立体图形的直观图导学案答案

8．2立体图形的直观图学案学习目标1．掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图．情境导入学习空间几何体，除了要会辨认它们，还需要作图来表示这些几何体，以便进一步提高对空间几何体结构特征的认识．同时，比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提．我们常用三视图和直观图来表示空间几何体．在初中就已知道，三视图是观察者从三个不同位置来观察同一个空间几何体而画出的图形．而直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体而获得的图形．怎样画出现实生活中相应几何体的直观图呢？

新知探究知识点一水平放置的平面图形的直观图的画法问题引导1.我们都非常喜欢打乒乓球，乒乓球台是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？提示：在乒乓球台上建立平面直角坐标系，如图所示，当将两坐标轴的夹角变为45°或135°时，台面看起来就是平行四边形了．知识点总结用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤典例探究例1用斜二测画法画出如图所示的水平放置的△OAB的直观图．解：(1)在三角形中建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图①中作BD⊥x轴于D，在坐标系x′O′y′中，沿x′轴正方向取O′A′＝OA，沿x′轴负方向取O′D′＝OD.(3)在坐标系x′O′y′中沿y′轴正方向画D′B′平行于y′轴，且D′B′＝eq\f(1,2)DB.(4)连接O′B′，A′B′，去掉辅助线，得到△O′A′B′，即水平放置的平面图形△OAB的直观图，如图③所示．画水平放置的平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)画平面图形的直观图时，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．变式训练1．用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．解：画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．知识点二空间几何体的直观图问题引导2.我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？提示：先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图．知识点总结空间几何体直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个与x轴、y轴都垂直的eq\o(□,\s\up1(1))z轴，直观图中与之对应的是eq\o(□,\s\up1(2))z′轴．(2)画底面：eq\o(□,\s\up1(3))x′O′y′平面表示水平平面，eq\o(□,\s\up1(4))y′O′z′平面和eq\o(□,\s\up1(5))x′O′z′平面表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中eq\o(□,\s\up1(6))平行性和eq\o(□,\s\up1(7))长度都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为eq\o(□,\s\up1(8))虚线．典例探究例2(链接教材P109例2)用斜二测画法画一个上底面边长为1cm，下底面边长为2cm，高(两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度)为2cm的正四棱台．解：(1)画轴．如图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．在平面xOy上画边长为2cm的正方形的直观图ABCD.(3)画上底面．在Oz上截取OO′＝2cm，过O′分别作平行于Ox、Oy的O′x′、O′y′，在平面x′O′y′上用画正四棱台下底面直观图的方法画出边长为1cm的正四棱台的上底面的直观图A′B′C′D′.(4)依次连接AA′，BB′，CC′，DD′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到正四棱台的直观图，如图(2)所示．图(1)图(2)空间几何体的直观图的画法(1)对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出直观图．(2)画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．变式训练2．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为3cm，圆锥的高为3cm，画出此机器部件的直观图．解：(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆柱的两底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使AB＝3cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点．这个椭圆就是圆柱的下底面．在z轴上截取OO′，使OO′＝3cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使PO′＝3cm.(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.①②思维提升直观图的还原与计算例3(1)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，B′C′＝1，OC′＝eq\r(2)，则该平面图形的面积为()A．eq\f(\r(2),2) B．2C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：D因为直观图是底角为45°的等腰梯形，且B′C′＝1，OC′＝eq\r(2)，所以等腰梯形的高为h＝OC′sin45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，所以等腰梯形的面积为S′＝eq\f(1,2)×(1＋1＋1＋1)×1＝2，所以原平面图形的面积为S＝2eq\r(2)S′＝2eq\r(2)×2＝4eq\r(2).故选D.(2)如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的斜二测直观图，若O′A′＝3，O′B′＝4，则△OAB的面积为________．解析：把△O′A′B′还原为△OAB，如图所示，则OA＝2O′A′＝2×3＝6，OB＝O′B′＝4，所以△OAB的面积为S＝eq\f(1,2)OA·OB＝eq\f(1,2)×6×4＝12.答案：12由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积S′与原图形面积S的关系为S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.变式训练3.(1)如图，正方形A′B′C′D′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图，若A′D′＝1，则四边形ABCD周长为()A．eq\r(2) B．4C．2eq\r(2) D．8解析：D根据题意，直观图中，四边形A′B′C′D′是正方形A′B′C′D′，且边长为1，则A′B′＝1，O′D′＝eq\r(2)，作出原图如图，OD＝2O′D′＝2eq\r(2)，则有AD＝eq\r(8＋1)＝3，四边形ABCD为平行四边形，则BC＝3，CD＝1，故四边形ABCD周长为1＋3＋3＋1＝8.故选D.(2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2解析：D法一：建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.①②如图②所示，建立对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，应有A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.过点C′作C′D′⊥O′B′于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以△A′B′C′的面积是S＝eq\f(1,2)·A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.法二：∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.

课堂小结1．知识网络2．方法归纳本课时应用了转化与化归的思想方法．3．易错提醒同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．

课堂练习1．(多选)(2024·太原期中)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是()A．三角形的直观图是三角形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形解析：AB由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；平行四边形的直观图是平行四边形，所以B正确；正方形的直观图是平行四边形，故C错误；菱形的直观图是平行四边形，故D错误．故选AB.2．若利用斜二测画法把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应()A．平行于z′轴且大小为10cmB．平行于z′轴且大小为5cmC．与z′轴成45°且大小为10cmD．与z′轴成45°且大小为5cm解析：A平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．3.(多选)如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图形，可能是△ABC的直观图的是()解析：CD当∠x′O′y′＝135°时，其直观图是C；当∠x′O′y′＝45°