河南省部分示范性高中2025届高三上学期12月联考数学试题（解析版）

第1页/共1页2025年普通高等学校全国统一模拟招生考试12月联考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，再根据交集的定义即可得出答案.【详解】由或，则.故选：B2.复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数的乘除法运算结合复数的几何意义可得；【详解】由，所以复数在复平面内所对应点为，位于第三象限．故选：C．3.已知函数的图象关于点中心对称，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦函数的对称性列方程求解的值即可.【详解】因为函数的图象关于点中心对称，所以，有，又由，所以.故选：A．4.北京某校高二年级上学期期中考试历史试卷满分为100分，60分以上（含60分）为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的历史成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.5，标准差为10，则该次历史考试及格的人数约为（）附：若，则，，．A.120人 B.122人 C.124人 D.127人【答案】D【解析】【分析】求出历史成绩的平均分，故，，又，由对称性得到，从而得到答案.【详解】历史成绩的平均分为，故，则，又，则，故该次历史考试及格的人数约为.故选：D5.已知双曲线的离心率为，若直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的离心率求出，再结合双曲线性质求出的范围.【详解】由，得，则双曲线的渐近线方程为，当直线在双曲线的两条渐近线所夹含轴的区域内（包含两条渐近线）时，直线与双曲线没有公共点，所以实数的取值范围为.故选：B6.在中，内角所对的边分别为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由正弦定理边化角和余弦定理计算即可；【详解】由可得，进而可得，可得，又，有，即，因式分解可得可得或，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A.7.已知正数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代换后由基本不等式得最小值．【详解】由，有，有，有，，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．故选：C．8.已知（其中e为自然对数的底数），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】构造函数，求导分析单调性可得；【详解】由，令则，可得单调递减，又可得，则，综上可得，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够发现，进而相似构造函数.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数是定义在上的奇函数，则（）A.B.函数为奇函数C.函数为偶函数D.当时，若，则不等式的解集为【答案】AB【解析】【分析】由奇函数定义即可求解以及判断函数和奇偶性判断ABC；由单调性定义和奇偶性得，解该不等式即可得解判断D.【详解】对于A选项，因为函数为奇函数，所以，所以即，故，故A选项正确；对于B选项，函数定义域为，所以函数定义域为，又，故函数为奇函数，故B选项正确；对于C选项，由题，又由函数为奇函数，可得函数为奇函数，故C选项错误；对于D选项，由题设可知函数单调递增，不等式可化为，所以有，解得，故D选项错误.故选：AB.10.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥SO（其中为顶点，为底面圆心），已知圆锥的侧面积和表面积分别为和，则下列说法正确的是（）A.圆锥的体积为B.圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为C.圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为D.若是中点，过点且与圆锥底面平行的平面将圆锥分成两部分，这两部分的体积分别为，则【答案】AC【解析】【分析】求出圆锥的底面半径、高、母线长，逐项求解判断可得答案.【详解】对于A，如图，点是底面圆周上一点，设，则，解得，由得，所以，所以，故A正确；对于B，圆锥的母线与底面所成的角为，所以，故B错误；对于C，圆锥侧面展开图的面积为，解得，故C正确；对于D，如图，截的小圆锥的底面半径为，高为，则截的小圆锥的体积为，由得这两部分的体积分别为，则，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则（）A.当，时，直线与曲线相切B.当时，函数的减区间为C.当时，若函数有3个零点，则实数的取值范围为D.当，时，若（其中），有【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由切线斜率为1求出切点，结合点斜式即可判断A；求导，根据导数正负情况即可判断B；由函数的单调性和极值以及零点即可求解判断C；由函数的零点情况，结合和基本不等式即可求解判断D.【详解】对于A选项，当，时，，有，若，解得或，由，可得与曲线相切，故A选项正确；对于B选项，，当时，由，有，故函数的减区间为，故B选项错误；对于C选项，当时，，所以由B可知函数在上单调递增，在上单调递减，又，，极大值，故若函数有3个零点，则实数的取值范围为，故C选项正确；对于D选项，当，时，，由，若（其中），则有，有，可得，有，又由，有，可得，故D选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：求证的关键1是先由即结合立方和公式化简得到，关键2是利用基本不等式得到关于的不等关系得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，且，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】由向量垂直、数量积的运算、夹角的运算计算即可；【详解】设向量与的夹角为，因为，且，则，可得，所以，又，所以.