长方体和正方体的表面积（重难点讲解知识总结练习答案解析）-五年级数学下册（人教版）

【新课同步学与练】20242025学年人教版五年级数学下册第三单元：长方体和正方体3.2、长方体和正方体的表面积（重难点讲解+知识点总结+同步练习+答案解析）1、表面积长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。2、长方体的表面积长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×23、正方体的表面积正方体的表面积＝棱长×棱长×6用字母表示：S＝6a2知识点1：长方体的表面积【典型例题】有一个长方体，如图方式放置，它后面的面积是（）平方厘米，左面的面积是（）平方厘米，底面积是（）平方厘米，这个长方体的表面积是（）平方厘米。【答案】322448208【分析】根据长方形的面积＝长×宽，来计算长方体不同面的面积；长方体有六个面，相对的面面积相等，我们已经求出了后面、左面、底面的面积，那么表面积就是这三个面面积之和的2倍，据此解答。【详解】8×4＝32（平方厘米）6×4＝24（平方厘米）8×6＝48（平方厘米）（48＋24＋32）×2＝104×2＝208（平方厘米）即它后面的面积是32平方厘米，左面的面积是24平方厘米，底面积是48平方厘米，这个长方体的表面积是208平方厘米。【变式训练1】一个抽屉（如图），底面是一个边长20厘米的正方形，高6厘米，至少需要多少平方厘米的木板？【答案】880平方厘米【分析】根据题意，抽屉是一个无盖的长方体，求至少需要木板的面积，就是求抽屉的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可求解。【详解】20×20＋20×6×2＋20×6×2＝400＋240＋240＝880（平方厘米）答：至少需要880平方厘米的木板。【变式训练2】粉刷一个教室内的四壁及顶面，教室长10米、宽6米、高4米，除去门窗18平方米，如果每平方米需要花5元涂料费，粉刷这个教室共要多少钱？【答案】850元【分析】只粉刷教室内的四壁及顶面，相当于求长方体4个侧面和1个底面共5个面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，求出四壁及顶面的面积，再减去门窗的面积，即是应粉刷的面积，再乘每平方米需要的涂料费，即可求出粉刷这个教室共要多少钱。【详解】（10×6＋10×4×2＋6×4×2－18）×5＝（60＋80＋48－18）×5＝170×5＝850（元）答：粉刷这个教室共要850元。【变式训练3】把一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加（

）平方厘米。A．60 B．30 C．48 D．40【答案】A【分析】根据题意，把一个长方体切成两个长方体，表面积比原来增加2个截面的面积；已知原长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4厘米，因为6＞5＞4，所以表面积最多增加2个（6×5）的面积，据此解答。【详解】6×5×2＝30×2＝60（平方厘米）表面积最多增加60平方厘米。故答案为：A知识点2：正方体的表面积【典型例题】一个正方体的棱长总和是72cm，它的棱长是（）cm，表面积是（）cm2。【答案】6216【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12，所得结果即为这个正方体的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入相应数值计算即可解答。【详解】这个正方体的棱长：72÷12＝6（cm）表面积：6×6×6＝216（cm2）因此它的棱长是6cm，表面积是216cm2。【变式训练1】做一个棱长是10dm的正方体木箱，需要木板（

