高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价单元形成性评价·模块终结性评价单元形成性评价(四)(第九章)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价单元形成性评价·模块终结性评价单元形成性评价(四)(第九章)含答案单元形成性评价(四)(第九章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.为了解某中学高一年级600名学生的身高情况,抽查了其中100名学生的身高进行统计分析.下列叙述错误的是()A.以上调查属于全面调查B.每名学生的身高是总体的一个个体C.100名学生的身高是总体的一个样本D.600名学生的身高是总体【解析】选A.以上调查属于抽样调查,A选项说法错误,符合题意.2.①一次数学考试中,某班有12人的成绩在100分以上,30人的成绩在90~100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②运动会的工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为()A.分层随机抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样,简单随机抽样C.简单随机抽样,分层随机抽样D.分层随机抽样,分层随机抽样【解析】选A.①中,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层随机抽样比较恰当;②中,总体包含的个体较少,用简单随机抽样比较恰当.3.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽样时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编号,如果从随机数表第8行第7列开始向右读,则抽取检测的第5袋牛奶的编号是()(下面摘取了随机数表第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A.199 B.175 C.507 D.012【解析】选B.找到第8行第7列的数开始向右读,前五个符合条件的是785,667,199,507,175,故抽取检测的第5袋牛奶的编号是175.4.某校高二年级有50人参加2023届“希望杯”数学竞赛,将他们竞赛的成绩制成了如下的频率分布表,根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为()分组[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率0.20.40.30.1A.70 B.73 C.78 D.81.5【解析】选C.估计该校学生数学竞赛成绩的平均分x=65×0.2+75×0.4+85×0.3+95×0.1=78.5.某校的体能测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级,已知甲、乙两个班的体能测试结果数据分别用条形图和扇形图描述,如图所示,若乙班的学生人数为50,则下列结论不正确的是()A.甲、乙两个班共有学生100人B.乙班体能测试等级不合格的有5人C.甲班体能测试等级为良好以上(包含良好)的人数与乙班一样D.甲班体能测试等级为合格的人数比乙班多【解析】选D.对于A,由题中甲班体能测试等级条形图可知甲班人数为8+22+14+6=50,故甲、乙两个班共有学生100人,故A选项说法正确,不符合题意;对于B,由题中乙班体能测试等级扇形图可知,乙班体能测试等级不合格的人数为50×10%=5,故B选项说法正确,不符合题意;对于C,甲班体能测试等级为良好以上(包含良好)的人数为8+22=30,乙班体能测试等级为良好以上(包含良好)的人数为48%×50+12%×50=30,即甲班体能测试等级为良好以上(包含良好)的人数与乙班一样,故C选项说法正确,不符合题意;对于D,甲班体能测试等级为合格的人数为14,乙班等级为合格的人数为(1-48%-12%-10%)×50=15,故D选项说法不正确,符合题意.6.若样本x1+2,x2+2,…,xn+2的平均数为10,方差为2,则样本2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均数和方差分别是()A.19,12 B.23,12C.23,18 D.19,8【解析】选D.设样本x1,x2,…,xn的平均数为x,由已知可得∑i=1n解得x=8,所以样本2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均数为∑i=1n因为∑i所以方差为∑i=1n(7.(2024·昆明高一检测)云南人“打跳”的视频频频冲上各大平台热搜.唱最朴素的歌,跳最热情的舞,云南人的快乐就是这么简单.某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度,对20~60岁的人群进行随机抽样调查,其中喜欢“打跳”视频的有100人,把这100人按照年龄分成4组,然后绘制成如图所示的频率分布直方图,现从第二组和第四组的人中分层随机抽取10人做进一步的问卷调查,则应从第二组抽取的人数为()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选B.由题图可知,第二组的频率为0.2,频数为20,第四组的频率为0.3,频数为30,按分层随机抽样抽取10人,则应从第二组抽取的人数为10×2050=48.某班统计一次数学测验的平均分与方差,计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登记分,只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x,s2,新平均分和新方差分别为x1,s12,若此同学的得分恰好为xA.x=x1,s2=s12 B.x=x1,C.x=x1,s2>s12 D.x<x1,【解析】选C.