新课标2025版高考数学二轮复习专题六函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程及函数的应用学案文新人教A版

PAGE1-第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用[做真题]1．(2024·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)解析：选D.由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．留意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.2．(2024·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选B.f(x)＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx(1－cosx)，令f(x)＝0，则sinx＝0或cosx＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.3．(2024·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))解析：选C.因为函数y＝2x在R上是增函数，所以0<2－eq\f(3,2)<2－eq\f(2,3)<20＝1.因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log3eq\f(1,4)<log3eq\f(1,3)＝－1.因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且0<2－eq\f(3,2)<2－eq\f(2,3)<20＝1<log34，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))>f(log34)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4))).故选C.[明考情]1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，有时难度较大．2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．基本初等函数的图象及性质(综合型)[学问整合]指数与对数式的8个运算公式(1)am·an＝am＋n.(2)(am)n＝amn.(3)(ab)m＝ambm.(4)loga(MN)＝logaM＋logaN.(5)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(6)logaMn＝nlogaM.(7)alogaN＝N.(8)logaN＝eq\f(logbN,logba).注：(1)(2)(3)中，a>0，b>0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种状况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．[典型例题](1)(2024·湖南省五市十校联考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满意f(x－1)>eq\f(1,e2)－e2的x的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)(2)(2024·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1,f(a)＝4，则f(－a)＝________.【解析】(1)由f(x)＝ex－ae－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)>eq\f(1,e2)－e2＝f(－2)，所以x－1>－2，解得x>－1，故选B.(2)由f(a)＝ln(eq\r(1＋a2)－a)＋1＝4，得ln(eq\r(1＋a2)－a)＝3，所以f(－a)＝ln(eq\r(1＋a2)＋a)＋1＝－lneq\f(1,\r(1＋a2)＋a)＋1＝－ln(eq\r(1＋a2)－a)＋1＝－3＋1＝－2.【答案】(1)B(2)－2eq\a\vs4\al()探讨指数、对数函数的图象及性质应留意的问题(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特殊是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．(2)探讨对数函数的性质，应留意真数与底数的限制条件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝lnt的单调性，易忽视t>0的限制条件．[对点训练]1．(2024·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：选A.因为a＝log27>log24＝2，b＝log38<log39＝2，b＝log38>1，c＝0.30.2<1，所以c<b<a.故选A.2．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满意f(eq\f(2,a))>f(eq\f(3,a))，则f(1－eq\f(1,x))>0的解集为()A．(0，1) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：选C.因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而eq\f(2,a)<eq\f(3,a)且f(eq\f(2,a))>f(eq\f(3,a))，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递减，结合对数函数的图象与性质可由f(1－eq\f(1,x))>0，得0<1－eq\f(1,x)<1，所以x>1，故选C.函数的零点(综合型)[学问整合]函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．零点存在性定理假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[典型例题](1)(2024·福建市第一学期高三期末考试)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3(2)(2024·江西八所重点中学联考)已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(|x|)（x≤1）,－x2＋4x－2（x>1）))，若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，eq\f(1,2))∪[1，2) B．(0，eq\f(1,2))∪[1，2)C．(1，2) D．[1，2)【解析】(1)令f(x)＋3x＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－2x＋3x＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,1＋\f(1,x)＋3x＝0，))解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.(2)关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可得实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，2)，故选B.【答案】(1)C(2)Beq\a\vs4\al()利用函数零点的状况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分别参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟识的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解析：选B.因为a>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(x)为增函数，f(－1)＝eq\f(1,a)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．