高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价三　向量的减法运算含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价三向量的减法运算含答案三向量的减法运算(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·钦州高一检测)在△ABC中,=a,=b,则=()A.a+b B.a-bC.b-a D.-a-b【解析】选C.=-=b-a.2.(5分)(2024·北京高一检测)化简+-的结果等于()A. B. C. D.【解析】选D.+-=-=.3.(5分)(2024·唐山高一检测)设e是单位向量,=e,=-e,||=1,则四边形ABCD是()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【解析】选B.因为=e,=-e,所以=e=-,即∥,所以||=||=|e|=1,所以四边形ABCD是平行四边形,因为||=1,即||=||,由菱形的判定定理可知,四边形ABCD是菱形.4.(5分)(2024·北京高一检测)对于任意两个向量a和b,下列命题中正确的是()A.|a+b|≤|a-b| B.|a-b|≤|a+b|C.|a+b|≤|a|+|b| D.|a-b|≤|a|-|b|【解析】选C.对于A,当a,b≠0,且a,b同方向时,|a+b|>|a-b|,故A错误;对于B,当a,b≠0,且a,b反方向时,|a-b|>|a+b|,故B错误;对于C,根据向量加法的平行四边形法则,得|a+b|≤|a|+|b|,故C正确;对于D,根据向量减法的三角形法则,得|a-b|≥|a|-|b|,故D错误.【补偿训练】(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题中正确的是()A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同【解析】选ABD.如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当a,b不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.当a,b同向时有|a+b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a-b|.当a,b反向时有|a+b|=||a|-|b||,|a|+|b|=|a-b|.5.(5分)(2024·常州高一检测)在边长为1的正方形ABCD中,若=a,=b,=c,则|a-b+c|等于()A.0 B.1 C.2 D.2【解析】选C.|a-b+c|=|-+|=|++|=|+|=2||=2.6.(5分)(多选)(2024·常州高一检测)下列能化简为的是()A.-+B.+(+)C.(+)+(-)D.+-【解析】选ABC.对于A,-+=-=,故A正确;对于B,++=+=,故B正确;对于C,(+)+(-)=+=,故C正确;对于D,+-=-,故D不符合题意.7.(5分)下列各向量运算的结果与相等的有__________.(填序号)

①+;②-;③-;④-【解析】由题意知,①④正确.答案:①④8.(5分)如图所示,已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为r1,r2,r3,则=____________.(用r1,r2,r3表示)

【解析】=+=+=+-=r3+r1-r2.答案:r3+r1-r29.(5分)(2024·抚顺高一检测)如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是△ABC所在平面内任意一点,则-+=________.

【解析】-+=+-=-.因为D是边BC的中点,所以=,所以-+=0.答案:010.(10分)如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c,求作向量b+c-a.【解析】以,为邻边作平行四边形OBDC,连接OD,AD,所以=+=b+c,所以=-=b+c-a.故为所求作向量.【综合应用练】11.(5分)(2024·浙江四校联考)在四边形ABCD中,O为任意一点,若-+-=0,则()A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形【解析】选D.因为-+-=0,则+=0,即=,可知AB,CD两边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形,故ABC错误,D正确.【补偿训练】(2024·抚顺高一检测)在平行四边形ABCD中,|+|=|-|,则必有()A.=0B.=0或=0C.四边形ABCD为矩形D.四边形ABCD为正方形【解析】选C.因为在四边形ABCD中,显然||≠0,||≠0,则≠0,≠0,故A,B错误;因为+=,-=,则||=||,即平行四边形ABCD的对角线长度相等,故四边形ABCD为矩形,故C正确;因为没有确定||,||是否相等,故无法确定四边形ABCD是否为正方形,故D错误.12.(5分)(多选)(2024·张掖高一检测)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则-=()A. B. C. D.【解析】选BCD.因为D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,所以DF∥BE,且DF=BE,DF∥EC,且DF=EC,所以=,=,所以-=-===.13.(5分)(2024·洛阳高一检测)已知非零向量a,b满足:|a|=|b|=|a-b|,作=a,=a+b,则∠AOB=__________.