设这个班有n个同学,得分分别为a1,a2,…,ai,…,an,第i个同学的得分没登记(ai=x),第一次计算时总分为(n-1)x,方差为s2=1n-1·[(a1-x)2+…+(ai-1-x)2+(ai+1-x)2+…+(an-x)第二次计算时,平均数x1=(n-方差s12=1n[(a1-x)2+…+(ai-1-x)2+(ai+1-x)2+…+(an-x)2+(x-x)2]=n-1ns2二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分)9.某地一年之内12个月的降水量分别为56,46,53,48,51,53,71,58,56,56,64,66,则关于该地区的月降水量,以下说法正确的是()A.20%分位数为51B.75%分位数为61C.中位数为56D.平均数为57【解析】选ABC.将数据从小到大排列为46,48,51,53,53,56,56,56,58,64,66,71,共12个数据,因为12×20%=2.4,所以20%分位数为第三个数据,即为51,故A正确;因为12×75%=9,所以75%分位数为58+642该组数据的中位数为56+562该组数据的平均数为46+48+51+53+53+56+56+56+58+64+66+7112=56.5,故D错误10.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中,甲队平均每场的进球数是3.2,全年进球数的标准差为3;乙队平均每场的进球数是1.8,全年进球数的标准差为0.3.下列说法中正确的是()A.乙队的技术比甲队好B.乙队比甲队发挥稳定C.乙队几乎每场都进球D.甲队的表现时好时坏【解析】选BCD.因为甲队平均每场进球数为3.2,乙队平均每场进球数为1.8,甲队平均数大于乙队平均数较多,所以甲队技术比乙队好,所以A不正确;因为甲队全年进球数的标准差为3,乙队全年进球数的标准差为0.3,乙队的标准差小于甲队,所以乙队比甲队发挥稳定,所以B正确;因为乙队的标准差为0.3,说明每次进球数接近平均值,乙队几乎每场都进球,甲队标准差为3,说明甲队表现时好时坏,所以C,D正确.11.某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况,向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷,共回收有效问卷4000份,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是()A.a=0.028B.在4000份有效问卷中,短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C.估计短视频观众的平均年龄为32岁D.估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁【解析】选CD.对于A,因为(0.015+0.033+a+0.011+0.011)×10=1,所以a=0.030,故A错误;对于B,由题中频率分布直方图,短视频观众年龄在10~20岁的对应频率为0.15,所以短视频观众年龄在10~20岁的有4000×0.15=600(人),故B错误;对于C,平均年龄为x=(0.015×15+0.033×25+0.03×35+0.011×45+0.011×55)×10=32(岁),故C正确;对于D,设75%分位数为x,则0.015×10+0.033×10+(x-30)×0.03=0.75,解得x=39,故D正确.三、填空题(每小题5分,共15分)12.高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛,高一年级有450人,高二年级有350人,通过按比例分配的分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本,得到高一和高二两个年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分,则高一、高二抽取的样本量分别为________;此次数学竞赛的平均分约为________分.

【解析】由题意可得高一年级抽取的样本量为450450+350×160=90,高二年级抽取的样本量为350450+350×160=70,此次数学竞赛的平均分约为x=9090+70×80+7090+70答案:90,7084.37513.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注,某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名,对他们的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如图所示.从左至右五个小组的频率之比是5∶7∶12∶10∶6,则这400名学生视力的众数约为________,中位数约为________.

【解析】由题图可知,众数的估计值为4.7.第五小组的频率为0.5×0.3=0.15,由从左至右五个小组的频率之比是5∶7∶12∶10∶6,可得第一小组的频率为0.15×56=0.第二小组的频率为0.15×76=0.175第三小组的频率为0.15×126=0.所以中位数在第三小组,第三小组的矩形面积为0.3,则第三小组的高为0.3设中位数的估计值为x,则0.125+0.175+(x-4.55)×1=0.5,解得x=4.75.答案:4.74.7514.某校采用按比例分配的分层随机抽样的方法采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况,部分调查数据如表:项目样本量样本平均数样本方差高一100167120高二100170150高三100173150则总样本方差s2=________.

