贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案详解）

贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期期末文化水平测试数学试题注意事项：本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡“考生条形码区”．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答䅁标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）an

aa

a a,nN* a在数列

中，若1 2

n2

n1 n

，则6 （ ）A3 B.5 C.8 D.13已知直线l的倾斜角为45，且过点(0,，则在直线l上的点是（ ）A.0) B.2) C.(2,D.2)拋物线y24x的准线方程是（ ）x1

y1

x2

y2324.若圆(x1)2(y3)210的圆心为M，则点M到直线xy20的距离为（ ）326A2 B.6

2

35.已知ABx),ACy),AP(y,，若AP平面ABC，则|AB|（ ）113A.11 B. C.3 D.113已知等比数列an的各项均为正数，且log3log3a2Llog310，则a5a6（ ）A.10 B.9 C.6 D.310的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ）点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上PABCABBC2ABBCPBABCMNACPB的中点，MN

6,Q为线段𝐵上的点（不包括端点,B，若异面直线M与CQ所成角的余弦值为 5，则15BQ（ ）BA1 2A. B.3 3

14

12二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）2n 已知等差数列a的通项公式是a104n,nN*n 等差数列n的公差d10 B.数列n是递减数列nC.-100是数列a中的某一项 .数列2n一定是等比数列n双曲线C:x2y2 的左、右焦点分别为F,F.P是双曲线右支上一点，且直线a2 b2

b 0) 1 2 2的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则（ ）点P必落在第四象限

sin

2552b22

y4x是双曲线C的一条渐近线如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E，F分别是DD，DB的中点，则（ ）CFEFEF//ABC2BCB的平面角的正切值为2233DABC233三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”周上的点的距离都相等.100年.已知O是坐标原OP1M

3)，则线段PM长的最大值是 .n n 4已知数列a的前n项和Sn22n，则an n 4已知三棱锥PABC的棱长均为2，且D是BC的中点，则ACPD.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）xOy中，已知VABCA(2mB(2,1C(2.BC边所在直线方程；BCADxty40(tR，求点A的坐标.已知等差数列annSna26S312.求数列anSn；记b1，求数列n项和T.Sn n nSn已知eMy2x10)0).求eM标准方程；若直线l经过点(02)且与eM相切，求直线l方程.SABCDABCDSAABCD，ABAD和BC,SAABBC2,AD1,M是棱SB的中点.AM//SCD；SCCDM所成角的正弦值.已知椭圆2

y1ab0的焦点和短轴顶点构成边长为2的正方形.22a b22求椭圆C的标准方程和离心率；过点(0的动直线与椭圆CP，Q.y轴上是否存在点T使得TPTQ0恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期期末文化水平测试数学试题注意事项：本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡“考生条形码区”．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答䅁标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）an

aa

a a,nN* a在数列

中，若1 2

n2

n1 n

，则6 （ ）A.3 B.5 C.8 D.13【答案】C【解析】【分析】利用递推关系，直接写出前6项.【详解】解：由aaa a a,nN*，1 2 n2 n1 n可以写出数列an625,8.a68，故选：C.已知直线l的倾斜角为45，且过点(0,，则在直线l上的点是（ ）A.0) B.2) C.(2,D.2)【答案】D【解析】【分析】先求得直线l的方程为yx1，再验证.【详解】解：因为直线l的倾斜角为45，且过点(0,1)，所以直线l的方程为yx1，当x3时，y2.故选：D.拋物线y24x的准线方程是（ ）x1

y1

x2

y2【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的方程求出p的值，即得准线方程.【详解】抛物线y24x的开口向右，p2，准线方程是xp1.2故选:A.324.若圆(x1)2(y3)210的圆心为M，则点M到直线xy20的距离为（ ）326A2 B.6

2

3【答案】D【解析】【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】因为圆(x1)2y3)210M的坐标为2则圆心M到直线xy20的距离为|132|2故选：D.5.已知ABx),ACy),AP(y,，若AP平面ABC，则|AB|（ ）113A.11 B. C.3 D.113【答案】B【解析】AP^ABAP^ACx最后根据模长公式求解即可.【详解】AP^平面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC，AP^ABAP^AC，所以APAB0,APAC0，因为AB(1,1,x),AC(3,1,y),AP(y,2,1)，可得y2x0,2y20，解得x3,y1,则AB(1,1,3),|AB| (1)23211故选：B.6.已知等比数列an的各项均为正数，且log3log3a2Llog310，则a5a6（ ）A.10 B.9【答案】B【解析】C.6D.3【分析】利用对数的运算性质和等比数列的性质可求得a5a6的值.【详解】因为数列an是各项都为正数的等比数列，则a1a10a2a9a3a8a4a7a5a6，

aaLaogaa55ogaa10，则ogaa2aa9.3 12 10 3 56 3 56 3 56 56故选：B.

