湖南省常德市学校联盟2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）

第1页/共1页常德市优质高中学校联盟·2024年下学期高一期末质量检测数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式化简即可求解.【详解】由诱导公式可得，则.故选：A2.已知集合，，则（）A. B.⫋C.⫋ D.【答案】C【解析】【分析】将集合化简变形即可求解.【详解】由题意可得，故⫋.故选：C.3.已知命题，命题，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数的性质先判断出命题为假命题，根据含有一个量词的命题的否定的概念可知是真命题；再指数函数的性质可判断命题为真命题，即可求解．【详解】对于命题，由于，，所以是假命题，是真命题；对于命题，令，由于，所以，命题等价于：，，为真命题，所以为假命题.故选：B.4.已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据可得，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】由题意可得，当时，.由在区间上单调递增，则，解得，即的最大值为.故选：B.5.设，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由换底公式及对数运算即可求解.【详解】由换底公式可得.故选：D.6.已知是第三象限角，是方程的两根，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两根之积可确定的值，再根据两根之和可求的值.【详解】因为是方程的两根，则由韦达定理得.又因为是第三象限角，所以，故，故.故选：B7.在房屋装修时常需要喷洒药剂消毒.已知某种药剂的平衡浓度为（单位：摩尔/升），喷洒后的浓度与滞留时间（单位：天）满足关系式.现用该种药剂进行室内消毒，则其浓度从降至所需要的时间大约为（）（参考数据：）A.0.46天 B.0.56天 C.0.73天 D.0.88天【答案】A【解析】【分析】利用药剂浓度从降至所需要的时间减去浓度从降至所需要的时间即可求解.【详解】设药剂浓度从降至所需要的时间为，浓度从降至所需要的时间为，则浓度从降至所需要的时间为.由题意可得，两式相除，得到0.46，故所需要的时间大约为0.46天，故选：A.8.已知正数满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简原等式为，构造函数fx=2【详解】由，可得，构造函数fx因为都是增函数，所以在0,+∞上递增，则，且，所以，又在0,+∞单调递增，所以，故，故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某扇形纸片周长和圆心角分别为44和2，则（）A.该扇形纸片的半径为12 B.该扇形纸片的半径为11C.该扇形纸片的面积为121 D.该扇形纸片的面积为125【答案】BC【解析】【分析】设该扇形的半径为，弧长为，根据题意列式求，进而可得面积.【详解】设该扇形的半径为，弧长为，则，解得，所以该扇形的面积.结合选项可知AD错误，BC正确故选：BC.10.在下列区间中，函数一定存在零点的有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】对于A：分析可知当时，；对于BD：根据零点存在性定理分析判断；对于C：令，可得，结合函数图像分析判断.【详解】对于选项A：当时，，可得，所以函数在上一定不存在零点，故A错误；对于选项B：因为，，可知函数在上一定存在零点，所以函数在上一定存在零点，故B正确；对于选项C：令，即，由图像可知：在上无交点，所以函数在上一定不存在零点，故C错误；对于选项D：因为，所以函数在上一定存在零点，故D正确.故选：BD.11.已知函数，则（）A.为偶函数B.在上单调递增C.若，则的最小值为3D.若恒成立，则的最大值为6【答案】ABD【解析】【分析】根据偶函数的定义即可判断选项A；根据单调性的定义即可判断选项B；根据函数的奇偶性及单调性，即可判断选项C；分离参数后结合基本不等式即可求解，进而判断选项D.【详解】因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确；设，则，因为，所以.因为，，所以，因此，所以，故在上单调递增，故B正确；因为为偶函数，且在上单调递增，所以，两边同时平方，整理得，故，故无最小值，故C错误；由于在上单调递增，在上单调递减，所以，故可整理为，令，则，故在上恒成立.因为，当且仅当时取等，故，即的最大值为6.故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性、奇偶性、利用函数的单调性和奇偶性解函数函数不等式以及函数不等式恒成立问题.（1）定义法证明函数的奇偶性时，需要先说明函数的定义域关于原点对称；（2）定义法证明函数的单调性的步骤：假设、作差、变形、判断符号、得出结论.（3）不等式恒成立问题通常可参变分离求最值.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据指数运算可知函数，求使有意义的取值范围即可求解定义域.【详解】因为，所以，即，故函数的定义域为.故答案为：.13.若将函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】由题可知是该函数周期的整数倍，结合计算即可求解.【详解】由题可知是该函数周期的整数倍，即，解得.又，故其最小值为.故答案为：.14.已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】分析可知的定义域为，且，即可得结果.【详解】令，解得，可知的定义域为，又因为，所以函数的图象关于点对称.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据齐次式，结合弦切互化即可求解，（2）平方可得，即可求解.【详解】（1）由，可得.（2），，因为.16.设集合A=x（1）若，求；（2）若是的必要条件，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】(1)先求集合，再求，根据集合的运算即可求；（2）若是的必要条件，则，即可求解.【小问1详解】因为，所以，解得，所以，则或，若，则，故；【小问2详解】因为，若是的必要条件，则，故，故.17.已知幂函数.（1）用定义法证明在上单调递增；（2）设函数，求在上的值域.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义求，再结合单调性的定义分析证明；（2）根据题意化简的解析式，进而判断单调性和最值.【小问1详解】因为为幂函数，则，解得或，又因为，则，所以，可知的定义域为，设，则，因，则，且，可得，即，所以在上单调递增.【小问2详解】由题意可得gx因为在上单调递增，则在0,4上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，且，可知在上的最大值为1，所以在上的值域为.18.已知函数.（1）将的图象向左平移个单位后得到的函数图象关于轴对称，求的最小值；（2）若函数在上的最大值为大于4的整数，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，再利用函数平移变换的性质得到平移后解析式，最后借助关于轴对称性质计算即可得解；（2）结合三角函数性质可得，再借助换元法设，则，结合单调性计算即可得解.小问1详解】由题意可得，将的图象向左平移个单位后得到，依题意可得，则，因为，所以的最小值为；【小问2详解】因为，则，则.设，则，因为，所以为减函数，故的最大值为，又的最大值为大于4的整数，且，所以，即.19.若对于定义域为的函数满足：，则称为“月光函数”.若对于定义域为的函数满足：，则称为“玫瑰函数”.（1）探究函数是否为“月光函数”；（2）证明：函数是“玫瑰函数”；（3）判断值域为的“月光函数”是否为“玫瑰函数”？若是，给出证明；若不是，说明理由.【答案】（1）不是（2）证明见解析（3）函数是“玫瑰函数”，证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法，结合“月光函数”的定义即可判断，（2）根据