2．已知在区间(0，2]上的函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－3，x∈（0，1]，,2x－1－1，x∈（1，2]，))且g(x)＝f(x)－mx在区间(0，2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))解析：选A.由函数g(x)＝f(x)－mx在(0，2]内有且仅有两个不同的零点，得y＝f(x)，y＝mx在(0，2]内的图象有且仅有两个不同的交点．当y＝mx与y＝eq\f(1,x)－3在x∈(0，1]相切时，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－eq\f(9,4)，结合图象可得当－eq\f(9,4)<m≤－2或0<m≤eq\f(1,2)时，函数g(x)＝f(x)－mx在(0，2]内有且仅有两个不同的零点．函数的实际应用(综合型)[学问整合]构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类探讨思想求解．(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)模型，常用基本不等式、导数等学问求解．[典型例题](2024·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满意m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.1【解析】依据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，依据两颗星的星等与亮度满意m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，得lgeq\f(E1,E2)＝10.1，所以eq\f(E1,E2)＝1010.1，故选A.【答案】Aeq\a\vs4\al()应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：eq\f(读题,文字语言)⇒eq\f(建模,数学语言)⇒eq\f(求解,数学应用)⇒eq\f(反馈,检验作答).(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关学问加以综合解答．[对点训练]1．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元．解析：因为每件产品的售价为0.05万元，所以x千件产品的销售额为0.05×1000x＝50x万元．①当0<x<80时，年利润L(x)＝50x－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950，所以当x＝60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)＝950万元；②当x≥80时，L(x)＝50x－51x－eq\f(10000,x)＋1450－250＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤1200－2eq\r(x·\f(10000,x))＝1200－200＝1000，当且仅当x＝eq\f(10000,x)，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．由于950<1000，所以当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1000万元．答案：10002．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.假如在前5小时消退了10%的污染物，那么污染物削减19%须要花费的时间为________小时．解析：前5小时污染物消退了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，所以e－k＝eq\r(5,0.9)＝0.9eq\s\up6(\f(1,5))，所以P＝P0e－kt＝P0(0.9eq\s\up6(\f(1,5)))t.当污染物削减19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝(0.9eq\s\up6(\f(1,5)))t，解得t＝10，即须要花费10小时．答案：10一、选择题1．幂函数的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，则它的单调递增区间是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)解析：选D.设f(x)＝xa，则2a＝eq\f(1,4)，所以a＝－2，所以f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.2．函数f(x)＝－|x|－eq\r(x)＋3的零点所在区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：选B.函数f(x)＝－|x|－eq\r(x)＋3是单调减函数，因为f(1)＝1>0，f(2)＝1－eq\r(2)<0，所以f(1)f(2)<0，可知函数f(x)＝－|x|－eq\r(x)＋3的零点所在区间为(1，2)．3．(2024·蓉城名校第一次联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))\s\up6(\f(1,2))＋log4（2－x），x≤1,3x－8，x>1))，则f(f(log36))＝()A．1 B.eq\f(5,3)C.eq\f(5,2) D．－2解析：选B.因为log36>1，所以f(log36)＝3log36－8＝－2，所以f(f(log36))＝f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up6(\f(1,2))＋log4(2＋2)＝eq\f(2,3)＋1＝eq\f(5,3).故选B.4．(2024·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()解析：选B.水位由高变低，解除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.5．(2024·广东省七校联考)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－eq\f(1,2)，则()A．x<y<z B．y<z<xC．z<x<y D．z<y<x解析：选B.因为lnπ>1，0<log52<1，0<e－eq\f(1,2)<1，所以x最大．因为2<eq\r(5)，所以0<log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2).因为e<4，所以eeq\s\up6(\f(1,2))<2，即eq\f(1,2)<ln2，所以－eq\f(1,2)>－ln2＝lneq\f(1,2)，所以e－eq\f(1,2)>elneq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以z>y.综上可知，x>z>y，故选B.6．(2024·贵阳市第一学期监测)若函数f(x)＝x2，设a＝log54，b＝logeq\s\do9(\f(1,5))eq\f(1,3)，c＝2eq\s\up6(\f(1,5))，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是()A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)解析：选D.f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，而0<logeq\s\do9(\f(1,5))eq\f(1,3)＝log53<log54<1<2eq\s\up6(\f(1,5))，所以f(b)<f(a)<f(c)，选D.7．(2024·唐山市摸底考试)已知函数f(x)＝sinx－sin3x，x∈[0，2π]，则f(x)的全部零点之和等于()A．5π B．6πC．7π D．