）。A．600m2 B．1000m2 C．60m2 D．6m2【答案】D【分析】根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”，把数据代入公式计算出这个正方体木箱的表面积即可。【详解】10dm＝1m1×1×6＝1×6＝6（m2）做一个棱长是10dm的正方体木箱，需要木板6m2。故答案为：D【变式训练2】灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长8厘米的正方体灯笼框架，需要木条（）厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸（）平方厘米。【答案】96384【分析】正方体棱长和＝棱长×12，据此列式求出需要木条多少厘米；正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出需要彩纸多少平方厘米。【详解】8×12＝96（厘米）8×8×6＝384（平方厘米）所以，需要木条96厘米；需要彩纸384平方厘米。【变式训练3】一个正方体，如果把它的棱长扩大到原来的5倍，那么它的棱长总和就扩大到原来的（）倍，表面积扩大到原来的（）倍。【答案】525【分析】设原来正方体的棱长为a，扩大后的棱长是5a，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，分别求出原来正方体棱长总和和扩大后正方体的棱长总和，再用扩大后正方体的棱长总和除以原来正方体的棱长总和，根据正方体表面积公式：体积＝6×棱长×棱长，分别求出原来正方体表面积和扩大后正方体的表面积，再用扩大后正方体的表面积除以原来正方体的表面积，即可解答。【详解】设原来正方体的棱长为a，扩大后的棱长是5a，（5a×12）÷（a×12）＝60a÷（12a）＝5（6×5a×5a）÷（6×a×a）＝150a2÷（6a2）＝25即正方体的棱长总和就扩大到原来的5倍，表面积扩大到原来的25倍。知识点3：组合体的表面积【典型例题】计算下面组合图形的表面积。（单位：cm）【答案】424cm2【分析】通过观察图形可知，由于大小两个长方体粘合在一起，把小长方体的右面平移到大长方体的右面（即粘合处），这样大长方体的表面积是6个面的面积之和，而右边小长方体的表面积只求它的前后面、上下面共4个面的面积之和，然后相加，就是组合图形的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。【详解】（6×10＋6×5＋10×5）×2＝（60＋30＋50）×2＝140×2＝280（cm2）（6×2＋6×10）×2＝（12＋60）×2＝72×2＝144（cm2）280＋144＝424（cm2）【变式训练1】求下面图形的表面积。【答案】852dm2【分析】长方体和正方体叠加后，会减少了两个面的面积，即2个边长为6dm的正方形的面积；利用长方体的表面积公式和正方体的表面积公式，分别求出长方体和正方体的表面积，用长方体的表面积加上正方体的表面积，再减去2个正方形的面积，即可求出组合图形的表面积。【详解】（9×6×2＋9×20×2＋6×20×2）＋6×6×6－6×6×2＝（108＋360＋240）＋216－72＝708＋216－72＝852（dm2）【变式训练2】计算组合图形的表面积。【答案】428cm2【分析】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算即可。【详解】长方体的表面积：（10×8＋10×7＋8×7）×2＝（80＋70＋56）×2＝206×2＝412（cm2）正方体4个面的面积：2×2×4＝4×4＝16（cm2）一共：412＋16＝428（cm2）组合图形的表面积是428cm2。一、选择题1．要做一个棱长是5分米的正方体无盖鱼缸，至少需要（

）平方分米玻璃。A．150 B．125 C．25【答案】B【分析】求玻璃的面积就是求正方体的五个面的面积，先求出正方体的一个面的面积，再乘5即可。【详解】5×5×5＝25×5＝125（平方分米）则至少需要125平方分米玻璃。故答案为：B2．一个花坛长1.5米，宽1.2米，深0.5米，这个花坛占地（

）平方米。A．1.8 B．0.9 C．0.6【答案】A【分析】占地面积指的是长乘宽的面积，代入数据计算即可。【详解】1.5×1.2＝1.8（平方米）这个花坛占地面积是1.8平方米。故答案为：A3．正方体的棱长扩大到原来的3倍。它的表面积就扩大到原来的（

）倍。A．3 B．6 C．9【答案】C【分析】假设出原来正方体的棱长，根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出正方体的表面积，最后用除法即可求出表面积扩大原来的多少倍。【详解】可令原正方体的棱长为1，扩大到原来的3倍后，现正方体的棱长为：原正方体的表面积：现正方体的表面积：＝＝54正方体的棱长扩大到原来的3倍。它的表面积就扩大到原来的9倍。故答案为：C4．一根长方体石材，底面是边长为2dm正方形，高是0.5m，为方便运输，至少用（