【解析】构造如图所示的平行四边形,=a,=a+b,则=b,=a-b,则△AOC为正三角形,故∠COA=60°,则平行四边形OABC为菱形,故OB平分∠COA,则∠AOB=30°.答案:30°【补偿训练】(多选)对于菱形ABCD,给出下列各式,其中结论正确的为()A.=B.||=||C.|-|=|+|D.|+|=|-|【解析】选BCD.菱形中向量与的方向是不同的,但它们的模是相等的,所以B正确,A错误;因为|-|=|+|=2||,|+|=2||,且||=||,所以|-|=|+|,所以C正确;因为|+|=|+|=||,|-|=|+|=||,所以D正确.14.(10分)化简:(1)+--;(2)(++)-(--).【解析】(1)+--=(-)+(-)=+=;(2)(++)-(--)=(+)+-=++=+=0.15.(10分)如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,设=a,=b,=c,求证:b+c-a=.【证明】方法一:因为b+c=+=+=,+a=+=,所以b+c=+a,所以b+c-a=.方法二:因为c-a=-=-=+=,-b=-=+=,所以c-a=-b,所以b+c-a=.三十直线与平面平行的性质定理(时间:45分钟分值:85分)【基础全面练】1.(5分)若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c…,那么这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….2.(5分)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面 B.平行C.相交 D.以上均有可能【解析】选B.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,因为AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,所以A1B1∥平面ABC,因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE,所以DE∥A1B1,所以DE∥AB.3.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为()A.12 B.1 C.2 D.【解析】选C.因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因为点E为AD的中点,点F在CD上,所以点F是CD的中点,所以EF=12AC=24.(5分)(多选)下列说法中正确的是()A.一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行B.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点C.过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行D.如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内【解析】选ABD.根据线面平行的性质定理可知:直线与平面内的无数条直线平行,A正确.根据线面平行的定义,直线与平面平行,则直线与平面内的任何直线无公共点,B正确.C中可以作无数个平面与直线平行,错误.根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β,则平面α与平面β的交线与直线l平行,且在平面α内,D正确.5.(5分)(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则()A.MN∥PD B.MN∥平面PABC.MN∥AD D.MN∥PA【解析】选BD.因为MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,所以MN∥PA,因为PA⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,因此,MN∥平面PAB.6.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与A1C1的位置关系是________.

【解析】如图,易知AC∥平面A1B1C1D1.又因为平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l,所以AC∥l,又因为AC∥A1C1,所以l∥A1C1.答案:平行7.(5分)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=a3,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=__________【解析】因为MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,所以MN∥PQ.因为MN∥A1C1∥AC,所以PQ∥AC.因为AP=a3,所以DP=DQ=2a3.所以PQ=2×2答案:228.(5分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧棱CC1上运动,当点P________时,A1P∥平面BCD.

【解析】如图,假设A1P∥平面BCD.因为A1P⊂平面AA1C1C,平面AA1C1C∩平面BDC=DC,所以A1P∥CD.又因为D为AA1的中点,所以P为CC1的中点.答案:是CC1的中点9.(10分)求证:若两个相交平面分别过两条平行直线,则它们的交线和这两条平行直线平行.【证明】已知:a∥b,a⊂α,b⊂β,α∩β=l.求证:a∥b∥l.如图所示,因为a∥b,b⊂β,a⊄β,所以a∥β,又因为a⊂α,α∩β=l,所以a∥l,又因为a∥b,所以a∥b∥l.【综合应用练】10.(5分)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.平行或异面【解析】选C.条件即为线面平行的性质定理,所以a∥b,又a与α无公共点,所以α内与b相交的直线与a异面.11.(5分)(多选)在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的有()A.E,F,G,H一定是各边的中点B.G,H一定是CD,DA的中点C.AE∶EB=AH∶HD且BF∶FC=DG∶GCD.四边形EFGH是平行四边形或梯形【解析】选CD.由BD∥平面EFGH和线面平行的性质定理,得BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD且BF∶FC=DG∶GC,且EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.12.(5分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,N是平面ABCD外一点,设AC∩BD=O,P为NC上一点,若OP∥平面NEF,则NP∶PC=__________.

【解析】设AC∩EF=H,连接NH.因为OP∥平面NEF,平面NEF∩平面NHC=NH,OP⊂平面NHC,所以OP∥NH,所以NP∶PC=HO∶OC.在正方形ABCD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以HO∶OC=1∶2.所以NP∶PC=1∶2.答案:1∶2【补偿训练】如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC上的动点,D是AA1上的动点,且ADDA1=m,AE∥平面(1)若E是BC的中点,则m的值为________;

(2)若E是BC上靠近B的三等分点,则m的值为________.

【解析】(1)如图,设G是CB1上一点,连接DG,GE.因为AE∥平面DB1C,所以AE∥DG.又AD∥平面CBB1C1,所以AD∥EG,则四边形DAEG是平行四边形.故DA=GE,所以G是CB1的中点.故AD=DA1,即ADDA1=1,即(2)如图,设H是CB1上一点,连接DH,HE.因为AE∥平面DB1C,所以AE∥DH,又AD∥BB1,所以AD∥平面CBB1C1,所以AD∥EH,故四边形DAEH是平行四边形,则AD=EH,因为EH∥BB1,所以EHBB1=CE所以ADAA1=EH则ADDA1=2,即答案:(1)1(2)213.(10分)求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.【证明】已知直线a,l,平面α,β满足α∩β=l,a∥α,a∥β.求证:a∥l.证明如下:如图所示,过a作平面γ交平面α于b,因为a∥α,所以a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c,因为a∥β,所以a∥c.则b∥c.又因为b⊄β,c⊂β,所以b∥β.又因为b⊂α,α∩β