相同的函数值时,各对数函数的底数自左向右逐渐变大,即b>a>1>d>c.【即学即练】1.已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 ()A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1【解析】选A.分别作出这三个函数的大致图象,如图所示.由图可知,x2<x3<x1.2.(多选)(2024·朔州高一检测)已知a>0,b>0,且ab=1,a≠1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是 ()【解析】选AB.因为a>0,b>0,且ab=1,a≠1,所以当0<a<1时,b>1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象是:当a>1时,0<b<1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象是:类型二比较大小(数学运算)【典例3】(1)(教材P133例3改编)比较下列各组中两个值的大小.①log31.99,log32.②log30.2,log40.2.③log23,log0.32.④logaπ,loga3.14(a>0且a≠1).【解析】①因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.99<2,则f(1.99)<f(2),所以log31.99<log32.②作出y=log3x和y=log4x的图象如图.由图象知log30.2<log40.2.③因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.④当a>1时,函数y=logax在定义域上是增函数,则有logaπ>loga3.14;当0<a<1时,函数y=logax在定义域上是减函数,则有logaπ<loga3.14.综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.14;当0<a<1时,logaπ<loga3.14.(2)(2024·绵阳高一检测)设a=log0.20.3,b=log20.3,c=20.3,则 ()A.a>b>c B.b>c>aC.a>c>b D.c>a>b【解析】选D.因为a=log0.20.3∈(log0.21,log0.20.2)=(0,1),b=log20.3<log21=0,c=20.3>20=1,所以c>a>b.【总结升华】比较对数值大小的方法(1)底数相同时,利用对数函数的单调性比较,若底数是同一参数,需分类讨论;(2)真数相同时,结合对数函数的图象比较;(3)若底数与真数均不相同,先与0比较,再与1或其他中间量进行比较.【即学即练】比较大小:(1)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1);【解析】(1)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,又5.1<5.9,所以loga5.1<loga5.9;当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是减函数,又5.1<5.9,所以loga5.1>loga5.9.综上,当a>1时,loga5.1<loga5.9;当0<a<1时,loga5.1>loga5.9.(2)log3π,log23,log32.【解析】(2)因为log23=12log2又1<log23<2,所以12<log23<1又log32=12log32<12,log所以log3π>log23>log32.【补偿训练】已知a=π-2,b=-log25,c=log213,则 A.b>a>c B.c>b>aC.a>c>b D.a>b>c【解析】选C.因为a=π-2=1π2,所以0<因为b=-log25=log215,c=log213,15所以log215<log213<0,即b<c所以a>c>b.类型三解对数不等式(数学运算)【典例4】解下列不等式:(1)log17x>log1【解析】(1)由题意可得x>0解得0<x<2,所以原不等式的解集为x|(2)log3(x+2)>3;【解析】(2)由log3(x+2)>3,可得log3(x+2)>log327,解得x+2>27,即x>25,所以不等式的解集为{x|x>25}.(3)loga(2x-5)>loga(x-1);【解析】(3)当a>1时,原不等式等价于2x解得x>4;当0<a<1时,原不等式等价于2x解得52<x<4综上所述,当a>1时,原不等式的解集为x|当0<a<1时,原不等式的解集为x5(4)logx12>1【解析】(4)当x>1时,由logx12>logxx,可得x<1当0<x<1时,由logx12>logxx,可得12<x综上,原不等式的解集为x1【总结升华】解对数不等式的方法(1)对于形如logaf(x)>logag(x)的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论,注意真数部分大于0.(2)对于logaf(x)>b的不等式,应将b化为logaab,再借助y=logax的单调性求解.【即学即练】已知函数f(x)=log2(3x-1),则使得2f(x)>f(x+2)成立的x的取值范围是 ()A.(-53,+∞) B.(43C.(-∞,-13) D.(-13【解析】选B.由题设2log2(3x-1)>log2(3x+5),即log2(3x-1)2>log2(3x+5),因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以(3x-1)【补偿训练】不等式log12(2x+3)<log18(5x-6)【解析】易知log18(5x-6)3=log(12)3(5x由log12(2x+3)<log18(5x-6)3可得log12(2又函数log12所以可得2x+3>05x-6>0答案:(65,3教材深一度反函数的简单性质(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数;(2)互为反函数的两个函数的定义域和值域互换;(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;(4)原函数为奇函数,则其反函数也是奇函数;(5)互为反函数的两个函数的单调性相同.【典例5】(1)已知函数y=f(x)的反函数为y=2x,则f(3)=.

