高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价五十　事件的相互独立性(1)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价五十事件的相互独立性(1)含答案五十事件的相互独立性(1)(时间:45分钟分值:85分)【基础全面练】1.(5分)设A,B,C为三个随机事件,其中A与B互斥,B与C相互独立,则下列命题一定成立的是()A.A与B相互独立B.A与C互斥C.B与C互斥D.B与C相互独立【解析】选D.注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别,前者指的是不可能同时发生的事件,后者指的是在两个事件中,一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立,由两事件相互独立的性质易知D正确.2.(5分)一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为()A.1 B.0.629 C.0 D.0.74或0.85【解析】选B.设“甲保险丝熔断”为事件A,“乙保险丝熔断”为事件B,则P(A)=0.85,P(B)=0.74,由事件A与B相互独立,得“两根保险丝都熔断”为事件AB,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.85×0.74=0.629.3.(5分)(2024·南昌高一检测)2023年10月26日神舟十七号载人飞船成功发射,某校举办航天知识竞赛,竞赛设置了A,B,C三道必答题目.已知某同学能正确回答A,B,C题目的概率分别为0.8,0.7,0.5,且回答各题是否正确相互独立,则该同学最多有两道题目回答正确的概率为()A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92【解析】选B.A,B,C三道必答题目,该同学都回答正确的概率P1=0.8×0.7×0.5=0.28,该同学最多有两道题目回答正确的概率P=1-P1=1-0.28=0.72.4.(5分)(多选)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有()A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M=“出现的点数为奇数”,事件N=“出现的点数为偶数”B.袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M=“第1次摸到白球”,事件N=“第2次摸到白球”C.分别抛掷2枚相同的硬币,事件M=“第1枚为正面”,事件N=“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次,事件M=“第一次为正面”,事件N=“第二次为反面”【解析】选CD.在A中,M,N是互斥事件,不相互独立;在B中,事件M的发生对事件N有影响,故M,N不是相互独立事件;在C中,P(M)=12,P(N)=12,P(MN)=14,P(MN)=P(M)P(N),因此M在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是相互独立事件.5.(5分)(多选)(2024·荆州高二期末)抛掷一枚质地均匀的骰子,记Ai=“点数为i”,其中,i=1,2,3,4,5,6,B=“点数为奇数”,C=“点数为偶数”,则()A.P(A5)=16 B.A2,BC.A1∩B=∅ D.B,C为对立事件【解析】选ABD.选项A:抛掷一枚骰子,所有基本事件为A1,A2,A3,A4,A5,A6,故P(Ai)=16选项B:A2∩B=∅,A2,B为互斥事件,选项B正确;选项C:A1∩B={1}≠∅,选项C错误;选项D:B∪C=Ω,B∩C=∅,所以B,C为对立事件,选项D正确.6.(5分)假设P(A)=0.5,P(B)=0.6,且事件A与B相互独立,则P(A+B)=________.

【解析】P(AB)=P(A)P(B)=0.3,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.3=0.8.答案:0.87.(5分)两人打靶,甲中靶的概率为0.8,乙中靶的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则他们都中靶的概率是________,他们都不中靶的概率为________.

