高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册4.2.2　第1课时　指数函数的图象和性质(一)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册4.2.2第1课时指数函数的图象和性质(一)含答案4.2.2指数函数的图象和性质第1课时指数函数的图象和性质(一)【学习目标】1.能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.掌握指数函数的性质,能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式.【素养达成】直观想象、数学抽象逻辑推理指数函数的图象和性质项目0<a<1a>1图象定义域R值域(0,+∞)性质过定点0,1,即x=0时,减函数增函数版本交融(人BP11尝试与发现)函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=(1a)x(a>0,且a≠1)提示:两函数的图象关于y轴对称.【教材深化】1.函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象的变化趋势:当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴;当0<a<1时,底数越小,图象越靠近y轴.2.研究指数函数的图象与性质时,如果a的值不确定,那么需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)所有指数函数的图象都在x轴的上方. (√)提示:指数函数图象上所有点的纵坐标大于0,函数的值域是(0,+∞).(2)函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象都过定点(1,0). (×)提示:都过定点(0,1).(3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)是奇函数. (×)提示:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.(4)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数. (√)提示:由指数函数的图象可得.类型一指数函数的图象问题(直观想象)角度1图象识别问题【典例1】已知y1=(13)x,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为(【解析】选A.y2=3x与y4=10x是增函数,y1=(13)x与y3=10-x=(110)x是减函数,在第一象限内作直线x【总结升华】识别指数函数图象应把握的两点(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1;(2)在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”.【即学即练】已知1>n>m>0,则指数函数:①y=mx,②y=nx的图象为 ()【解析】选C.由于0<m<n<1,所以y=mx与y=nx都是减函数,故排除A,B;作直线x=1与两条曲线相交(图略),下面的交点所在的曲线是函数y=mx的图象.角度2图象过定点问题【典例2】函数f(x)=a2024-x+2023(a>0,且aA.(2023,2023) B.(2024,2023)C.(2023,2024) D.(2024,2024)【解析】选D.因为f(2024)=a0+2023=2024,所以函数的图象恒过定点(2024,2024).【总结升华】形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,a≠1)的函数图象过定点的问题的解决办法:令指数x+c=0,即x=-c,得y=k+b,函数图象过定点(-c,k+b).【即学即练】若函数f(x)=2ax+m-n(a>0,且a≠1)的图象恒过点(-1,4),则m+n= ()A.3 B.1 C.-1 D.-2【解析】选C.由函数f(x)=2ax+m-n(a>0,且a≠1)的图象恒过(-1,4),得m-1=0,2·am-1-n=4,解得m=1,n=-2,所以m+n=-1.角度3图象平移问题【典例3】函数y=ax-1a(a>0,且a≠1)的图象可能是 (【解析】选D.若a>1,则0<1a<1,所以y=ax-1a(a>0,且a≠1)在R上是增函数,且图象可以由y=ax的图象向下平移1a个单位长度得到,其中0<1a<1,因此选项A,B排除;若0<a<1,则1a>1,所以y=ax-1a(a>0,且a≠1)在R上是减函数,且图象可以由y=ax【总结升华】指数函数的图象平移,遵循“左加右减、上加下减”的原则.【即学即练】下列选项中符合函数y=2x+1的图象是 ()【解析】选A.当x=0时,y=2,且函数单调递增,故A选项符合题意.教材深一度y=2x,y=1【典例4】已知f(x)=12x,x∈R,则f(x)是(A.奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递增B.偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增C.奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递减D.偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减【解析】选D.f(x)=12x其图象如图所示.由图象可知选项D正确.类型二指数函数单调性的简单应用(逻辑推理)角度1比较大小【典例5】比较下列各组值的大小:(1)1.11.1,1.10.9;【解析】(1)因为1.1>1,所以y=1.1x是增函数,又1.1>0.9,故1.11.1>1.10.9.(2)(57)-1.8,(57)-2.【解析】(2)因为0<57<1,所以函数y=(57)x在定义域R上单调递减,又-1.8>-2所以(57)-1.8<(57)-2.(3)(23)-0.5,(34)-0.【解析】(3)方法一:在同一平面直角坐标系中画出指数函数y=(23)x与y=(34)x当x=-0.5时,由图象观察可得(23)-0.5>(34)-0.方法二:因为函数y=x-0.5在(0,+∞)上单调递减,23<34,故(23)-0.5>(34)(4)1.70.1,0.91.1.【解析】(4)因为1.70.1>1.70=1,0.91.1<0.90=1,故1.70.1>0.91.1.【总结升华】比较指数幂大小的三种类型及处理方法【即学即练】比较下列各组值的大小:(1)0.1-0.2,0.10.9;【解析】(1)因为y=0.1x是减函数,-0.2<0.9,故0.1-0.2>0.10.9.(2)30.1,π0.1;【解析】(2)因为y=x0.1在(0,+∞)上单调递增,3<π,故30.1<π0.1.(3)1.40.1,0.90.3.【解析】(3)因为1.4>1,0<0.9<1,所以y=1.4x与y=0.9x在(-∞,+∞)上分别为增函数和减函数.因为0.1>0,所以1.40.1>1.40=1,因为0.3>0,所以0.90.3<0.90=1,所以1.40.1>0.90.3.角度2解不等式【典例6】已知ax2-3x+1<ax+6(a【解析】(1)当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上是减函数,所以x2-3x+1>x+6,所以x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5;(2)当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,所以x2-3x+1<x+6,所以x2-4x-5<0,解得-1<x<5.综上,当0<a<1时,x的取值范围是{x|x<-1或x>5};当a>1时,x的取值范围是{x|-1<x<5}.【总结升华】利用单调性解不等式的步骤1.化同底:将不等式两边都化成底数相同的指数式;2.去底:根据底数的取值,利用指数型函数的单调性去掉底数;3.解不等式:求解由指数构成的不等式的解集.提醒:若底数不确定,则需进行分类讨论.【即学即练】不等式23-2x<0.53x-4的解集为.

