高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价六　向量的数量积(2)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价六向量的数量积(2)含答案六向量的数量积(2)(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·哈尔滨高一检测)已知向量a,b,c均为任意向量,m为任意实数,则下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·cC.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)【解析】选D.对于A,由向量加法结合律知,(a+b)+c=a+(b+c)成立,A正确,不符合题意;对于B,由数量积的分配律知,(a+b)·c=a·c+b·c成立,B正确,不符合题意;对于C,由数乘向量的分配律知,m(a+b)=ma+mb成立,C正确,不符合题意;对于D,(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而a,c是任意的向量,因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等,D错误,符合题意.2.(5分)(2024·廊坊高一检测)已知单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-45,则a·b=(A.12 B.13 C.15 【解析】选C.因为(a+2b)·(a-b)=a2-2b2+a·b=1-2+a·b=-45,所以a·b=13.(5分)(2024·珠海高一检测)已知|a|=|b|=1,且|a-b|=3,则向量a,b的夹角为()A.120° B.90° C.60° D.30°【解析】选A.设a,b的夹角为θ,由|a-b|=3可得,(a-b)2=a2+b2-2a·b=3,所以a·b=-12,所以cosθ=a·b|a||b|=-124.(5分)(2024·东莞高一检测)已知向量a,b的夹角为5π6,且|a|=3,|b|=1,则|a+2b|=(A.1 B.3 C.2 D.13【解析】选A.|a+2b|=(a+2=3+4×3×1×cos5.(5分)已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a=2i+3j,b=ki-4j,若a⊥b,则k的值是()A.6 B.-6 C.3 D.-3【解析】选A.因为i⊥j,所以i·j=0,若a⊥b,则a·b=(2i+3j)·(ki-4j)=2k|i|2-12|j|2=2k-12=0,解得k=6.6.(5分)(多选)(2024·厦门高一检测)已知e1,e2是两个互相垂直的单位向量,a=e1-2e2,b=2e1+e2,则下列结论中正确的有()A.|a|=5B.a⊥bC.|a-b|=13D.a与a-b的夹角θ为π【解析】选BD.a·b=(e1-2e2)·(2e1+e2)=2e12-2e22-3e1|a|=e112+4×1|b|=4e4×12+|a-b|=a2+bcosθ=a·(a-b)|a所以a与a-b的夹角θ为π4,故BD正确,AC错误【补偿训练】(多选)已知e1,e2是夹角为2π3的单位向量,且a=e1+e2,b=e1-e2,则(A.a+b在b上的投影向量为bB.|b|=3C.(a·e1)·e2=(a·e2)·e1D.a与b的夹角为2π【解析】选AB.对于A,B,a+b=2e1,b=e1-e2,则|a+b|=2,|b|=(e1-e2)2=2-2e1·e2=2-2×(-12)=3,(a+b)·b=2e1·(e1-e2则cosθ=(a+b)·b所以a+b在b上的投影向量为|a+b|cosθb|b|=2×32×13b=b对于C,(a·e1)·e2=[(e1+e2)·e1]·e2=12e2,(a·e2)·e1=[(e1+e2)·e2]·e1=12e1,故C对于D,设a,b夹角为α,则cosα=a·b|a||b|=0,所以a与b7.(5分)(2024·沈阳高一检测)已知向量|a|=2,|b|=3,且a·b=1,则|2a+b|=____________________.

答案:29【解析】因为|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4×22+4×1+32=29,所以|2a+b|=29.8.(5分)(2024·滨州高一检测)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且b⊥(a-b),则向量a与b的夹角的大小为____________.