【解析】令3=2x⇒x=log23,f(3)=log23.答案:log23(2)已知直线y=-x+3分别与函数y=ex和y=lnx的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.

【解析】函数y=ex和y=lnx互为反函数,则函数y=ex和y=lnx关于y=x对称,将y=-x+3与y=x联立求得交点为(32,32由于直线y=-x+3分别与函数y=ex和y=lnx的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则点A(x1,y1)和B(x2,y2)的中点坐标为(32,32),则x1+x22=32答案:3第2课时对数函数的图象和性质(二)【学习目标】1.进一步研究对数函数的图象与性质2.会用对数函数的图象与性质解决有关综合问题3.运用对数函数模型解决实际问题【素养达成】直观想象、逻辑推理逻辑推理、数学运算数学建模类型一与对数函数有关的定义域与值域问题(数学运算)【典例1】(1)已知函数f(x)=log2(x+1)-2.若x∈(-1,3],求f(x)的值域.【解析】因为x∈(-1,3],所以x+1∈(0,4],所以log2(x+1)∈(-∞,2],所以log2(x+1)-2∈(-∞,0].所以f(x)的值域为(-∞,0].(2)(易错·对对碰)(2024·荆州高一检测)已知函数f(x)=log2(ax2+3x+1).①若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;②若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.【解析】①f(x)=log2(ax2+3x+1),因为函数f(x)的定义域为R,所以ax2+3x+1>0,x∈R恒成立.当a=0时,3x+1>0,解得x>-13当a≠0时,a>0Δ=9-4综上,实数a的取值范围是(94,+∞)②设g(x)=ax2+3x+1,值域为M,因为函数f(x)的值域为R,所以(0,+∞)⊆M.当a=0时,g(x)=3x+1,M=R,(0,+∞)⊆M,符合题意.当a≠0时,(0,+∞)⊆M,所以a>0Δ=9-4a综上,a的取值范围是(0,94]【总结升华】与对数函数有关的定义域与值域问题(1)定义域:求定义域的本质是解关于自变量的不等式或不等式组,特别是抽象函数定义域的求解,在对应法则f相同的前提下,括号里的范围相同.(2)值域:求对数函数的值域可以先确定真数部分的范围,然后根据对数函数的单调性求解.【即学即练】1.已知函数y=f(x)的定义域为x|x≤1,则f(lnx【解析】函数y=f(x)的定义域为x|则f(lnx)有意义,有lnx≤1,解得0<x≤e,所以f(lnx)的定义域为(0,e].答案:(0,e]2.已知函数y=(log2x)2-3log2x+6,则函数y在x∈A.[154,4] B.[4,6] C.[154,6] D.[1【解析】选A.因为函数y=(log2x)2-3log2x+6,x∈[2,4],令t=log2x所以原函数转化为y=t2-3t+6=(t-32)2+154,当t=3所以所求函数的值域为[154,4]类型二与对数函数有关的综合问题(数学运算)【典例2】(2024·南阳高一检测)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-14x-log2(x+2)(1)求函数f(x)的解析式;【解析】(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-14(-x)-log2(-x+2)=14x-log2(2-又因为f(x)是R上的奇函数,则f(-x)=-f(x)且f(0)=0,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=log2(2-x)-14x综上,f(x)=log2(2)判断函数f(x)的单调性;【解析】(2)因为当x>0时,f(x)=-14x-log2(x因为f(x)是定义域为R的奇函数,由对称性可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以∀x>0,有f(x)<-1<0=f(0),又因为当x<0时,f(x)=log2(2-x)-14x所以∀x<0,有f(x)>1>0=f(0),所以f(x)是R上的减函数.