高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价专题突破练四含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价专题突破练四含答案专题突破练四(时间:45分钟分值:50分)1.(5分)下列命题正确的是()A.如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行B.过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行C.如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线,则该直线与平面平行【解析】选B.不在平面内的直线还可以与平面相交,故A错误;一条直线与平面平行,那么这条直线与平面内的直线平行或异面,故C错误;直线也可能在平面内,故D错误.2.(5分)在三棱锥A-BCD中,点E,F分别在AB,CB上.若AE∶EB=CF∶FB=2∶5,则直线AC与平面DEF的位置关系为()A.平行 B.相交C.AC⊂平面DEF D.不能确定【解析】选A.因为AE∶EB=CF∶FB=2∶5,所以EF∥AC.又因为AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,所以AC∥平面DEF.3.(5分)已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G,H分别是棱AD,BB',B'C',DD'的中点,从E,F,G,H中任取两点确定的直线中,与平面AB'D'平行的有()A.0条 B.2条 C.4条 D.6条【解析】选D.连接EG,EH,FG,EF,GH(图略),因为EH∥FG,且EH=FG,所以E,F,G,H四点共面.由EG∥AB',EH∥AD',EG∩EH=E,AB'∩AD'=A,可得平面EFGH与平面AB'D'平行,所以平面EFGH内的每条直线都符合条件.4.(5分)如图所示,向透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:①没有水的部分始终呈棱柱形;②水面EFGH所在四边形的面积为定值;③棱A1D1始终与水面所在平面平行;④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.由题图知,显然①是正确的,②是错误的;对于③,因为A1D1∥BC,BC∥FG,所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH,FG⊂平面EFGH,所以A1D1∥平面EFGH(水面).所以③是正确的;对于④,因为水是定量的(定体积V),所以S△BEF·BC=V,即12BE·BF·BC=所以BE·BF=2VBC(定值),即④5.(5分)(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列四组平面中彼此平行的有()A.平面A1BC1与平面AD1CB.平面BDC1与平面B1D1AC.平面BDA1与平面B1D1CD.平面ACD1与平面A1C1D【解析】选ABC.对于A选项,A1B∥D1C,A1B⊄平面AD1C,D1C⊂平面AD1C,则A1B∥平面AD1C,同理可证,A1C1∥平面AD1C,因为A1B∩A1C1=A1,A1B⊂平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,所以平面A1BC1∥平面AD1C,故A正确;对于B选项,AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,则AD1∥平面BDC1,同理可证,AB1∥平面BDC1,因为AD1∩AB1=A,AD1⊂平面B1D1A,AB1⊂平面B1D1A,所以平面BDC1∥平面B1D1A,故B正确;对于C选项,BD∥B1D1,BD⊄平面B1D1C,B1D1⊂平面B1D1C,则BD∥平面B1D1C,同理可证,A1B∥平面B1D1C,因为A1B∩BD=B,A1B⊂平面BDA1,BD⊂平面BDA1,所以平面BDA1∥平面B1D1C,故C正确;对于D选项,设A1D∩AD1=E,则E∈平面ACD1且E∈平面A1C1D,设D1C∩C1D=F,则F∈平面ACD1且F∈平面A1C1D,所以平面ACD1∩平面A1C1D=EF,所以两个平面相交,故D错误.6.(5分)如图所示,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF=__________.

【解析】取BC的中点D,连接ED与FD(图略),因为E,F分别是SC和AB的中点,D点为BC的中点,所以ED∥SB,FD∥AC,而SB⊥AC,SB=AC=2,则△EDF为等腰直角三角形,则ED=FD=1,即EF=2.答案:27.(5分)如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,则AC的长为________cm.

【解析】因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交β于M,交γ于N.连接AD,BM,CN,ME,NF,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以ABBC=DMMN=因为AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,所以2BC=43,解得BC=所以AC=AB+BC=2+32=72答案:78.(5分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA上一点,当点E满足条件:________时,SC∥平面EBD.