答案:π【解析】由b⊥(a-b),所以b·(a-b)=0,即b·a-b2=0,因为|a|=2,|b|=3,所以b·a=3,设向量a,b的夹角为θ(0≤θ≤π),所以cosθ=a·b|a||b|=32×9.(5分)(2024·石家庄高一检测)已知a,b为平面向量,|b|=2.若a在b方向上的投影向量为b2,则(a-b)·b=【分析】先设a,b的夹角为θ,由a在b方向上的投影向量为b2,求得|a|cosθ=1,进而求得a·b的值,则(a-b)·b可求得答案:-2【解析】设a,b的夹角为θ,因为a在b方向上的投影向量为b2,|b所以b2=|a|cosθ·b|b|,得|a从而a·b=|a|·|b|cosθ=1×2=2.(a-b)·b=a·b-b2=2-4=-2.10.(10分)(2024·东莞高一检测)已知|a|=2,|b|=3,(a+b)·b=8.(1)求|a+b|;(2)当k为何值时,ka-b与a+2b垂直;(3)求向量a与a+b的夹角的余弦值.【解析】(1)依题意,(a+b)·b=a·b+b2=a·b+9=8,a·b=-1,所以|a+b|=(a+b)2=a(2)若ka-b与a+2b垂直,则(ka-b)·(a+2b)=ka2+(2k-1)·a·b-2b2=4k-(2k-1)-18=2k-17=0,解得k=172(3)a·(a+b)=a2+a·b=4-1=3,设向量a与a+b的夹角为θ,则cosθ=a·(a+b)【补偿训练】a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3.(1)求|5a-b|;(2)若a+λb与λa-b互相垂直,求λ.【解析】(1)因为a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以|5a-b|2=25|a|2-10a·b+|b|2=25×12-10×1×3×cos120°+32=25-30×-12+9=49,故|5a-b|=7.(2)若a+λb与λa-b互相垂直,则(a+λb)·(λa-b)=0,即λ|a|2+(λ2-1)a·b-λ|b|2=0.所以λ+(λ2-1)|a||b|cos120°-9λ=0,整理得λ-32(λ2-1)-9λ即3λ2+16λ-3=0,解得λ=-8±73【综合应用练】11.(5分)在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,E是CD上一点,且·=1,则·的值为()A.3 B.2 C.32 D.【解析】选B.设与的夹角为θ,则与的夹角为π2-θ,又∥,故有与夹角为π2-θ,如图:因为·=||·||·cosθ=3||·cosθ=1,所以||·cosθ=33,所以·=||cosπ2-θ=||sinθ=1,所以·=·(+)=·+·=1+1=2.12.(5分)(多选)已知a,b为平面上的单位向量,且|a+b|=2|a-b|,则()A.向量a与b的夹角的余弦值为3B.|a-b|=2C.(a+2b)⊥(2a-b)D.向量a-b在向量a上的投影向量为25【解析】选ABD.由题意知|a|=|b|=1,且|a+b|=2|a-b|,故|a+b|2=4|a-b|2,即2+2a·b=8-8a·b,所以a·b=35,设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a|a-b|2=2-2a·b=2-2×35=4故|a-b|=255,B(a+2b)·(2a-b)=2a2+3a·b-2b2=3a·b=95≠0,故a+2b,2a-b不垂直,C错误向量a-b在向量a上的投影向量为(a-b)·a|a|·a|a|=(a2-13.(5分)(2024·重庆高一检测)已知向量a,b,|a|=2,|b|=5,a与b的夹角为2π3,则|a+xb|的值最小时,实数x的值为答案:1【解析】|a+xb|=a=4+25=25x由于25x2-10x+4=25x-152+3,故当x=15时,此时|a+xb|=25x2【补偿训练】已知非零向量a,b满足|a|=2,且a与b的夹角为2π3,则|a+2b|的最小值为(A.2 B.3 C.2 D.1【解析】选B.因为|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=4|b|2-4|b|+4=(2|b|-1)2+3≥3,所以|a+2b|≥3,当且仅当|b|=12时,等号成立14.(10分)(2024·沧州高一检测)如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且=14.(1)用向量,表示;(2)若·=8·,求ACAB的值.【解析】(1)=+=+14=+14(+)=34+14.(2)·=-34+14·14-=-116(3--2·).因为·=8·,所以·=-32+12+·,则-32+12=0,即=3,所以ACAB=3.15.(10分)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°.若c=λa+b与d=a+2b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.【解析】由题意知,a·b=|a||b|cos60°=1×2×12=1,因为c与d的夹角为锐角,所以c·d>0且c,d不共线,假设c,d共线,则存在实数k使得λa+b=ka+2kb,由题知,a,b不共线,所以λ=k1=2k,所以λ=若c,d不共线,则λ≠12c·d>0,即(λa+b)·(a+2b)>0,所以λ|a|2+(2λ+1)a·b+2|b|2>0,即λ+(2λ+1)+8>0,得λ>-3.综上,λ>-3且λ≠12所以λ的取值范围为(-3,12)∪(1七平面向量基本定理(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·周口高一检测)设{e1,e2}是平面内一个基底,则下面四组向量中,能作为基底的是()A.e1-e2与e2-e1B.2e1+3e2与-4e1-6e2C.e1+2e2与2e1-e2D.-12e1+18e2与e1-1【解析】选C.对于A,设e1-e2=λ(e2-e1),可得λ=-1,所以向量e1-e2与e2-e1共线,所以A不符合题意;对于B,设2e1+3e2=μ(-4e1-6e2),可得μ=-12,所以向量2e1+3e2与-4e1-6e2共线,所以B不符合题意对于C,设e1+2e2=x(2e1-e2),可得1=2x2=-x所以向量e1+2e2与2e1-e2不共线,可以作为一个平面基底,所以C符合题意;对于D,设-12e1+18e2=y(e1-14e2),可得y=-12,所以向量-12e1+18e2与e1-14e2.(5分)(2024·深圳高一检测)在梯形ABCD中,设=a,=b,若=-2,则=()A.12a+b B.-12aC.a+12b D.a-1【解析】选A.=+=b+12=b+12a.3.(5分)(2024·泰州高一检测)如图,向量a-b等于()A.-2e1-4e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.-e1+3e2【解析】选D.如图所示,a-b=-b-(-a)==-e1+3e2.4.(5分)(2024·郑州高一检测)在平行四边形ABCD中,点E满足=4,=λ+μ(λ,μ∈R),则λμ=()A.-316 B.-38 C.316 【解析】选A.因为=4,则-=4(-),整理得=14+34=14-34,可得λ=14,μ=-3所以λμ=14×-34=-3165.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别在BC,CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则△AMN的形状是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形【解析】选C.因为·=(+)·(+)=+34·13-14=13||2-316||2=13×9-316所以AN⊥MN,所以△AMN是直角三角形.6.(5分)(多选)如果{e1,e2}是平面α内所有向量的一个基底,那么下列说法正确的是()A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.对平面α内任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈RC.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内D.对于平面α内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对【解析】选AB.平面内的任一向量都可以用基底表示;C错误,在平面α内任一向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D错误,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是无数对.7.(5分)(2024·潍坊高一检测)已知{a,b}是平面向量的一个基底,实数x,y满足3a+4b=(x-1)a+(2-y)b,则x+y=____________.

