2025年高考数学核心考点归纳第81讲、圆锥曲线拓展题型一特训(学生版+解析)

第81讲圆锥曲线拓展题型一必考题型全归纳题型一：定比点差法例1．已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求例2．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．例3．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值．变式1．设，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，若，求点的坐标变式2．已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于，，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．题型二：齐次化例4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．例5．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q（均异于点，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．例6．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．变式3．已知椭圆，，，为上的两个不同的动点，，求证：直线过定点．题型三：极点极线问题例7．（2024·全国·高三专题练习）椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．例8．（2024·全国·高三专题练习）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.例9．（2024秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．变式4．（2024·全国·高三专题练习）若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标．题型四：蝴蝶问题例10．（2003·全国·高考真题）如图，椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心为．(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；(2)直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，．求证：；(3)对于（2）中的中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，为圆的一条弦，是的中点，过作圆的两条弦，.若，分别与直线交于点，，则.该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆中，弦的中点的坐标为，且两条弦，所在直线斜率存在，证明：.例12．（2021·全国·高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆弦的中点M，任意作两弦和，与交弦于P、Q，求证：.变式6．（2024·全国·高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，.原点在圆内.（1）求证：.（2）设交轴于点，交轴于点.求证：.变式7．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．变式9．（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆的右焦点是，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；(3)过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．(1)求椭圆的标准方程；(2)记，的面积分别为，，若，求的值；(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．变式11．（2024秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为（1）求椭圆的方程；（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.变式12．（2022·全国·高三专题练习）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆，与点对应的极线方程为，我们还知道如果点在圆上，极线方程即为切线方程；如果点在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆，与点对应的极线方程为.如上图，已知椭圆C：，，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为；直线AB与OP交于点M，则的最小值是.本资料陈飞老师主编，可联系微信：renbenjiaoyu2,加入陈老师高中数学永久QQ资料群下载（群内99%以上资料为纯word解析版），群内资料每周持续更新！高一资料群内容：1、高一上学期同步讲义（word+PDF）2、高一下学期同步讲义（word+PDF）3、寒暑假预习讲义（word+PDF）4、专题分类汇编（纯word解析版）5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）6、期中期末考试串讲（word+PDF）…………更多内容不断完善高二资料群内容：1、高二上学期同步讲义（word+PDF）2、高二下学期同步讲义（word+PDF）3、寒暑假预习讲义（word+PDF）4、专题分类汇编（纯word解析版）5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）6、期中期末考试串讲（word+PDF）…………更多内容不断完善高三资料群内容：1、高三大一轮复习讲义（word+PDF）2、高三二轮冲刺讲义（word+PDF）3、高三三轮押题（纯word解析版）4、高考真题分类汇编（纯word解析版）5、专题分类汇编（纯word解析版）6、圆锥曲线专题（word+PDF）7、导数专题（word+PDF）8、全国名校期中期末一模二模（纯word解析版）…………更多内容不断完善第81讲圆锥曲线拓展题型一必考题型全归纳题型一：定比点差法例1．已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求【解析】由，可设椭圆为（），设，，，由，所以，．又由（1）-（3）得，又．又．例2．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．【解析】设，，，由，所以．由由（1）-（3）得：，又，又，从而．例3．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值．【解析】设，，，，由，得①满足满足②由③由（1）-（3）得：，又，同理可得．变式1．设，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，若，求点的坐标【解析】记直线反向延长交椭圆于，由及椭圆对称性得，设，，．①由定比分点公式得．②又③由（1）-（3）得，又．变式2．已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于，，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．【解析】设，，由，记，即，．①，由定比分点得：，由定比分点得②又③由（1）-（3）得：，即．题型二：齐次化例4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．【解析】直线由，得则由，得：，整理得：，即：．所以，则，即：．例5．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q（均异于点，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．【解析】设直线则．由，得：．则，故．所以．即．例6．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．【解析】设直线．．．．．．（1）由，得即：．．．．．．（2）由（1）（2）得：整理得：则，则，代入直线，得：显然，直线过定点．变式3．已知椭圆，，，为上的两个不同的动点，，求证：直线过定点．【解析】设直线方程为：则即，又因为化简得或（舍去）．即直线为，即直线过定点．题型三：极点极线问题例7．（2024·全国·高三专题练习）椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．【解析】（1）由题意知，当时，，所以或．由定义可知椭圆在点处的极线方程为，所以椭圆在点处的极线方程为，即点处的极线方程为，即（2）因为在椭圆上，所以，由定义可知椭圆在点处的极线方程为，当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线．当时，极线方程为．联立，得．．