8π解析：选C.f(x)＝sinx－sin3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos2xsinx，令f(x)＝0,可得cos2x＝0或sinx＝0，因为x∈[0，2π]，所以2x∈[0，4π]，由cos2x＝0可得2x＝eq\f(π,2)或2x＝eq\f(3π,2)或2x＝eq\f(5π,2)或2x＝eq\f(7π,2)，所以x＝eq\f(π,4)或x＝eq\f(3π,4)或x＝eq\f(5π,4)或x＝eq\f(7π,4)，由sinx＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，因为eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)＋eq\f(5π,4)＋eq\f(7π,4)＋0＋π＋2π＝7π，所以f(x)的全部零点之和等于7π，故选C.8．(2024·重庆市学业质量调研)已知函数f(x)＝2x＋log3eq\f(2＋x,2－x)，若不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))>3成立，则实数m的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(－∞，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：选D.由eq\f(2＋x,2－x)>0得x∈(－2，2)，又y＝2x在(－2，2)上单调递增，y＝log3eq\f(2＋x,2－x)＝log3eq\f(x－2＋4,2－x)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(4,x－2)))在(－2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)＝3，所以不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))>3成立等价于不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))>f(1)成立，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<\f(1,m)<2，,\f(1,m)>1，))解得eq\f(1,2)<m<1，故选D.9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f（lnx）－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x))))),2)<f(1)，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) B．(0，e)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e)) D．(e，＋∞)解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(lnx)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))＝f(lnx)－f(－lnx)＝f(lnx)＋f(lnx)＝2f(lnx)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f（lnx）－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x))))),2)<f(1)等价于|f(lnx)|<f(1)，又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1<lnx<1，解得eq\f(1,e)<x<e.10．(2024·河北省九校其次次联考)若函数f(x)＝kx－|x－e－x|有两个正实数零点，则k的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(0，eq\f(1,e))C．(0，1) D．(0，e)解析：选C.令f(x)＝kx－|x－e－x|＝0，得kx＝|x－e－x|，当x>0时，k＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－e－x,x)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,xex)))，令g(x)＝1－eq\f(1,xex)，x>0，则g′(x)＝eq\f(1＋x,x2ex)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(eq\f(1,2))＝1－eq\f(2,\r(e))<0，g(1)＝1－eq\f(1,e)>0，所以在(eq\f(1,2)，1)上存在一个a，使得g(a)＝0，所以y＝|g(x)|的图象如图所示．由题意知，直线y＝k与y＝|g(x)|的图象有两个交点，所以0<k<1，故选C.二、填空题11．已知函数y＝4ax－9－1(a＞0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则logmn＝________．解析：依题意知，当x－9＝0，即x＝9时，y＝4－1＝3，故定点为(9，3)，所以m＝9，n＝3，故logmn＝log93＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)12．(2024·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________．解析：当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)＝8，所以a＝－3.答案：－313．某工厂常年生产红木家具，依据预料可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2014年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x＋a.则你认为最适合的函数模型的序号为________．解析：若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x＋a，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝ax＋b，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4,3a＋b＝7))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2),b＝\f(5,2))).所以f(x)＝eq\f(3,2)x＋eq\f(5,2)，x∈N，所以最适合的函数模型的序号为①.答案：①14．对于实数a，b，定义运算“⊗”：a⊗b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－ab，a≤b，,b2－ab，a>b，))设f(x)＝(2x－1)⊗(x－1)，且关于x的方程f(x)－m＝0恰有三个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．解析：由2x－1≤x－1可得x≤0，由2x－1>x－1可得x>0.所以依据题意得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x－1）2－（2x－1）（x－1），x≤0，,（x－1）2－（2x－1）（x－1），x>0，))即f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2－x，x≤0，,x－x2，x>0，))画出函数的图象，从图象上视察当关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y＝m有三个不同的交点，再依据函数的极大值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，可得m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))三、解答题15．某企业为打入国际市场，确定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)项