《单磁悬浮系统的原理与数学模型分析》3200字

单磁悬浮系统的原理与数学模型分析综述磁悬浮平台的工作原理磁悬浮系统包括间隙传感器，加速度计，磁悬浮电源变换器，悬浮电磁铁，悬浮控制器。

当在电磁线圈上加一定电流后，电磁铁内电磁线圈产生磁场，使浮体受到相应电磁吸引力。

若产生电磁引力超过浮体重力时，就会吸引浮动物体达到悬浮目的。

所以，要保持浮体稳定悬浮，就必须对电磁线圈电流进行调节，使得所产生电磁引力与悬浮体重量相当。

但电磁引力与重力的平衡属于非稳定平衡。

由于磁饱和现象以及电磁力与摩擦力之间存在非线性关系，使得控制系统具有很强的耦合性和不确定性。同时，在外界环境扰动下，系统往往不能够达到理想的跟踪效果。

所以如果外界的扰动是平衡的，那么就算系统只受微小的扰动也可能打破平衡的状态。

然而，由于悬浮体本身质量较大，使得该过程存在着很大的不确定性，导致控制系统不具有鲁棒性。另外，由于受到外界干扰的影响，也不能保证整个系统控制性能良好。

因此需要设计闭环控制反馈系统，对系统进行全面闭环控制。

间隙传感器可以直接测得悬浮体悬浮气隙尺寸并转换成位移信号。

接着，控制器基于传感器记录进行变换，运算和产生对应控制信号。

功率放大器收到控制电压并控制电磁铁输出电流从而在电磁线圈中产生对应电磁吸力。

所以当浮体和电磁铁间悬浮间隙变化时，需适时调节电磁线圈内电流并改变电磁力大小才能保证所停物体稳定悬浮于平衡位置左右。

由于电磁感应定律告诉我们：在同一时刻，任何两个相同导体间所产生的电磁场相等或近似相等。而这一规律又与磁饱和特性密切相关。当电磁铁处于饱和区时会发生严重的饱和现象。

所以要保证磁悬浮系统可靠运行，就必须对电磁铁电流即电磁线圈两端电压进行准确控制，才能保证磁场能稳定电磁强度及对应电磁悬浮力。单磁悬浮装置的数学模型单电磁悬浮系统机械结构如REF_Ref104151694\h图21所示，图中磁性导轨位于上方，电磁铁位于下方，该装置内部存在一对电磁铁。电磁铁的吸引力与排斥力保证了导向装置与导轨之间的距离即悬浮气隙的动态平衡。图STYLEREF2\s2SEQ图\*ARABIC\s21单电磁悬浮系统结构示意图电磁铁的漏磁现象以及两个相邻的电磁铁之间磁场的相互影响在本文中默认忽略不计，在假设的情况下，建立并分析单电磁悬浮系统的数学模型。设气隙间距是，各电磁铁的一个磁极所缠绕线圈数是，此电磁铁有的磁漏，作为气隙间的磁通，当磁悬浮装置受到外界影响后，受扰动干扰记作，流过的电流为，两极间的端电压为，作用在导轨上的电场力为，该方向上所对应的另一个电磁铁对此装置的作用力为。按照牛顿定理可列如下等式： 其中，式中为悬浮物的重量之和。REF_Ref104151891\h图22为该电磁铁的等效磁路图STYLEREF2\s2SEQ图\*ARABIC\s22电磁铁的磁通等效电路图其中，电磁铁上所绕线圈的磁动势为，电磁铁各电磁极和导轨气隙内磁阻为。 公式GOTOBUTTONZEqnNum561697REFZEqnNum561697\*Charformat\!(2.2)中：表示电磁铁的铁心横截面积；为真空磁导率。所述电磁铁的总磁阻由电磁铁的两磁极所对应两磁阻总和构成，即，综上所述有： 电磁铁所对应的气隙磁通为： 电磁铁线圈的电感为下式： 电磁铁单线圈的电磁吸力为，电磁铁的单一磁极的电磁力： 式GOTOBUTTONZEqnNum440623REFZEqnNum440623\*Charformat\!(2.7)为电磁铁与导轨间的间隙电压等式（以电流为变量）： 推导得单磁悬浮系统的数学模型为： 单磁悬浮模型的线性化处理由公式GOTOBUTTONZEqnNum431626REFZEqnNum431626\*Charformat\!(2.8)可知，所导出的单个磁悬浮装置数学模型是非线性的，应将数学模型线性化，以确保数学模型能达到线性化的要求。由于该模型存在参数不确定性及外部干扰，导致系统难以得到准确的线性解，必须将其线性化才能确保系统稳定。

针对一类不确定非线性动态系统，设计了一种新的自适应模糊控制方案，该算法通过在线学习模糊控制规则来实现对系统未知扰动的抑制以及跟踪误差的补偿，提高了系统的鲁棒性能和抗干扰能力。