【解析】由题意知,总样本平均数为x=100300×167+100300×170+所以总样本方差为s2=100300×[120+(167-170)2]+100300×[150+(170-170)2]+100300×[150+(173-170)答案:146四、解答题(共77分)15.(13分)如图所示是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15,18)内的频数为8.(1)求样本在[15,18)内的频率;(2)求样本容量;(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33]内的频数.【解析】(1)由题中样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于475×3=4(2)因为样本在[15,18)内的频数为8,由(1)可知,样本容量为8÷425=50(3)因为在[12,15)内的小矩形面积为0.06,故样本在[12,15)内的频率为0.06,故样本在[15,33]内的频数为50×(1-0.06)=47,又在[15,18)内的频数为8,故在[18,33]内的频数为47-8=39.16.(15分)在一次高二年级统一考试中,数学试卷有一道满分为10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名学生的选做题的成绩随机编号为001,002,…,900.(1)若采用随机数法抽样,并按照以下随机数表,以第一行第十三列的数字5为起点,从左向右依次读数,每次读取三位随机数,一行数读完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数.6171629915065129169358057709515126878585548766475473320811124495926316295624294826996165535837788070(2)若采用按比例分配的分层随机抽样,按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层,且样本中选择A题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4;样本中选择B题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1.试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差.【解析】(1)根据题意,读取的编号依次是512,916(超界),935(超界),805,770,951(超界),512(重复),687,858,554,876,647,547,332.将有效的编号由小到大排序,得332,512,547,554,647,687,770,805,858,876,故样本编号的中位数为647+6872=667(2)设样本中选择A题目的成绩的平均数为x,方差为s2;样本中选择B题目的成绩的平均数为y,方差为t2,则x=7,s2=4,y=8,t2=1,所以样本的平均数为88+2x+28+2y=45方差为88+2×[s2+(x-7.2)2]+28+2×[t2+(y-7.2)2]=45×[4+(7-7.2)2]+15×[1+(8-7.2)2故估计该校900名学生的选做题得分的平均数为7.2,方差为3.56.17.(15分)已知A,B两家公司的员工月均工资(单位:万元)情况分别如图1,图2所示.(1)以每组数据的区间中点值为代表,根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数,你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平?请说明理由;(2)小明拟到A,B两家公司中的一家应聘,以公司普通员工的工资水平作为决策依据,他应该选哪个公司?【解析】(1)A公司员工月均工资的平均数为0.3×0.21+0.5×0.29+0.7×0.27+0.9×0.21+29×0.02=1.166(万元).由题图1可知A公司员工月均工资在0.6万元以下的比例为0.21+0.29=0.5,所以A公司员工月均工资的中位数约为0.6万元.用中位数更能反映该公司普通员工的工资水平,理由如下:因为平均数受每一个数据的影响,越离群的数据对平均数的影响越大,该公司少数员工的月收入很高,在这种情况下平均数并不能较好地反映普通员工的工资水平,而中位数不受少数极端数据的影响,可以较好地反映普通员工的工资水平.(2)B公司员工月均工资的平均数为(0.3×0.375+0.5×0.75+0.7×2.75+0.9×1+1.1×0.125)×0.2=0.69(万元),由题图2可知,B公司员工月均工资在0.6万元以下的频率为(0.375+0.75)×0.2=0.225,在0.8万元以下的频率为(0.375+0.75+2.75)×0.2=0.775.设B公司员工月均工资的中位数为x万元,则(x-0.6)×2.75=0.5-0.225,解得x=0.7.小明应选择B公司应聘,理由如下:B公司员工工资数据较为集中,月均工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均工资水平,B公司员工月均工资平均数为0.69,中位数为0.7,大于A公司员工月均工资的中位数0.6,所以以公司普通员工的工资水平作为决策依据,小明应该选B公司应聘.18.(17分)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)已知在这些数据中,质量指标值落在区间[75,105)内的产品的质量指标值的平均数为94,方差为40,所有这100件产品的质量指标值的平均数为100,方差为202,求质量指标值在区间[105,125]内的产品的质量指标值的方差.