高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第九章　9.1　9.1.2　分层随机抽样含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第九章9.19.1.2分层随机抽样含答案9.1.2分层随机抽样【学习目标】1.理解分层随机抽样的概念.2.掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本的方法.3.掌握两种抽样的区别与联系【素养达成】数学抽象数学抽象数学抽象、数据分析一、分层随机抽样1.分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.2.比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.【版本交融】(人BP61)分层随机抽样为什么比简单随机抽样更具有代表性,可以更好地反映总体的特征?提示:因为层内个体相对同质而层间差异较大.【版本交融】(苏教P232)若按比例计算所得的个体数不是整数怎么处理?提示:可作适当的近似处理,比如,将结果取成整数等.二、用分层随机抽样的平均数估计总体的平均数项目1层2层层个体数MN层样本量mn层个体变量值X1,X2,…,XMY1,Y2,…,YN层样本的个体变量值x1,x2,…,xmy1,y2,…,yn层总体平均数X=X=1M∑Y=Y=1N∑层样本平均数x=x=1m∑y=y=1n∑总体平均数W=∑样本平均数w=∑【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在比例分配的分层随机抽样中,每层被抽到的个体数是一样的.(×)提示:在比例分配的分层随机抽样中,每层被抽到的个体数由每层个体数占总体容量的比例确定,所以每层抽到的个体数不一定一样.(2)比例分配的分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性不一样.(×)提示:比例分配的分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性是一样的.类型一分层随机抽样的概念(数学抽象)【典例1】(1)某政府机关在编人员共100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从中抽取20人,用下列哪种方法最合适()A.抽签法 B.随机数法C.简单随机抽样 D.分层随机抽样【解析】选D.总体由差异明显的三部分构成,应选用分层随机抽样.(2)(2024·洛阳高一检测)分层随机抽样适合的总体是()A.总体容量较多 B.样本量较多C.总体中个体有差异 D.任何总体【解析】选C.当总体中个体有差异,采用分层随机抽样.【备选例题】1.现要完成下列2项抽样调查:①从10盒饼干中抽取4盒进行食品卫生检查;②某中学共有360名教职工,其中教师280名,行政人员55名,后勤人员25名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为72的样本.较为合理的抽样方法是()A.①采用简单随机抽样,②采用分层随机抽样B.①采用简单随机抽样,②采用简单随机抽样C.①采用分层随机抽样,②采用分层随机抽样D.①采用分层随机抽样,②采用简单随机抽样【解析】选A.①中总体的个数较少,宜用简单随机抽样;②中总体由差异明显的几部分组成,宜用分层随机抽样.2.某中学有老年教师20人,中年教师65人,青年教师95人,为了调查他们的健康状况,需从他们中抽取一个样本容量为36的样本,则合适的抽样方法是()A.抽签法 B.随机数法C.分层随机抽样 D.其他抽样方法【解析】选C.由于老年教师、中年教师和青年教师的健康状况会有明显的差异,所以要用分层随机抽样.【总结升华】分层随机抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;(2)更充分地反映了总体的情况;(3)等概率抽样,每个个体被抽到的概率都相等.【即学即练】下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是()A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.某高速公路有300个太阳能标志灯,其中进口的有30个,联合研制的有75个,国产的有195个,为了掌握每个标志灯的使用情况,要从中抽取一个容量为20的样本C.从1000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量【解析】选B.A中总体的个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽样;C和D中总体的个体无明显差异,不适合用分层随机抽样;B中总体的个体差异明显,适合用分层随机抽样.【补偿训练】某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品的销售情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②,完成这两项调查宜分别采用什么方法?【解析】调查①:总体中个体差异明显,适合用分层随机抽样;调查②:总体中个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽样.类型二分层随机抽样的应用(数学运算)【典例2】(1)(2024·广州高一检测)某田径队有男运动员56人,女运动员42人,若采用分层随机抽样的方法在这支田径队中抽取28人进行体质测试,则抽取男运动员的人数为()A.16 B.14 C.12 D.10【解析】选A.男运动员56人,女运动员42人,则男运动员占总体的比例为5656+42=47,则抽取男运动员的人数为28×4(2)某学校有在职人员160人,其中行政人员有16人,教师有112人,后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,应怎样进行抽样,并写出具体过程.【解析】用分层随机抽样来抽取样本,步骤如下:第一步,分层,按工作性质将学校在职人员分为三层:行政人员、教师、后勤人员.