(3)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+3)+f(-4mt)<0恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(3)由f(mt2+3)+f(-4mt)<0得f(mt2+3)<-f(-4mt),因为f(x)是奇函数,所以f(mt2+3)<f(4mt),又因为f(x)是R上的减函数,所以mt2+3>4mt,即mt2-4mt+3>0对任意的t∈R恒成立,①当m=0时,3>0恒成立,满足条件;②当m≠0时,m应满足m>0Δ=16m2综上,m的取值范围是[0,34)【典例3】(2024·长春高一检测)已知函数y=(2log4x-2)(log4x+12)(1)当x∈[1,16]时,求该函数的值域;【解析】(1)令t=log4x,x∈[1,16],则t∈[0,2],函数转化为y=(2t-2)(t+12),t∈则二次函数y=(2t-2)(t+12)=2(t-14)当t=14时,ymin=-98,当t=2时,y故当x∈[1,16]时,函数的值域为[-98,5](2)若(log4x+2)(log4x+12)<mlog4x,对于x∈[4,16]恒成立,求实数m的取值范围【解析】(2)由于(log4x+2)(log4x+12)<mlog4x对于x∈令t=log4x,x∈[4,16],则t∈[1,2],即(t+2)(t+12)<mt在t∈[1,2]上恒成立,所以m>t+1t+52在由对勾函数的性质知h(t)=t+1t+5所以当t=2时,h(t)max=5,故m>5时,原不等式对于x∈[4,16]恒成立,即m的取值范围是{m|m>5}.【总结升华】对数函数性质的综合应用(1)判断函数的单调性:①要注意函数的定义域,②看底数是否需要分类讨论,③利用换元法解决复合函数的单调性与最值问题.(2)判断函数的奇偶性:①先求函数的定义域,②看定义域是否关于原点对称,③利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)判断是奇函数还是偶函数.(3)解不等式:利用函数的单调性与奇偶性,将对数不等式转化为整式或分式不等式.【即学即练】(2024·六安高一检测)已知函数f(x)=loga(1+bx)-loga(1-x)(a>0且a≠1,b>0)为奇函数.(1)求f(x)的定义域;【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即loga(1-bx)-loga(1+x)=-loga(1+bx)+loga(1-x),所以1-b2x2=1-x2,得b2=1,又因为b>0,所以b=1.根据解析式可得1+x>01-x>0,所以-1<x<1(2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.【解析】(2)解不等式f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)>0,即loga1+x1当a>1时,loga1+x1-x>0等价于1+x当0<a<1时,loga1+x1-x>0等价于1+x1-又因为-1<x<1,所以解集为-1<x<0.综上,当a>1时,不等式解集为(0,1);当0<a<1时,不等式解集为(-1,0).类型三对数函数性质的实际应用(数学运算)【典例4】(2024·沈阳高一检测)某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%,若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍,则至少需要经过年.(参考数据:取lg3≈0.48,lg11≈1.041)

【解析】假设该林区当前的木材蓄积量为1,则经过x年后的木材蓄积量为1110由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍,则可得1110x>3,得x>log因为log11103=lg3lg11-1所以x>11.7,故至少需要经过12年.答案:12【即学即练】中国的5G技术世界领先,其数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2(1+SN).它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C(单位:bit/s)取决于信道宽度W(单位:HZ)、信道内信号的平均功率S(单位:dB)、信道内部的高斯噪声功率N(单位:dB)的大小,其中SN叫做信噪比,按照香农公式,若信道宽度W变为原来的2倍,而将信噪比SN从1000提升至4000,则C大约增加了(附:lg2≈0.3) A.110% B.120% C.130% D.140%【解析】选D.当SN=1000时,C=Wlog2当SN=4000时,信道宽度W变为原来的2倍,C=2Wlog24001因为2Wlog2≈4+2log21000log21第2课时对数函数的图象和性质(二)【学习目标】1.进一步研究对数函数的图象与性质2.会用对数函数的图象与性质解决有关综合问题3.运用对数函数模型解决实际问题【素养达成】 直观想象、逻辑推理逻辑推理、数学运算数学建模类型一与对数函数有关的定义域与值域问题(数学运算)【典例1】(1)已知函数f(x)=log2(x+1)-2.若x∈(-1,3],求f(x)的值域.【解析】因为x∈(-1,3],所以x+1∈(0,4],所以log2(x+1)∈(-∞,2],所以log2(x+1)-2∈(-∞,0].