常见的线性化方法有泰勒级数展开法等。单磁悬浮模型的反馈线性化利用精确状态反馈线性化方法处理磁悬浮装置数学模型。根据此系统的特点，将其分为线性子系统和非线性子系统两部分来讨论。最后分别对磁悬浮装置电压控制数学模型与电流控制数学模型进行推导。在对两个模型进行对比的同时，对两个模型之间的区别进行分析。两种数学模型的上述区别造成了两种模型应用受控对象的不同。（1）系统的电压控制模型式（2,8）可得，设单磁悬浮系统的状态变量分别为，，，设，为系统受到的影响系统正常工作的外部扰动，并且输出为。可推出状态方程为： 将代入式GOTOBUTTONZEqnNum440623REFZEqnNum440623\*Charformat\!(2.7)中，再结合单电磁悬浮系统的状态变量可以推导出电流的导数公式为： 将式GOTOBUTTONZEqnNum883115REFZEqnNum883115\*Charformat\!(2.6)与式GOTOBUTTONZEqnNum996408REFZEqnNum996408\*Charformat\!(2.10)代入式GOTOBUTTONZEqnNum319745REFZEqnNum319745\*Charformat\!(2.9)，得： 根据式GOTOBUTTONZEqnNum235360REFZEqnNum235360\*Charformat\!(2.11)，系统的非线性状态空间方程能够用下式表示： 设，，，，式GOTOBUTTONZEqnNum835641REFZEqnNum835641\*Charformat\!(2.12)可表述成： 在不考虑影响系统工作的外部扰动的条件下，根据上式可知： 通过对上述的式子进行化简可以得到，，，并且系统的相对阶为，可得知系统阶次与相对阶相同且满足定理规定的前提。使用的反馈规则为： 上式中，线性状态变量可由表示，则可变换为： 转换矩阵可以表示成： 根据式GOTOBUTTONZEqnNum840113REFZEqnNum840113\*Charformat\!(2.21)与式GOTOBUTTONZEqnNum148223REFZEqnNum148223\*Charformat\!(2.22)，可推出输入和输出之间有以下线性关系： 对原非线性系统进行线性化处理后能够得到以下状态空间方程： 由上式可见，这种单磁悬浮系统属于可控系统。所以只要选择恰当的系数，，就可以保证磁悬浮系统的全部极点处于复平面的左半平面内并从某种程度上表明系统的稳定性。REF_Ref104154767\h图23为对原系统进行线性化处理后产生的电压控制模型，可以知道该模型为三阶模型。图STYLEREF2\s2SEQ图\*ARABIC\s23反馈线性化后的电压控制模型图（2）系统的电流控制模型根据式GOTOBUTTONZEqnNum235360REFZEqnNum235360\*Charformat\!(2.11)，设为系统的状态变量，并以为系统输出，得到系统的状态空间方程如式GOTOBUTTONZEqnNum605930REFZEqnNum605930\*Charformat\!(2.25)： 定义、、与为：，，，设 则式GOTOBUTTONZEqnNum605930REFZEqnNum605930\*Charformat\!(2.25)能改写为： 在忽略系统中外部扰动时，利用式GOTOBUTTONZEqnNum335937REFZEqnNum335937\*Charformat\!(2.27)来判断系统是否符合要求。 根据上述式GOTOBUTTONZEqnNum813182REFZEqnNum813182\*Charformat\!(2.29)以及式GOTOBUTTONZEqnNum126130REFZEqnNum126130\*Charformat\!(2.30)可知，当系统的阶次与相对阶一致时满足该线性化方法的要求。所使用的规则如下： 式中，定义为线性化活动状态变量，对该变量进行如下变换： 则，能够推导出： 由式GOTOBUTTONZEqnNum716614REFZEqnNum716614\*Charformat\!(2.31)和式GOTOBUTTONZEqnNum385869REFZEqnNum385869\*Charformat\!(2.32)，可以对式GOTOBUTTONZEqnNum605930REFZEqnNum605930\*Charformat\!(2.25)进行线性化： 从而线性状态空间方程为： 根据式GOTOBUTTONZEqnNum978160REFZEqnNum978160\*Charformat\!(2.26)和式GOTOBUTTONZEqnNum716614REFZEqnNum716614\*Charformat\!(2.31)可以知道电压和电流两个控制量有如下关系： 因此可推出： 根据REF_Ref104578739\h图24可知，在对原系统进行线性化处理后能够得到一个二阶的数学模型来表述系统。图STYLEREF2\s2SEQ图\*ARABIC\s24反馈线性化后的电流控制模型框图考虑到模型的复杂性，电流控制模型的优点在于其为二阶系统模型且较简单的控制。但这一控制模型对实际问题的处理有点太简单了，和实际情况有很大的差距。所以，在研究磁悬浮系统时，采用高阶控制系统更为合适，因为其能够更好地描述磁悬浮系统的非线性特性和鲁棒性能等特点。另外，由于使用的数学工具不同。并且电压控制模型是三阶控制系统，比较适用于磁悬浮系统这一复杂控制结构，所以本课题选用电压控制数学模型，使得所生成的结构更加贴近实际情况。单磁悬浮模型的平衡点线性化传统的PID控制的控制规律是：，将其带入表达式可以得到 令，，，可以求出系统的两个奇点：，，，，，，。其中，因为奇点对于系统有同样的影响效果，都是靠近两奇点，系统工作性质也大体一致，因此本论文仅分析了靠近第一奇点的系统，预设了第二奇点和第一奇点有同样的效果。这里取已知系统在该奇点处所对应的线性方程为：可以得到在该奇点处所对应系数矩阵分别为：，,某磁悬浮系统的有关参数如REF_Ref104382553\h表21所示。表STYLEREF2\s2SEQ表\*ARABIC\s21系统参数将上面的参数带入矩阵可以得到：，，容易看出，系统为可控系统，利用软件对求出的参数矩阵进行运算可以求出控制参数：，，由此可以得出控制量的表达式为：相对于只能在理论上保证线性系统优越特性的平衡点反馈线性化的方法来说直接反馈线性化可以产生更有效的控制效果，但在实际非线性系统的使用中，控制系统的特性会有很大的不同。当系统参数不发生改变时，两种控制方式都可以实现系统的稳定悬浮，但平衡点反馈方法的设计参数与实际参数有明显不同，而直接反馈方法的实际参数