【解析】(1)由题意可知,分组[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125]对应的频率分别为0.06,0.26,0.38,0.22,0.08.则频率分布直方图如图所示:(2)质量指标值的样本平均数为x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(80-100)2×0.06+(90-100)2×0.26+(100-100)2×0.38+(110-100)2×0.22+(120-100)2×0.08=104.(3)由题意知,质量指标值落在区间[75,105)内的产品有70件,设质量指标值为x1,x2,…,x70,平均数为x=94,方差为sx则质量指标值落在区间[105,125]内的产品有30件,设质量指标值分别为y1,y2,…,y30,平均数为y,方差为sy则这100件产品的质量指标值的平均数为z=100,方差为sz2=202,则100z=70x+30所以y=114,又因为sx2=170则∑i又因为sz2=1100(∑i=1则∑j所以sy2=130∑19.(17分)中国独有的文书工具,即笔、墨、纸、砚,有文房四宝之名,起源于南北朝时期.其中宣纸“始于唐代,产于泾县”,因唐代泾县隶属宣州管理,故因地得名宣纸,宣纸按质量等级分为:正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等.某公司生产的宣纸为纯手工制作,年产宣纸10000刀(1刀=100张),该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示:x的范围(44,48]∪(52,56](48,52][0,44]∪(56,60]质量等级副牌正牌废品在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每张正牌宣纸的利润为15元,副牌宣纸的利润为8元,废品的利润为-20元.(1)试估计该公司的年利润;(2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺,但这种机器的使用寿命只有一年,且只能提高宣纸的质量,不能增加宣纸的年产量.据调查,这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示:x的范围(x-2,x+2)(x-6,x+6)频率0.68270.9545其中x为质量指标x的平均值,但是由于人们对传统手工工艺的认可,改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张,该公司是否应该购买这种机器?请你为该公司提出合理建议,并说明理由.(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)【解析】(1)由题中频率分布直方图得,一刀宣纸有正牌100×0.1×4=40(张),有副牌100×0.05×4×2=40(张),有废品100×0.025×4×2=20(张),所以该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15+40×8+(-20)×20=520(元),所以估计该公司的年利润为520万元.(2)由题中频率分布直方图得,x=42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58×0.025×4=50.由题中表格数据可得一刀宣纸中正牌的张数估计为100×0.6827=68.27,废品的张数估计为100×(1-0.9545)=4.55,副牌的张数估计为100×(0.9545-0.6827)=27.18,所以一刀宣纸的利润为68.27×12+27.18×5-4.55×20=864.14(元),10000刀宣纸的利润为10000×864.14=8641400(元)=864.14(万元),所以购买这种机器后该公司的利润为864.14-100=764.14(万元),因为764.14>520,所以建议该公司购买这种机器.单元形成性评价(五)(第十章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3,则不用现金支付的概率为()A.0.4 B.0.3 C.0.7 D.0.6【解析】选B.由题得不用现金支付的概率P=1-0.4-0.3=0.3.2.(2024·黄浦高二期末)掷一颗质地均匀的骰子,观察朝上的点数,若A表示事件“点数大于3”,B表示事件“点数为偶数”,则事件“点数为5”可以表示为()A.A∩B B.A∩B C.A∪B D.A∪B【解析】选B.A∩B表示“点数为2”,A∩B表示“点数为5”,A∪B表示“点数为3或2或1或4或6”,A∪B表示“点数为1或3或4或5或6”.3.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是()A.掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜D.甲、乙两人各写一个数字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜【解析】选B.对于A,C,D,甲胜、乙胜的概率都是12,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平4.(2024·上饶高一期末)若连续抛两次骰子得到的点数分别是m,n,则点P(m,n)在直线x+y=8上的概率是()A.112 B.19 C.536 【解析】选C.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m,n,则点P(m,n)有6×6=36(种)可能,其中满足m+n=8,m,n∈{1,2,3,4,5,6}的数对有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5种可能,所以点P(m,n)在直线x+y=8上的概率是5365.(2024·北京高二期中)据天气预报,春节期间甲地的降雪概率是0.4,乙地的降雪概率是0.3.