【解析】设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56,P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.7)=0.06.答案:0.560.068.(5分)(2024·延庆高一期末)甲同学进行投篮练习,每次投中的概率都是13,连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为________【解析】因为甲同学每次投中的概率都是13,连续投3次,则投不中的概率为2所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为23×23×13答案:49.(10分)甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛,甲投篮命中的概率为23,乙投篮命中的概率为34(1)求甲、乙各投篮一次,恰好有1人命中的概率;(2)求甲、乙各投篮一次,至少有1人命中的概率.【解析】(1)记“甲投篮命中”为A事件,“乙投篮命中”为B事件,则P(A)=23,P(B)=3因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响,所以A与B相互独立,那么恰好有1人命中的概率为P(AB)+P(AB)=23×14+13×3(2)由(1)知,两人都没有命中的概率P(AB)=13×14=所以至少有1人命中的概率为1-P(AB)=1112【综合应用练】10.(5分)如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为()A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576【解析】选B.根据题意,记K,A1,A2正常工作分别为事件A,B,C,则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.8,A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P(B)P(C)=1-(1-0.8)×(1-0.8)=0.96,则系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864.11.(5分)小明和小杰在乒乓球比赛中,小明必须再胜2盘才最后获胜,小杰必须再胜3盘才最后获胜.若两人每盘获胜的概率都是12,且每盘比赛之间相互独立,互不影响,则小明连胜2盘并最后获胜的概率是(A.14 B.38 C.716 【解析】选C.如果再打2盘,小明连胜2盘并最后获胜的概率为12×12=如果再打3盘,小明连胜2盘并最后获胜的概率为(1-12)×12×12如果再打4盘,小明连胜2盘并最后获胜的概率为(1-12)×(1-12)×12×1所以小明连胜2盘并最后获胜的概率为14+18+11612.(5分)(2024·南昌高一检测)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏,晋代在广泛开展投壶活动中,对投壶的壶也有所改进,即在壶口两旁增添两耳,因此在投壶的花式上就多了许多名目,如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶,每一位参赛者各有四支箭,投入壶口一次得1分,投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人是否投中壶口、壶耳是相互独立的),甲四支箭已投完,共得3分,乙投完2支箭,目前只得1分,乙投入壶口的概率为13,投入壶耳的概率为15,四支箭投完,以得分多者赢,则乙赢得这局比赛的概率为【解析】由题意得若乙要赢得这局比赛,则乙在投剩下的两支箭后至少要再得3分,按照乙第三支箭的情况可分为两类:(1)第三支箭投入壶口,则第四支箭必须投入壶耳,其概率P1=13×15=(2)第三支箭投入壶耳,则第四支箭投入壶口、壶耳均可,其概率P2=15×(13+15所以乙赢得这局比赛的概率P=P1+P2=115+875=答案:1313.(10分)设某人有5发子弹,他向某一目标射击时,每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击,否则将子弹打完(1)求他前两发子弹只命中一发的概率;(2)求他所耗用的子弹数X=4的概率.【解析】设“第k发子弹命中目标”为事件Ak,则A1,A2,A3,A4,A5相互独立,且P(Ak)=23,P(Ak)=13,(1)他前两发子弹只命中一发的概率为P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=23×13+(2)P(X=4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2=(23)3×13+(13)3×214.(10分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1-14-12=14,1-12-(1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况.都付0元的概率为p1=14×12=都付2元的概率为p2=12×14=都付4元的概率为p3=14×14=所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为p=p1+p2+p3=516(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ元,则ξ=4表示两人的租车费用之和为4元,其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元,4元;②2元,2元;③4元,0元.所以可得P(ξ=4)=14×14+12×14+14即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516五向量的数量积(1)(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于()A.1 B.3 C.3 D.33【解析】选C.a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos30°=3.2.