综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线；（3）设点，，，由（2）可知，过点的切线方程为，过点N的切线方程为．因为，都过点，所以有，则割线的方程为；同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为．又因为割线过点，代入割线方程得．所以，，三点共线，都在直线上．例8．（2024·全国·高三专题练习）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点P(4,0)，则，得，又，所以，所以，所以椭圆C的方程为.根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即；（2）由题意，设点Q的坐标为(,)，因为点Q在直线上运动，所以，联立，得，，该方程无实数根，所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，又QM，QN都与椭圆C相切，所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为，将代入，整理得，又因为定点T的坐标与的取值无关，所以，解得，所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.当时，T是线段MN的中点，设，直线MN的斜率为，则，两式相减，整理得，即，所以当时，直线MN的方程为，即.例9．（2024秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．【解析】（1）因为点，都在椭圆上，所以，．所以．所以椭圆的离心率．（2）由（1）知椭圆的方程为，．由题意知：直线的方程为．设（，），，．因为三点共线，所以有，，所以．所以．所以．因为三点共线，所以，即．所以．所以直线的方程为，即．又因为点在椭圆上，所以．所以直线的方程为．所以直线过定点．变式4．（2024·全国·高三专题练习）若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为；由题意知，所以，．所以椭圆的标准万程为．（2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知：，不满足，故直线l的斜率不为零．设直线l的方程为，由，得：，因为直线l与椭圆C交于P、Q两点，所以，整理得：，设、，则，，，．因为，所以，整理得：，，将，代入整理得：要使上式恒成立，只需，此时满足，因此，直线l恒过定点．变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标．【解析】（1）由条件可知：且，解得，所以椭圆的方程为；（2）因为，设，所以，所以；（3）设，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以直线过定点.题型四：蝴蝶问题例10．（2003·全国·高考真题）如图，椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心为．(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；(2)直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，．求证：；(3)对于（2）中的中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）【解析】（1）椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心，椭圆方程为焦点坐标为，离心率（2）证明：将直线的方程代入椭圆方程，得整理得根据韦达定理，得，，所以①将直线的方程代入椭圆方程，同理可得②由①、②得所以结论成立.（3）证明：设点，点由、、共线，得解得由、、共线，同理可得由变形得所以即例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，为圆的一条弦，是的中点，过作圆的两条弦，.若，分别与直线交于点，，则.该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆中，弦的中点的坐标为，且两条弦，所在直线斜率存在，证明：.【解析】（1）由于，两点关于轴对称，故由题设知经过，两点，又由知，不过点，所以点在上，因此，解得，故椭圆的方程为；（2）因点的坐标在轴上，且为的中点，所以直线平行于轴，设，，，，设直线的方程为，代入椭圆，得：，根据韦达定理得：，，①同理，设直线的方程为，代入椭圆，得：，根据韦达定理得：，，②由于、、三点共线，得，，同理，由于、、三点共线，得：，结合①和②可得：即，所以，即.例12．（2021·全国·高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆弦的中点M，任意作两弦和，与交弦于P、Q，求证：.【解析】如图所示，以为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，设圆方程为设直线、的方程分别为，.将它们合并为，于是过点C、D、E、F的曲线系方程为.令，得，即过点C、D、E、F的曲线系与交于点P、Q的横坐标是方程的两根.由韦达定理得，即是的中点，故.变式6．（2024·全国·高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，.原点在圆内.（1）求证：.（2）设交轴于点，交轴于点.求证：.【解析】（1）已知圆的方程为，直线与圆交于，，联立，化简得，则，，所以，同理线与圆交于，，联立化简得，则，，所以，故有，所以成立；（2）不妨设点，点，因为、、三点共线，所以，化简得，因为点在直线上，所以，点在直线上，所以，则，同理因为、、三点共线，所以，化简得，因为点在直线上，所以，点在直线上，所以，则，又由，可得，，即，所以，则，所以，所以成立.变式7．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.【解析】（1）因为，椭圆离心率为，所以，解得，.所以椭圆的方程是.（2）①若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.所以点的坐标是，点的坐标是.所以直线的方程是，直线的方程是.所以直线，的交点的坐标是.所以点在直线上.②若直线的斜率存在时，如图.设斜率为.所以直线的方程为.联立方程组消去，整理得.显然.不妨设，，所以，.所以直线的方程是.令，得.直线的方程是.令，得.所以分子..所以点在直线上.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．【解析】(1)因为椭圆的离心率为，所以a＝2c.又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.所以椭圆的标准方程为＋＝1.又因为点P为椭圆上一点，所以＋＝1，解得c＝1.所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立方程组消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.因为k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.即＝.①又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，所以＝(4－)，＝(4－)．②将②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.解得k＝或k＝，又因为k>1，所以k＝.变式9．（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆的右焦点是，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；(3)过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【解析】（1）设，，直线AB的斜率显然存在，则，因为线段AB中点Q的坐标为，所以，，直线AB的斜率，A，B两点在椭圆椭圆C上，所以，，两式相减得，即，所以，整理得，①又且，②由①②可解得，，所以椭圆C的方程为.（2）由得，则，，，设M，N中点为，则，，因为M，N都在以P为圆心的圆上，所以，则点P在线段MN的垂直平分线上，依题意，所以线段MN的垂直平分线方程为，M，N中点为在此直线上，所以有，即，解得.所以k的值为.（3）依题意有，，，设直线的方程为，由得，则，，，所以为定值.变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．(1)求椭圆的标准方程；(2)记，的面积分别为，，若，求的值；(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为．依题意可得，，解得，．故．所以椭圆的标准方程为．（2）设点，，，．若，则，即有，①设直线的方程为，与椭圆方程，可得，则，，②将①代入②可得，解得，则；（3）由（2）得，，所以直线的方程为，令，得，即．所以．所以，，，.变式11．（2024秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为（1）求椭圆的方程；（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.【解析】（Ⅰ）由题意，，即①