第二步,确定抽样比,样本量与总体的个体数的比为20160=1第三步,确定分别从每层中抽取的人数,从行政人员中抽取16×18从教师中抽取112×18从后勤人员中抽取32×18=4(人)第四步,采用简单随机抽样的方法,抽取行政人员2人,教师14人,后勤人员4人.第五步,把抽取的个体组合在一起构成所需样本.【总结升华】分层随机抽样的相关计算常用到的两个关系(1)样本量n总体的个数N(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.【即学即练】(2024·南昌高二检测)某市电视台准备在该电视台举办的《我爱背唐诗》前三届参加总决赛的120名选手(假设每位选手只参加其中一届总决赛)中随机抽取24名参加一个唐诗交流会,若按前三届参加总决赛的人数比例分层随机抽样,则第一届抽取6人;若按性别比例分层随机抽样,则女选手抽取15人.则下列结论错误的是()A.样本量是24B.第二届与第三届参加总决赛的选手共有90人C.120名选手中男选手有50人D.第一届参加总决赛的女选手最多有30人【解析】选C.对于A,由样本量定义,可知样本量为24,A正确;对于B,第一届参加总决赛的选手有624×120=30(人),则第二届与第三届参加总决赛的选手共有120-30=90(人),B正确;对于C,参加总决赛的女选手共有1524类型三用样本平均数估计总体平均数(数据分析)【典例3】(1)某校高一年级有女生504人,男生596人.学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重,从高一女生和男生中分别随机抽取50人和60人,经计算这50名女生的平均体重为49kg,60名男生的平均体重为57kg.依据以上条件,估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为()A.49+57B.501100×49+60C.50110×49+60D.5041100×49+596【解析】选D.由题意得高一年级学生的总人数为504+596=1100.从高一年级的女生和男生中分别随机抽取50人和60人,没有按照性别比例分配的方式进行抽样,不能直接用样本平均数估计总体平均数,需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重,即5041100×49+(2)(2024·广州高一检测)已知样本x1,x2,…,xn的平均数为x,样本y1,y2,…,ym的平均数为y(y≠x).若样本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均数z=ax+(1-a)y,其中12<a<1,则n,m(n,m∈N*)的大小关系为(A.n=m B.n≤mC.n>m D.n<m【解析】选C.因为样本x1,x2,…,xn的平均数为x,样本y1,y2,…,ym的平均数为y(y≠x),所以这m+n个数的平均数为:nx+mym+n=nm+nx+mm因为12<a<1,所以12<因为n,m∈N*,所以m+n<2n,所以n>m.【总结升华】样本的平均数和各层的样本平均数的关系ω=mm+nx+nm【即学即练】高二年级有男生490人,女生510人,按男生、女生进行分层随机抽样,得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.则下列论述错误的是()A.若各层按比例分配抽取样本量为100的样本,可以用49100×170.2+51100×160.8≈165B.若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70,可以用30100×170.2+70100×160.8≈163C.若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70,则总体的均值为30100×170.2+70100×160.8≈163D.如果仅根据男生、女生的样本均值,无法计算出总体的均值【解析】选C.由分层随机抽样的概念可得样本平均值为49100×170.2+51100×160.8≈165.4(cm),由此可以估计总体平均值约为165由平均数的计算公式可得,样本平均值为30100×170.2+70100×160.8≈163.6(cm),由此可以估计总体平均值约为163由B可知,163.6为样本平均值,我们可以由此估计出总体平均值,而不是确定的总体平均值,故C错误;如果仅根据男生、女生的样本均值,可以估计出总体的均值,不能计算出准确的总体均值,故D正确.【补偿训练】某校有初中、高中两个部门,其中初中有学生850人,高中有学生650人,小军想要进行一个视力调查,对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样,得到初中生、高中生平均视力分别为1.0,0.8,其中样本量为60,则在初中部、高中部分别抽取多少人?整个学校的平均视力是多少?【解析】初中部抽取的人数为60×850850+650=34,高中部抽取的人数为60×650850+650=26,整个学校平均视力为3460×1.0+2660×0所以在初中部、高中部分别抽取34,26人,整个学校的平均视力约为0.91.9.2用样本估计总体9.2.1总体取值规律的估计第1课时总体取值规律的估计【学习目标】1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法.2.掌握用频率分布直方图估计总体.【素养达成】数据分析数学运算一、频率分布直方图的相关概念1.从频数到频率(1)频率表示频数与总数的比值.(2)频率反映了相对总数而言的相对强度,其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中,如果总体容量比较小,频数也可以较客观地反映总体分布;当总体容量较大时,频率就更能客观地反映总体分布.2.频率分布直方图(1)定义:频率分布直方图中每个小长方形的底边长是该组的组距,每个小长方形的高是该组的频率与组距的比,从而每个小长方形的面积等于该组的频率,即每个小长方形的面积=组距×频率组距=频率.我们把这样的图叫作频率分布直方图(2)频率分布直方图与频率的关系频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.