(5分)(2024·邯郸高一检测)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.一方面:由a·b=|a||b|,可得a与b的夹角为0,此时a与b共线;另一方面:由a与b共线,可得a与b的夹角为0或π,此时有a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|,即此时a·b=|a||b|不一定成立.综上可得,a·b=|a||b|是a与b共线的充分不必要条件.【补偿训练】已知m,n是非零向量,则m⊥n是m·n=0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为m,n是非零向量且m⊥n,所以m·n=0,满足充分性;又因为m·n=0,且m,n是非零向量,所以|m||n|cosθ=0,故a与b的夹角θ为90°,即m⊥n,满足必要性.3.(5分)(2024·乌鲁木齐高一检测)已知|a|=1,|b|=2,a·b=1,则向量a与b的夹角大小为()A.π4 B.π3 C.2π3 【解析】选B.设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=12,而4.(5分)(2024·贵阳高一检测)已知向量a与b的夹角为π3,且满足|a|=2,|b|=1,则a在b上的投影向量为(A.1 B.12 C.a D.【解析】选D.向量a在b上的投影向量为|a|·cosπ3·b|b|=2×15.(5分)(2024·北京高一检测)已知e是单位向量,向量a满足12≤a·e≤1,则|a|的取值范围是(A.(0,+∞) B.(0,1]C.12,+∞ D.12,1【分析】利用向量数量积公式,结合夹角的范围建立不等式,求出|a|的取值范围.【解析】选C.设a与e的夹角为θ,由12≤a·e≤1及e是单位向量,得12≤|a|cos显然|a|≠0,且θ∈0,π2,于是12cosθ≤|a|≤1cosθ,而cosθ∈(0,1],12cosθ≥12,所以|a|6.(5分)(多选)(2024·青岛高一检测)下列说法正确的是()A.向量a在向量b上的投影向量可表示为a·bB.若a·b<0,则a与b的夹角θ的范围是π2,πC.若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形,则,的夹角为45°D.若a·b=0,则a⊥b【解析】选AB.A.由向量a在向量b上的投影向量的定义知,向量a在向量b上的投影向量可表示为a·b|b|B.因为a·b=|a|·|b|·cosθ<0,所以cosθ<0,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角θ的范围是π2,π,故正确;C.若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形,则,的夹角为135°,故错误;D.若a·b=0,且a,b都为非零向量时,a⊥b,故错误.7.(5分)已知向量e是与向量b方向相同的单位向量,且|b|=2,若a在b方向上的投影向量为2e,则a·b=()A.23 B.-23 C.4 D.-4【解析】选C.设a与b的夹角为θ,由题意得cosθ>0,所以|a|cosθ=|2e|=2,所以a·b=|b|·|a|cosθ=2×2=4.8.(5分)(2024·汉中高一检测)在△ABC中,AB=AC=1,∠A=90°,则·=_______.

答案:-1【解析】根据题意易得△ABC为等腰直角三角形,BC=2,设与的夹角为θ,则·=||||cosθ=1×2×cos3π4=-1.【补偿训练】已知向量a与b的夹角为π3,且|a|=2|b|,若c为b在a方向上的投影向量,并满足c=λa,则λ=(A.3 B.4 C.14 D.-【解析】选C.因为向量a与b的夹角为π3,且|a|=2|b|,若c为b在a方向上的投影向量,则c=|b|cosπ3·a|a|=|b||a|cosπ3·a=9.(5分)(2024·贵州高一检测)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,a·b=1,则|b|=答案:3【解析】设向量a,b的夹角为θ,由题意得cosθ=13,因为a·b所以a·b=|a||b|cosθ=13|b|=1,解得|b|=310.(10分)已知|a|=2|b|=2,e是与b方向相同的单位向量,且向量a在向量b方向上的投影向量为-e.(1)求a与b的夹角θ;(2)求a·b.【解析】(1)由题意知|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影向量为|a|cosθe=-e,所以cosθ=-12,又θ∈[0,π],所以θ=2π(2)由(1)知θ=2π3所以a·b=|a|·|b|cosθ=-1.【综合应用练】11.(5分)(2024·银川高一检测)如果向量a,b的夹角为θ,我们就称a×b为向量a与b的“向量积”,a×b还是一个向量,它的长度为|a×b|=|a|·|b|sinθ,如果|a|=10,|b|=2,a·b=-12,则|a×b|=()A.-16 B.16 C.-20 D.20【解析】选B.由于|a×b|=|a|·|b|sinθ,|a|=10,|b|=2,a·b=-12,则a·b=|a||b|cosθ=10×2cosθ=-12,则cosθ=-35,所以sinθ=45,则|a×b|=|a||b|sinθ=10×2×412.(5分)(多选)下列说法错误的是()A.在等腰直角三角形ABC中,若A为直角,则与的夹角为45°B.由a·b=0可得a=0或b=0C.向量a在向量b上的投影向量是一个向量,而向量a在向量b上的投影是一种变换D.对于非零向量a,b,“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的充分不必要条件【解析】选ABD.A选项,B为45°,与的夹角为B的补角,为135°,故A错误,符合题意;B选项,当a⊥b时,a·b=0,故B错误,符合题意;C选项,“投影向量”是向量,“投影”是一种变换,故C正确,不符合题意;D选项,当向量a,b同向时,a·b>0,a与b的夹角为锐角不成立;当a与b的夹角θ为锐角时,a·b=|a||b|cosθ>0.所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,故D错误,符合题意.13.(5分)(2024·濮阳高一检测)如图,已知网格小正方形的边长为