）dm2大的牛皮纸才能将这根石材包起来。A．48 B．24 C．20【答案】A【分析】求将这根石材包起来用到的牛皮纸大小，即是求长方体石材的表面积。长方体表面积＝前后面面积＋左右面面积＋上下底面面积，据此解答。【详解】0.5m＝5dm2×5×2＋2×5×2＋2×2×2＝20＋20＋8＝48（dm2）至少用48dm2大的牛皮纸才能将这根石材包起来。故答案为：A5．一个长方体，高是7厘米，宽是3厘米。上下两面为正方形，它的表面积为（

）平方厘米。A．182 B．102 C．63【答案】B【分析】根据题意，一个长方体的高是7厘米，宽是3厘米，长方体的上下两面为正方形，则正方形的边长是3厘米；根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个正方形的面积，再乘2，即是上下两个面的面积之和；这个长方体的其它四个面都是长7厘米、宽3厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个长方形的面积，再乘4，即是长方体侧面积；最后把长方体上下两个面的面积之和与侧面积相加，求出这个长方体的表面积。【详解】3×3×2＋7×3×4＝18＋84＝102（平方厘米）它的表面积是102平方厘米。故答案为：B二、填空题6．棱长8cm的正方体的表面积是棱长2cm的正方体的表面积的（）倍。【答案】16【分析】根据正方体的表面积S＝6a2，将数据代入公式求得两个正方体的表面积，再相除即可求解。【详解】（8×8×6）÷（2×2×6）＝384÷24＝16棱长8cm的正方体的表面积是棱长2cm的正方体的表面积的16倍。7．一个长方体长12cm，宽4cm，高3cm，六个面中最小的面的面积是（）cm2，最大的面的面积是（）cm2，它的表面积是（）cm2。【答案】1248192【分析】一个长方体长12cm，宽4cm，高3cm，12＞4＞3，所以求六个面中最小的面的面积列式为4×3；求最大的面的面积列式为12×4；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把长方体长、宽、高的值代入公式计算即可求出这个长方体的表面积。【详解】4×3＝12（cm2）12×4＝48（cm2）（12×4＋12×3＋4×3）×2＝（48＋36＋12）×2＝96×2＝192（cm2）所以，六个面中最小的面的面积是12cm2，最大的面的面积是48cm2，它的表面积是192cm2。8．一个棱长是70cm的正方体纸箱，这个纸箱的表面积是（）。【答案】294【分析】根据：正方体的表面积＝6a2，计算出表面积，再根据1dm2＝100cm2，低级单位换算为高级单位除以进率，将单位换算为dm2；据此解答。【详解】70×70×6＝4900×6＝29400（cm2）29400cm2＝294dm2所以，这个纸箱的表面积是294dm2。9．一个正方体礼品盒的棱长和是72cm，那么它的棱长是（）cm，在这个礼品盒的侧面贴一圈包装纸，至少需要（）cm2的包装纸。【答案】6144【分析】根据题意，用棱长总和再除以12就是正方体的棱长，再根据正方体的侧面积＝棱长×棱长×4，直接计算即可求出至少需要多少平方厘米的包装纸。【详解】正方体的棱长：（cm）正方体的侧面积：＝＝（cm2）所以，正方体的棱长是cm，侧面贴一圈包装纸，至少需要cm2的包装纸。10．一个正方体的表面积是80cm2，它的每个面的面积是（）cm2。【答案】【分析】正方体是用六个完全相同的正方形围成的立体图形。正方体的表面积＝棱长×棱长×6＝每个面的面积×6，所以，正方体的每个面的面积＝正方体的表面积÷6，据此作答即可。【详解】80÷6＝（cm2）一个正方体的表面积是80cm2，它的每个面的面积是cm2。11．一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是（）分米，占地面积是（）平方分米，表面积是（）平方分米。【答案】6030148【知识点】长方体的认识及特征、长方体表面积的计算、长方体有关棱长的应用【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算；占地面积就是算长方体的底面积，根据长方形的面积公式计算即可；最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2【详解】（分米）（平方分米）（平方分米）一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是60分米，占地面积是30平方分米，表面积是148平方分米。12．一个正方体表面积是96平方厘米，它的棱长和是（）厘米。【答案】48【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此用96÷6计算出棱长×棱长的结果，进而确定棱长，再根据正方体有12条棱，用棱长×6即可得出结果。【详解】96÷6＝1616＝4×4，即正方体棱长为4；4×12＝48（厘米）一个正方体表面积是96立方厘米，它的棱长和是48厘米。13．一个正方体的棱长是b分米，它的棱长总和是（）分米，表面积是（）平方分米。【答案】12b6b2【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答，最后化简即可。【详解】12×b＝12b（分米）b×b×6＝6b2（平方分米）一个正方体的棱长是b分米，它的棱长总和是12b分米，表面积是6b2平方分米。14．如图是长方体的三条棱，这个长方体的棱长总和是（）cm，表面积是（）cm2，它的最大占地面积是（）cm2。