【解析】连接AC交BD于点O,连接OE,因为SC∥平面EBD,SC⊂平面SAC,平面SAC∩平面EBD=OE,所以SC∥OE.又因为底面ABCD为平行四边形,点O为对角线AC与BD的交点,故点O为AC的中点,所以E为SA的中点,故当E满足条件:SE=AE时,SC∥平面EBD.答案:SE=AE(答案表述不唯一)9.(10分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点.(1)求证:EF∥平面BDD1B1;(2)设G为棱CD上的中点,求证:平面GEF∥平面BDD1B1.【证明】(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接BM,如图,因为E,F分别是BC,CM的中点,则有EF∥BM,又因为EF⊄平面BDD1B1,BM⊂平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1.(2)取CD的中点G,连接EG,FG,如图,由E是BC的中点,于是得EG∥BD,而EG⊄平面BDD1B1,BD⊂平面BDD1B1,从而得EG∥平面BDD1B1,由(1)知EF∥平面BDD1B1,EF∩EG=E,且EF,EG⊂平面GEF,所以平面GEF∥平面BDD1B1.。专题突破练三(时间:45分钟分值:55分)1.(5分)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为()A.4π3 B.2π3 C.3π【解析】选A.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是43×π×13=4π2.(5分)长方体的长、宽、高分别为2a,a,2a,它的顶点都在球面上,则这个球的体积是()A.27πa38 C.9πa32 【解析】选C.设这个球的半径为R,根据条件可知,外接球直径2R=a2+(2a)2+(2a)2=3a3.(5分)若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为()A.π B.2π C.3π D.4π【解析】选C.过圆锥的旋转轴作轴截面,得△ABC及其内切圆☉O1和外接圆☉O2,且两圆同圆心,即△ABC的内心与外心重合,易得△ABC为正三角形,由题意得☉O1的半径为r=1,所以△ABC的边长为23,所以圆锥的底面半径为3,高为3,所以V=13×π×(3)2×3=3π4.(5分)在Rt△ABC中,CA=CB=2,以AB所在直线为旋转轴旋转一周得到一个几何体,则该几何体的内切球的体积为()A.2π3 BC.2π D.2π【解析】选A.如图所示,旋转体的轴截面为边长为2的正方形,设O为内切球的球心.内切球半径r=12AC=22,所以该几何体的内切球的体积为43×π×(22)5.(5分)(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为3-1,则下列说法中正确的是()A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内切球的体积为4πC.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为23【解析】选ABC.设正方体的棱长为a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一半,即32a;内切球的半径为棱长的一半,即a因为M,N分别为外接球和内切球上的动点,所以MNmin=32a-a2=3-1解得a=2,即正方体的棱长为2,所以正方体外接球的表面积为4π×(3)2=12π,内切球的体积为4π3线段MN的最大值为3+1,则D错误.6.(5分)在三棱锥A-BCD中,若AD⊥平面BCD,AB⊥BC,AD=BD=2,CD=4,点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的表面积为__________.

【解析】根据题意得,BC⊥平面ABD,则BC⊥BD,即AD,BC,BD三条线两两垂直,所以可将三棱锥A-BCD放置于长方体内,如图所示,该三棱锥的外接球即为长方体的外接球,球心为长方体体对角线的中点,即外接球的半径为长方体体对角线长的一半,此时AC为长方体的体对角线,即为外接球的直径,所以该球的表面积S=4πR2=π·AC2=π·(22+42)=20π.答案:20π7.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,表面积为S1,球O的体积为V2,表面积为S2,则V1V2=__________,S【解析】设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R,所以V1V2=πR2·2R4答案:328.(10分)半球内放三个半径为3的小球,三小球两两相切,并且与球面及半球底面的大圆面也相切,求该半球的半径.【解析】三个小球的球心O1,O2,O3构成边长为23的正三角形,则其外接圆半径为2.设半球的球心为O,小球O1与半球底面切于点A.如图,经过点O,O1,A作半球的截面,则半圆☉O的半径为OC,OC⊥OA,作O1B⊥OC于点B.则OA=O1B=2.设该半球的半径是R,在Rt△OAO1中,由(R-3)2=22+(3)2可得R=3+7.9.(10分)四面体的四个顶点都在半径为R1的球O1上,该四面体各棱长都相等,如图①.正方体的八个顶点都在半径为R2的球O2上,如图②.八面体的六个顶点都在半径为R3的球O3上,该八面体各棱长都相等,四边形ABCD是正方形,如图③.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为S4,S6,S8.若