这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响,那么春节期间两地都不降雪的概率是()A.0.7 B.0.42 C.0.12 D.0.46【解析】选B.设“甲地降雪”为事件A,“乙地降雪”为事件B,“甲、乙两地都不降雪”即事件A与B同时发生,即A∩B,P(A)=1-0.4=0.6,P(B)=1-0.3=0.7,利用独立事件的性质可知,事件A与B相互独立,所以P(A∩B)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42,所以甲、乙两地都不降雪的概率为0.42.6.在普通高中新课程改革中,某地实施“3+1+2”选课方案,该方案中的“2”指的是政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门,假设每门学科被选中的可能性相等,那么政治和地理至少有一门被选中的概率是()A.16 B.12 C.23 【解析】选D.在政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门共有6种情况,分别为政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物.其中政治和地理至少有一门的情况包含5种,分别为政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物,故政治和地理至少选一门的概率为P=567.从甲袋中摸出1个白球的概率为13,从乙袋内摸出1个白球的概率是12,从两个袋内各摸1个球,那么概率为56A.2个球都是白球 B.2个球都不是白球C.2个球不都是白球 D.2个球恰好有1个白球【解析】选C.设2个球都是白球为事件A,2个球都不是白球为事件B,2个球不都是白球为事件C,2个球恰好有1个白球为事件D.因为从甲袋中摸球与从乙袋中摸球是相互独立事件,所以P(A)=13×12=16,P(B)=23×因为事件C与事件A是对立事件,所以P(C)=1-16=5因为事件D可划分为从甲袋中摸出白球或乙袋中摸出白球这两个互斥事件,所以P(D)=13×12+23×18.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是“戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数”.其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从五个“阳数”中随机抽取三个数,则能使这三个数之和等于15的概率是()A.310 B.15 C.23 【解析】选B.从五个“阳数”1,3,5,7,9中随机抽取三个数共有10种取法,符合题意的有2种{1,5,9}和{3,5,7},故所求概率为210=1二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分)9.(2024·泸州高二期末)下列说法正确的是()A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动,抽签决定谁去,则先抽的概率大些B.若事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1C.如果事件A与事件B互斥,那么一定有P(A)+P(B)=1D.已知事件A发生的概率为P(A)=0.3,则它的对立事件A发生的概率P(A)=0.7【解析】选BD.对于A,甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去,则每位同学被抽到的概率都是13对于B,由概率的性质可知,0≤P(A)≤1,故B正确;对于C,如果事件A与事件B对立,那么一定有P(A)+P(B)=1,但互斥事件不一定对立,故C错误;对于D,因为事件A发生的概率为P(A)=0.3,所以它的对立事件A发生的概率P(A)=1-0.3=0.7,故D正确.10.(2024·攀枝花高二期末)某人打靶时连续射击两次,记事件A为“第一次中靶”,事件B为“至少一次中靶”,事件C为“至多一次中靶”,事件D为“两次都没中靶”.下列说法正确的是()A.A∩B=AB.B与C是互斥事件C.C∪D=ΩD.B与D是互斥事件,且是对立事件【解析】选AD.由题意可知,事件Ω为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”“两次都没有中靶”;事件B为“至少一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”;事件C为“至多一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都没有中靶”;事件D为“两次都没有中靶”;故A∩B=A,B与C不是互斥事件,B与D是互斥事件,且是对立事件,C∪D≠Ω.11.已知事件A,B相互独立,且P(A)=13,P(B)=12,则(A.P(A)=2B.P(AB)=1C.P(A+B)=2D.P(AB+AB)=5【解析】选AC.根据事件A,B相互独立,且P(A)=13,P(B)=1可得P(A)=1-P(A)=1-13=2而P(B)=1-P(B)=1-12=12,所以P(AB)=P(A)P(B)=13×1由独立事件的概率可知P(AB)=P(A)P(B)=13×12=所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=13+12-16由概率加法公式可得P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=13×12+23×12三、填空题(每小题5分,共15分)12.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则任意相邻两个矩形颜色不同的概率是________.