【答案】8830480【分析】由图可知，长方体的长为10cm，宽为8cm，高为4cm，利用“长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4”“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出这个长方体的棱长总和与表面积，长、宽所在的面占地面积最大，利用“长方形的面积＝长×宽”求出这个长方体的最大占地面积，据此解答。【详解】（10＋8＋4）×4＝22×4＝88（cm）（10×8＋10×4＋8×4）×2＝（80＋40＋32）×2＝152×2＝304（cm2）10×8＝80（cm2）所以，这个长方体的棱长总和是88cm，表面积是304cm2，它的最大占地面积是80cm2。三、判断题15．李老师将棱长为1分米的正方体粉笔盒按如图方式摆放在墙角里，露在外面的面积是9平方分米。（）【答案】√【分析】正方体的棱长为1分米，一个面的面积为1平方分米，从立体图形的正面、上面、右面数出露出正方形的数量，最后乘一个正方形的面积，即可求得。【详解】（4＋2＋3）×（1×1）＝9×1＝9（平方分米）所以，露在外面的面积是9平方分米。故答案为：√16．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则它的表面积扩大到原来的4倍。（）【答案】√【分析】可以用假设的方法，假设长方体的长宽高分别是1厘米，2厘米，3厘米，扩大之后的长宽高分别是2厘米，4厘米，6厘米，分别求出表面积，进行比较。【详解】扩大前：＝＝22（平方厘米）扩大后：＝＝88（平方厘米）88÷22＝4所以表面扩大到原来的4倍。故答案为：√17．从一个长方体的顶点处切下一个小正方体后，剩下的物体的表面积不变。（）【答案】√【分析】根据题意可知，长方体一个顶点处切去一个小正方体，表面积减少了3个小正方形的面积，同时又增加了3个小正方形的面积，所以表面积没有变化，据此解答。【详解】根据分析可知，从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，剩下的物体的表面积不变。原题干说法正确。故答案为：√18．把下边大正方体涂上红色，切开后，有3个面是红色的小正方体有12个。（）【答案】×【分析】由题意可知，3个面涂色的小正方体在顶点位置，顶点有8个，据此判断即可。【详解】把下边大正方体涂上红色，切开后，有3个面是红色的小正方体有8个。原题说法错误。故答案为：×19．2个棱长2cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是48cm2。（）【答案】×【分析】拼成长方体后，长方体的长为（2×2）cm，宽和高相等都是2m，根据长方体的表面积＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，代入长宽高的数据，即可求出长方体的表面积再进行判断即可。【详解】2×2＝4（cm）（4×2＋4×2＋2×2）×2＝（8＋8＋4）×2＝（16＋4）×2＝20×2＝40（cm2）2个棱长2cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是40cm2，原题计算错误。故答案为：×四、解答题20．一个长方体木箱，长20分米，宽6.5分米，高4.2分米，做这个木箱至少要用多少面积的木板？【答案】482.6平方分米【分析】已知长方体木箱长20分米，宽6.5分米，高4.2分米，把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2中，计算出长方体的表面积即可。【详解】（20×6.5＋20×4.2＋6.5×4.2）×2＝（130＋84＋27.3）×2＝241.3×2＝482.6