【解析】原不等式可化为23-2x<24-3x,因为函数y=2x是R上的增函数,所以3-2x<4-3x,解得x<1,则不等式的解集为{x|x<1}.答案:{x|x<1}第2课时指数函数的图象和性质(二)【学习目标】1.掌握指数函数的性质,能利用指数函数的单调性求简单函数的值域.2.能运用指数函数的图象与性质解决一些实际问题.3.会判断指数型函数的单调性与奇偶性.【素养达成】逻辑推理数学建模逻辑推理类型一指数型函数的定义域、值域问题(数学运算)【典例1】(1)函数y=1-3x的定义域为【解析】要使函数有意义,则1-3x≥0,即3x≤1=30,因为函数y=3x在R上是增函数,所以x≤0.故函数y=1-3因为x≤0,所以0<3x≤1,所以0≤1-3x<1,故函数y=1-3答案:(-∞,0][0,1)(2)函数y=(12)

x2【解析】因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,所以(12)

x2-2x-3≤(12)答案:(0,16]【总结升华】函数y=af(x)的定义域与值域的求法(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同;(2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函数y=af(x)的值域.【即学即练】1.函数y=0.71x【解析】由x2-1≠0,得x≠±1,所以函数y=0.71x2-1的定义域为{答案:{x|x≠±1}2.若2x2+1≤(14)x-2,则函数y=2【解析】由2x2+1≤(14)x-2x2+1≤4-2x,解得-3≤x≤1,所以2-3≤2x≤2,即函数y=2x的值域是[18,2]答案:[18【补偿训练】设0≤x≤2,y=4x-12【解析】令t=2x,0≤x≤2,所以1≤t≤4.则y=22x-1-3·2x+5=12t配方得y=12(t-3)2+12,t所以y=12(t-3)2+12,t∈[1,3]上单调递减,t所以当t=3时,ymin=12,当t=1时,ymax=5故函数的最大值为52,最小值为1类型二指数函数图象与性质的实际应用(数学建模)【典例2】某林区2023年年底木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量呈指数增长,如图.(1)根据图象,估计经过几年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.【解析】(1)如图,作直线y=300与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点,则A(x0,300),A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值.因为8<x0<9,则取x=9,即经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.(2)若2025年年底木材蓄积量为220.5万立方米,估计年平均递增率约为多少.【解析】(2)设木材蓄积的年平均递增率约为x,由题意,200×(1+x)2=220.5,解得x=0.05.故年平均递增率约为5%.【总结升华】指数函数图象与性质的实际应用解题策略(1)利用指数型函数的图象,通过观察发现实际问题的答案;(2)利用待定系数法,根据条件求出指数型函数的解析式,再利用性质解题.【即学即练】酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100毫升血液中酒精含量达到20mg~79mg的驾驶员即为酒后驾车,80mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6mg/mL,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,求他至少要经过几个小时才能驾车.【解析】设至少经过x个小时才能驾驶汽车,则60(1-25%)x<20,所以(34)x<13,当x=3时,(34)3=2764>13;当x=4时,(34)4类型三指数函数性质的综合应用(逻辑推理)【典例3】已知函数f(x)=a-12x+1(x(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在R上为增函数;【解析】(1)因为f(x)的定义域为R,任取x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a-12x1+1-a+因为x1<x2,所以2x1-2x2<0,(所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以不论a为何实数,f(x)在R上为增函数.(2)若f(x)为奇函数,求a的值;【解析】(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数,所以f(0)=0,即a-120+1=0,解得a(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.【解析】(3)由(2)知,f(x)=12-12x+1,由(1)知,所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1).因为f(1)=12-13=16,所以f(x【总结升华】指数型函数奇偶性和单调性的判断方法(1)奇偶性按照函数奇偶性定义进行判断,注意定义域优先原则,判断过程中,可以利用运算性质进行必要的指数幂的运算.(2)单调性按照函