答案:2【解析】因为{a,b}是平面向量的一个基底,且3a+4b=(x-1)a+(2-y)b,所以x-1=32-y=4所以x+y=4+(-2)=2.8.(5分)(2024·运城高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,G为AC与DE的交点,若=a,=b,则用a,b表示=______________.

【分析】在平行四边形ABCD中,易证△AGD∽△CGE,又E是BC的中点,可得=23,进而可得=-=23-=23(+)-,化简即可.答案:23b-1【解析】在平行四边形ABCD中,易证△AGD∽△CGE,又E是BC的中点,所以CEAD=12=CGAG,所以=2所以=-=23-=23(+)-=23-13=23b-139.(5分)(2024·天津高一检测)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,且AC=BC=3,点M满足=2,则·=__________.

答案:3【解析】因为∠ACB=90°,所以·=0,因为=2,所以=+=+13=+13(-)=13+23,则·=13+23·=13=3.10.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;(2)以{a,b}为基底表示向量c=3e1-e2.【解析】(1)假设a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得λ=1,3所以λ不存在.故a与b不共线,可以作为一个基底.(2)设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以m+n所以c=2a+b.【补偿训练】如图所示,在△ABC中,M是AB的中点,且=13,BN与CM相交于点E,设=a,=b,试用基底{a,b}表示向量.【解析】方法一:易得=13=13b,=12=12a,由N,E,B三点共线可知,存在实数m使=m+(1-m)=13mb+(1-m)a.由C,E,M三点共线可知,存在实数n使=n+(1-n)=12na+(1-n)b.所以13mb+(1-m)a=12na+(1-n)b,由于{a,b}为基底,解得m=35,n=45,方法二:因为C,E,M三点共线,所以存在实数k使=k+(1-k).又=3,=12,所以=3k+1-k2.因为N,E,B三点共线,所以3k+1-k所以k=15则=15+25,即=25a+15b.【综合应用练】11.(5分)(2023·宿州高一检测)已知{x,y}可以作为平面向量的一组基底,集合A={a|a=λy,λ∈R},B={b|b=λx+2μy,λ,μ∈R},则关于集合A,B说法正确的是()A.B⊆A B.A⊆B C.0∉A D.A=B【解析】选B.根据向量的共线充要条件可知,集合A={与y共线的所有向量},根据平面向量基本定理可知:集合B={平面内所有向量},故集合A是集合B的子集.12.(5分)(多选)在△ABC中,D为BC的中点,且=2,则()A.=23+16B.=13+13C.∥(+)D.⊥(-)【解析】选BC.因为=2,则A,E,D三点共线,且||=2||,又因为AD为中线,所以点E为△ABC的重心,连接