中职高考数学一轮复习讲练测5.1 弧度制及任意角的三角函数（讲）（原卷版）

5.1弧度制及任意角的三角函数【考点梳理】1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按方向旋转形成的角叫做正角，按方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个．(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为{α|2kπ<α<2kπ+eq\f(π,2)，k∈Z}；②α是第二象限角可表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z))；③α是第三象限角可表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3,2)π，k∈Z))；④α是第四象限角可表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(3,2)π<α<2kπ＋2π，k∈Z))或{α|2kπ－eq\f(π,2)<α<2kπ，k∈Z}．(3)非象限角如果角的终边在上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋π，k∈Z))；③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(3,2)π，k∈Z))；⑤终边在x轴上的角的集合可记作{α|α＝kπ，k∈Z}；⑥终边在y轴上的角的集合可记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(kπ,2)，k∈Z))．(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ,k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}.2．弧度制(1)把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))＝eq\f(l,r)，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝rad，180°＝rad，1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad，反过来1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))r;扇形面积公式S扇＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))r2＝eq\f(1,2)lr．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．※cotα＝eq\f(x,y)(y≠0)，secα＝eq\f(r,x)(x≠0)，cscα＝eq\f(r,y)(y≠0)．(2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))(3)三角函数值在各象限的符号sinαcosαtanα4．特殊角的三角函数值0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π0eq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)1eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)0－10eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)0－eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(3),2)－1010eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)不存在－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)0不存在0考点一任意角和弧度制【例题】（1）下列说法正确的是（

）A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角（2）与终边相同的角是（

）A． B． C． D．（3）角所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（4）已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4，则扇形的面积为（

）A．1 B．2 C．3 D．4（5）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A． B． C．2 D．（6）与终边相同的角的集合是____________．【变式】（1）教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（

）A． B． C． D．（2）已知，则下列四个角中与角终边相同的是（

）A． B． C． D．（3）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A． B． C． D．（4）已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（

）A．1 B．4 C．1或4 D．1或5（5）已知圆锥的底面直径为2，圆锥的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积为（

）A． B． C． D．（6）已知角，则与α终边相同的最小正角是____________．考点二任意角的三角函数【例题】（1）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（

）A． B． C． D．（2）已知角的终边经过点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．（3）已知是角终边上一点，则（

）A． B． C． D．（4）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴.若是角终边上一点，且，则（

）A．－6 B．－8 C．－10 D．－12（5）若满足，则的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式】（1）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（

）A． B． C． D．（2）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则（

）A． B． C． D．1（3）已知，则角位于第________象限．（4）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，则（

）A． B． C． D．（5）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若，则的值为（

）．A． B． C． D．【方法总结】1．要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋eq\f(π,2)(k∈Z)的写法都是不规范的．3．一般情况