故答案为：.13.已知，满足，，则________．【答案】##【解析】【分析】由余弦二倍角公式，正弦二倍角公式，同角的三角函数关系计算即可；【详解】由，，有．故答案为：14.已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为线段的中点，直线与椭圆交于两点，若的周长为16，则椭圆的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】由椭圆的性质得到的周长为16即，求出即可；【详解】设椭圆焦距为，由题意有，有，所以，可得为等边三角形，又为线段的中点，可得是线段的垂直平分线，所以，又的周长为16，有，所以，所以椭圆的标准方程为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用椭圆的性质将的周长表示为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过等比数列中项公式和等差数列性质求得通项即可；（2）利用等差数列的前项和公式以及裂项相消法求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，，由，且，，成等比数列，有，解得或（舍去），有，所以数列的通项公式为；【小问2详解】由，有，有，可得.16.某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名大学生中任选4人参加比赛．（1）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件，求；（2）设所选的4人中男生和女生的人数分别为，记，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为.【解析】【分析】（1）先求出，，从而利用条件概率公式求出概率；（2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望.【小问1详解】男生甲没有被选中，则从剩余的7人中任选4人，故，男生甲没有被选中，且女生乙被选中，则从剩余的6人中选择3人，故，所以；【小问2详解】的情况一共有，故的可能取值为4,2,0，当时，即选择了4名男生或4名女生，则，当时，即选择了3名男生和1名女生或3名女生和1名男生，则，当时，即选择了2名男生和2名女生，则，故随机变量的分布列为420数学期望为.17.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面是的中点，是的中点．（1）若平面平面直线，证明：直线；（2）若，直线与平面相交于点，求平面和平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理可得；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用四点共面求出，再分别求出平面和平面的法向量，代入空间向量的二面角公式求解即可；【小问1详解】如图，连接，因为，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面，平面平面，所以直线.【小问2详解】因为平面，，以向量方向分别为建立如图所示的空间直角坐标系，，设，有，可得，由四点共面，有，有，即，即，解得，可得，设平面的法向量为，则，取可得，设平面的法向量为，由，，则，取，可得，所以，所以平面和平面的夹角的余弦值为.18.约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件：①函数在区间上连续（函数图象没有间断）；②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”．（1）求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数；（2）对于任意的实数，，证明：；（3）已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求f′x，再根据“拉格朗日中值点”的定义令（2）设，分和两种情况讨论，利用拉格朗日中值定理有，结合即可求证；（3）对函数二次求导，利用拉格朗日中值定理，结合函数的单调性即可证明.【小问1详解】因为，，，，所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为.【小问2详解】设，有，易知函数φx在R当时，显然有，当时，不妨设，由拉格朗日中值定理可知，存在，使得，有，又由，有，可得，由上知，不等式成立.【小问3详解】由，有，又由，设，有，可得函数单调递增，由拉格朗日中值定理可知，存在，使得，同理可知，存在，使得，又由和函数单调递增，有，有，由化简可得，故不等式成立．【点睛】关键点点睛：本题关键在于能够将问题与拉格朗日中值定理联系并结合导数解决问题.19.已知点（其中）是抛物线上的两点．点为抛物线上异于原点的任意一点，过点作抛物线的切线与轴交于点，过点且与直线的倾斜角互补的直线交抛物线于另一点，过点作抛物线的切线与轴交于点．（1）求抛物线的标准方程；（2）若以线段为直径的圆与直线相切，求点的纵坐标；（3）若直线与相交于点，记的面积为，的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）点代入抛物线方程，求出，得到抛物线方程；（2）设点，，设直线的方程，联立抛物线方程，消去，根据相切得到，求出直线的方程为，求出点坐标为，由直线的倾斜角互补，可得直线的方程，联立抛物线方程，求出，由直线的方程，可知直线的方程和点，得到，若以线段为直径的圆与直线相切，到直线的距离等于，从而得到方程，求出的纵坐标为；（3）联立直线和的方程，求出点的坐标，从而得，，由三角形面积公式得到.【小问1详解】将点代入抛物线中，得，由于，解得，故抛物线的标准方程为；【小问2详解】设点，其中，直线的方程为，整理得，联