10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ）点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上【答案】C【解析】【分析】由点A在椭圆上及椭圆定义求得2a12，即可根据定义逐个判断其它点是否在椭圆上.AM2a12，

=3+9=12，故椭圆中∵BF1+

=5+9=14

12，CF1+

=5+6=11¹

12，DF1+

=5+7=12，EF1+

=11+1=12.DEM上故选：CPABCABBC2ABBCPBABCMNACPB的中点，MN

6,Q为线段𝐵上的点（不包括端点,B，若异面直线M与CQ所成角的余弦值为 5，则2152BQ（ ）BA1 2A. B.3 3【答案】A【解析】

14

1【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式解方程即得.BPBCBABBCBPxyz轴建立空间直角坐标系，B000C020A200M0，26因ABBC2,ABBC，故BM1AC ，又MN ，262在直角三角形BMN中，BN2，则PB4，P(0,0,4)，Q,0,则Q,,0M,,4,CQ,,0BA2l2322l2324l245cosPM,CQ ，15解得1或3（舍去，3故BQ1.BA 3故选：A.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）n 已知等差数列a的通项公式是a104n,nN*n 等差数列n的公差d10 B.数列n是递减数列nC.-100是数列a中的某一项 .数列2n一定是等比数列n【答案】BD【解析】AB；令104n100C；根据等比数列的定义判断D.Q等差数列andanan14A错误；anan140，所以数列anB由104n100得n55N*，所以-100不是数列a中的某一项，故C错误；2n1

2 naa 4 a2n

2n1

n2

，且21260数列2nD正确.故选：BD.双曲线C:x2y2 的左、右焦点分别为F,F.P是双曲线右支上一点，且直线a2 b2

b 0) 1 2 2的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则（ ）点P必落在第四象限

sin

2552b22

y4x是双曲线C的一条渐近线【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用条件结合图形易判断；对于B，由条件表示出VPF1F2的三边，利用三角函数的定义10即得；对于C，由B项条件，根据的面积，求得c ，再利用双曲线定义求出a的值，即可出b的值；对于D，结合C项结论，可得双曲线方程，由其渐近线方程即可判断.10【详解】对于A，如图，直线PF2的斜率为2，且VPF1F2是直角三角形，故点P必落在第四象限，故A正确；B，由题可知

90o,kPF

tan2,

m，22

2m,

2c

5m故sin

В错误；5CB

VPF1F2

1212

1m2m8得m2 ，2102210

22,

42,

2c210,即c ，由双曲线的定义可得：2a22,则a 2,c2c2a2

2 C正确；22222对于D，由上分析，双曲线的方程为xy1，2 8所以双曲线C的渐近线方程为y2x,故D错误.故选：AC.如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E，F分别是DD，DB的中点，则（ ）CFEFEF//ABC2BCB的平面角的正切值为2233DABC233【答案】ACD【解析】【分析】证明CFBDDAEF//BDBDABCB；BC的中点G，即可得到AGBBCBC，再利用等体积法判D.【详解】因为四边形ABCD是正方形，F为DB的中点，所以CFBD，又DD平面ABCD，CF平面ABCD，所以DDCF，又BDDDD，BD,DD平面BDD，所以CF平面BDD，又EF平面BDD，CFEF，故A正确；EFDDDBEF//BDBDABC相交，EFABCB错误；BC的中点GBC，又△ABCBC，所以AGBBCB的平面角，又AB平面BCCB，BG平面BCCB，所以ABBG，2tanAGBAB12所以 22

，所以二面角ABCB的平面角的正切值为

，故C正确；22因为DABC是棱长为22

的正四面体，VDABC

1114111111，3 2 3又S 122sinπ 3，V

2 3 2DABCVD

13 23D正确.13SV

13 33 2故选：ACD.（1）求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）2000多年前，我国墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”周上的点的距离都相等.100年.已知O是坐标原OP1M