所以f(x)的值域为(-∞,0].(2)(易错·对对碰)(2024·荆州高一检测)已知函数f(x)=log2(ax2+3x+1).①若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;②若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.【解析】①f(x)=log2(ax2+3x+1),因为函数f(x)的定义域为R,所以ax2+3x+1>0,x∈R恒成立.当a=0时,3x+1>0,解得x>-13当a≠0时,a>0Δ=9-4综上,实数a的取值范围是(94,+∞)②设g(x)=ax2+3x+1,值域为M,因为函数f(x)的值域为R,所以(0,+∞)⊆M.当a=0时,g(x)=3x+1,M=R,(0,+∞)⊆M,符合题意.当a≠0时,(0,+∞)⊆M,所以a>0Δ=9-4a综上,a的取值范围是(0,94]【总结升华】与对数函数有关的定义域与值域问题(1)定义域:求定义域的本质是解关于自变量的不等式或不等式组,特别是抽象函数定义域的求解,在对应法则f相同的前提下,括号里的范围相同.(2)值域:求对数函数的值域可以先确定真数部分的范围,然后根据对数函数的单调性求解.【即学即练】1.已知函数y=f(x)的定义域为x|x≤1,则f(lnx【解析】函数y=f(x)的定义域为x|则f(lnx)有意义,有lnx≤1,解得0<x≤e,所以f(lnx)的定义域为(0,e].答案:(0,e]2.已知函数y=(log2x)2-3log2x+6,则函数y在x∈A.[154,4] B.[4,6] C.[154,6] D.[1【解析】选A.因为函数y=(log2x)2-3log2x+6,x∈[2,4],令t=log2x所以原函数转化为y=t2-3t+6=(t-32)2+154,当t=3所以所求函数的值域为[154,4]类型二与对数函数有关的综合问题(数学运算)【典例2】(2024·南阳高一检测)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-14x-log2(x+2)(1)求函数f(x)的解析式;【解析】(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-14(-x)-log2(-x+2)=14x-log2(2-又因为f(x)是R上的奇函数,则f(-x)=-f(x)且f(0)=0,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=log2(2-x)-14x综上,f(x)=log2(2)判断函数f(x)的单调性;【解析】(2)因为当x>0时,f(x)=-14x-log2(x因为f(x)是定义域为R的奇函数,由对称性可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以∀x>0,有f(x)<-1<0=f(0),又因为当x<0时,f(x)=log2(2-x)-14x所以∀x<0,有f(x)>1>0=f(0),所以f(x)是R上的减函数.(3)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+3)+f(-4mt)<0恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(3)由f(mt2+3)+f(-4mt)<0得f(mt2+3)<-f(-4mt),因为f(x)是奇函数,所以f(mt2+3)<f(4mt),又因为f(x)是R上的减函数,所以mt2+3>4mt,即mt2-4mt+3>0对任意的t∈R恒成立,①当m=0时,3>0恒成立,满足条件;②当m≠0时,m应满足m>0Δ=16m2综上,m的取值范围是[0,34)【典例3】(2024·长春高一检测)已知函数y=(2log4x-2)(log4x+12)(1)当x∈[1,16]时,求该函数的值域;【解析】(1)令t=log4x,x∈[1,16],则t∈[0,2],函数转化为y=(2t-2)(t+12),t∈则二次函数y=(2t-2)(t+12)=2(t-14)当t=14时,ymin=-98,当t=2时,y故当x∈[1,16]时,函数的值域为[-98,5](2)若(log4x+2)(log4x+12)<mlog4x,对于x∈[4,16]恒成立,求实数m的取值范围【解析】(2)由于(log4x+2)(log4x+12)<mlog4x对于x∈令t=log4x,x∈[4,16],则t∈[1,2],即(t+2)(t+12)<mt在t∈[1,2]上恒成立,所以m>t+1t+52在由对勾函数的性质知h(t)=t+1t+5所以当t=2时,h(t)max=5,故m>5时,原不等式对于x∈[4,16]恒成立,即m的取值范围是{m|m>5}.【总结升华】对数函数性质的综合应用(1)判断函数的单调性:①要注意函数的定义