【解析】由于只有两种颜色,不妨将其设为1和2.样本点有111,112,121,211,221,212,122,222,共8种,其中任意相邻两个矩形颜色不同的结果有121,212,共2种,故所求概率P=28=1答案:113.在某次考试中,第22题和23题为选做题,规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为12,则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为________;甲、乙2名学生都选做第22题的概率为________【解析】设事件A表示“甲选做第22题”,事件B表示“乙选做第22题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB∪AB”,且事件A,B相互独立.因为P(AB∪AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=12×12+1-12×1-12=12所以甲、乙2名学生选做同一道题的概率为12因为P(A)P(B)=12×12=14答案:1214.“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率为P1=0.9;同时,有n个水平相同的人也在研究项目M,他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M,且这n个人组成的团队也同时研究项目M,且这n个人研究项目M的结果相互独立.设这n个人组成的团队解决项目M的概率为P2,若P2≥P1,则n的最小值是________.

【解析】这n个人组成团队不能解决项目M的概率为1-12n=12n,则P2=1-12n.由1-12n≥0.9,得12n≤110.又n∈N*,解得n≥4.答案:4四、解答题(共77分)15.(13分)甲、乙两名射击运动员进行射击训练,已知甲命中10环,9环,8环的概率分别是13,13,13,乙命中10环,9环,8环的概率分别是18,1(1)求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率;(2)现甲、乙两人进行射击比赛,每一轮比赛两人各射击1次,环数高于对方为胜,环数低于对方为负,环数相等为平局,规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者,比赛结束,求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率.【解析】(1)记X表示甲运动员两次射击命中环数之和,则X=18包含“第一次命中10环且第二次命中8环”“第一次命中8环且第二次命中10环”“第一次命中9环且第二次命中9环”这三种情况,所以甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率P=2×13×13+13×1(2)记Ai表示甲在第i轮胜利,Bi表示甲在第i轮平局,Ci表示甲在第i轮失败(i=1,2,3),则P(Ai)=13×58+14+13×58=12,P(Bi)=13,P(①若甲获得最终胜利结束3轮比赛,则第2轮、第3轮甲连续胜利,第1轮甲没有获得胜利,其概率P1=1-12×12×12=1②若乙获得最终胜利结束3轮比赛,则第2轮、第3轮乙连续胜利,第1轮乙没有获得胜利,其概率P2=1-16×16×16=5所以经过3轮比赛结束的概率P=P1+P2=18+5216=16.(15分)端午节,又称端阳节、龙舟节、天中节等,源于自然天象崇拜,由上古时代祭龙演变而来.端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日.某社区为丰富居民业余生活,举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛,比赛共分为两轮.在第一轮比赛中,每位选手均需参加两关比赛,若其在两关比赛中均达标,则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中,选手A,B第一关达标的概率分别是45,23;第二关达标的概率分别是34,35.A(1)分别求出A,B进入第二轮比赛的概率;(2)若A,B两人均参加第一轮比赛,求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率.【解析】(1)设事件A1=“A在第一轮第一关比赛中达标”,事件A2=“A在第一轮第二关比赛中达标”,事件B1=“B在第一轮第一关比赛中达标”,事件B2=“B在第一轮第二关比赛中达标”.则A进入第二轮比赛的概率P(A1A2)=P(A1)P(A2)=45×34=B进入第二轮比赛的概率P(B1B2)=P(B1)P(B2)=23×35=(2)由(1)可知A没有进入第二轮比赛的概率为1-P(A1A2)=1-35=2B没有进入第二轮比赛的概率为1-P(B1B2)=1-25=3则A,B两人都没有进入第二轮比赛的概率为25×35=故A,B两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率P=1-625=1917.(15分)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如表所示.项目35岁以下35~50岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层随机抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人的学历为研