3)，则线段PM长的最大值是 .【答案】3【解析】【分析】利用点和圆的位置关系结合给定条件求解即可.【详解】因为O是坐标原点，OP1，所以点P在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上，由两点间距离公式得OM2，则点M在圆外，故线段PM长的最大值是213.故答案为：3n n 4已知数列a的前n项和Sn22n，则an n 4【答案】15【解析】【分析】利用a4S4S3求解即可.n【详解】因为Sn22n，n4 所以S422432,S32234 a4S4S315故答案为：15.已知三棱锥PABC的棱长均为2，且D是BC的中点，则ACPD.【答案】1【解析】AC PC 【分析】由uuuruuuruuruuurPBAC PC 【详解】解：QACPCPD

2PBPC，2ACPD(PCPA)

PBPC，2PCPBPC故答案为：1

PAPBPAPC24221.2 2四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）xOy中，已知VABCA(2mB(2,1C(2.BC边所在直线的方程；BCADxty40(tR，求点A的坐标.（1）x2y40（2）(2,【解析】【分析】（1）利用两点的斜率公式求出直线BC的斜率，即可求直线的点斜式方程，转化为一般式方程即可.（2）求得线段BC的中点D(0,2)，代入求得t，又点A(2,m)在中线AD上，可求得点A的坐标.【小问1详解】QB(2,1),C(2,3)，直线BC的斜率为311，22 2根据点斜式方程得y11(x2)，2BC边所在直线的一般方程为x2y40.【小问2详解】由题知，线段BC的中点D(0,2)，代入中线AD方程xty40，得02t40，解得t2.Q点A(2,m)在中线AD上，22m40m3，点A的坐标是(2,3).已知等差数列annSna26S312.求数列anSn；记b1，求数列n项和T.Sn n nSnn （1）a2nnN*Sn2nnNn （2）

nn1

,nN*【解析】【分析】（1）利用给定条件求出公差，再利用公式法求解前n项和与通项公式即可.（2）利用裂项相消法求和即可【小问1详解】设等差数列an的公差为d，由题知a2d6

2,d2，S1S33a13d12

n1d2n,nN*，nn1 2 *Snna1

dn2

n,nN.【小问2详解】由题意得b

1 1 1

1 1 ，nn S n2n

n(n

n n1Tbb

Lb1111L1 11 1 ，n 1 2

n 2 2 3 n n1

n1

nn1

,nN*.

已知eMy2x10)0).求eM的标准方程；若直线l经过点(02)且与eM相切，求直线l的方程.（1）(x1)2y1)25（2）y2x2

12

x2.【解析】【分析】（1）求出线段AB的垂直平分线方程，与y2x1联立求出圆心坐标，再求|𝑀𝐴|可得答案；（2）直线l的斜率不存在时，利用圆心M到直线𝑥=0的距离小于半径得不符合题意，设l的方程为ykx2，利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.【小问1详解】QeM经过A(3,0),B(1,0)，圆心M在线段AB的垂直平分线x1上，联立y2x1得y1，所以圆心M的坐标为1,1，x1(13)2(13)2(10)2

x15 ，5eM的标准方程为(x1)2(y1)25；【小问2详解】若直线l的斜率不存在，即𝑥=0，5圆心M到直线𝑥=0的距离为101 ，5此时直线l不是圆的切线，不符合题意；设l的方程为ykx2，即kxy20，Q直线l与eM相切，1k2d|k2|1k2即2k23k20k2或k1，2直线ly2x2

12

x2.SABCDABCDSAABCD，ABAD和BC,SAABBC2,AD1,M是棱SB的中点.AM//SCD；SCCDM所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2） 4221【解析】n（1）以点ASCDn(x,yzAMr证明；n（2）求得平面CDM的法向量为𝑛1=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，设直线SC与平面CDM所成角为q，由uuurursinqcos

SD,

SDSD

求解.【小问1详解】证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，0B(0200S(02M，AMSD02CD20).设平面SCD的法向量是n(x,y,z)，uuurrSDn0 x2z0,则r ，即x2y0.CDn0 Qz1x2y1n2QnAM011110，nAMr，n又QMSCD，AM//平面SCD.【小问2详解】Q点C的坐标为(2,2,0)，SC(2,2,2)，设平面CDM的法向量为𝑛1=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，QDM(1,1,1)，rr

x

2

0,CD 1 1即xy

0.1M0. 1 1 1rCDM2SCCDM则sinqcos

SD,

uuurur42314SD4242314