(3)频率分布直方图的优点①能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别.②当考虑数据落在若干个组内的频率之和时,可以用相应长方形面积之和来表示.二、频率分布直方图的绘制步骤【教材深化】组距的选择应力求“取整”,如果极差不利于分组(如不能被组数整除),可适当增大极差,如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同).三、总体取值规律的估计1.从频率分布表可以看出,样本观测数据落在各个小组的比例大小.2.从频率分布直方图可以看出,样本的观测数据分布对称情况、左右高低情况、数据集中情况、从左到右的变化趋势等.【教材深化】总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数.(×)提示:频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频率.(2)频率分布直方图中所有小长方形面积之和可以大于1.(×)提示:频率分布直方图中所有小长方形面积之和等于1.(3)样本量越大,用样本的频率分布去估计总体的频率分布就越准确.(√)类型一频率分布直方图的绘制(数据分析)【典例1】从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛,成绩分组(单位:分)及各组的频数如下:[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.(1)列出样本的频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)估计成绩在[60,90)的学生比例.【解析】(1)频率分布表如图:成绩分组频数频率频率/组距[40,50)20.040.004[50,60)30.060.006[60,70)100.20.02[70,80)150.30.03[80,90)120.240.024[90,100]80.160.016合计501.000.1(2)频率分布直方图如图所示.(3)学生成绩在[60,90)的频率为0.2+0.3+0.24=0.74=74%,所以估计成绩在[60,90)的学生比例为74%.【备选例题】为了解九年级学生中女生的身高(单位:cm)情况,某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量,所得数据整理后列出频率分布表如表.分组频数频率[145.5,149.5)10.02[149.5,153.5)40.08[153.5,157.5)200.40[157.5,161.5)150.30[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5]mn合计MN(1)求出表中m,n,M,N的值;(2)画出频率分布直方图;(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多?估计九年级学生中女生的身高在161.5cm及以上的频率.【解析】(1)方法一N=1.00,n=1-(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,m0.04解得m=2,M=1+4+20+15+8+2=50.方法二M=10.02=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1.00,n=mM=2(2)画出频率分布直方图,如图所示.(3)由频率分布直方图可知,样本中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多,且身高在161.5cm及以上的频率为0.16+0.04=0.20,由此可估计全体女生中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多,九年级学生中女生的身高在161.5cm及以上的频率约为0.20.【总结升华】在绘制出频率分布表以后,画频率分布直方图的关键就是确定小长方形的高.一般地,频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的,合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定),然后以各组的“频率组距”所占的比例来定高【即学即练】为了解学校高一年级男生的身高情况,选取一个容量为60的样本(60名男生的身高),分组情况如下(单位:cm):分组[147.5,155.5)[155.5,163.5)[163.5,171.5)[171.5,179.5]频数62127m频率a0.1(1)求出表中a,m的值;(2)画出频率分布直方图.【解析】(1)依题意得6+21+27+m=60,则m=6,a=2760=0.45(2)根据频率分布表,可求第一组、第二组的频率分别为660=0.1,2160=0.画出频率分布直方图如图所示.【补偿训练】某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验,其得分如下(单位:分):4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258根据上面的数据,回答下列问题:(1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少?(2)将区间[30,100]平均分成7个小区间,试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表,进而画出频率分布直方图.【解析】(1)这次测验成绩的最低分是32分,最高分是97分.(2)根据题意,列出样本的频率分布表如表:分组频数频率[30,40)10.02[40,50)60.12[50,60)120.24[60,70)140.28[70,80)90.18[80,90)60.12[90,100]20.04合计501.00频率分布直方图如图所示.类型二频率分布直方图的相关计算与应用(数据分析)【典例2】志愿者的服务工作对亚运会的举办十分重要.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65