甘肃省2024-2025学年高一上学期期末学业质量监测数学试卷（解析版）

第1页/共1页2024~2025学年第一学期期末学业质量监测卷高一数学（120分钟150分）1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合，再利用并集概念得到答案.【详解】根据题意，，，所以.故选：B.2.已知函数则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分段函数，先求得再求解.【详解】解：因为，所以.故选：D.3.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的单调性求出的范围，根据对数函数的单调性求出的范围，根据三角函数的符号判断求出的范围，即可下结论.【详解】，由于为第二象限角，故，故.故选：D.4.把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可.【详解】由题意可知，要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象.故选：D.5.已知函数，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的性质，利用配凑思想代入求解即可.【详解】因为，所以.故选：C.6.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用幂函数的定义和性质，求得，得到，再结合指数型函数的图象性质求解即可.【详解】因为幂函数在区间0,+∞上单调递增，则，解得，所以，则，即函数的图象过定点.故选：A.7.已知函数，若（其中），则的最小值为（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.【详解】，由，且，即，当且仅当，即时等号成立，故最小值为，故选：B.8.已知函数的部分图象如图所示，则等于（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图象求出函数的解析式，利用对称性求解一个周期内的值，进而利用周期性求解即可.【详解】由的图象可知，，周期，故，又且，可得，故.又根据函数图象的对称性可知，所以，所以，故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据特殊值、不等式的性质和作差法判断即可.【详解】A选项：，但是，所以A不正确；B选项：因为成立，则，又，所以，B正确；C选项：若，则，所以，C正确；D选项：因为，则，又，所以，D正确；故选：BCD10.若角的终边在第四象限，则的值可能为（）A.0 B.4 C.6 D.【答案】CD【解析】【分析】根据终边角的定义确定为第二象限角或第四象限角.分类讨论是第二、四象限角，结合三角函数的符号判断即可求解.【详解】由角的终边在第四象限，得，则，因此是第二象限角或第四象限角.当是第二象限角时，；当是第四象限角时，.故选：CD.11.已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BD【解析】分析】令，可得，讨论y=fx与图象位置关系求解即可.【详解】由题意，作出函数的图象如图.令，则函数，即，即，即.由题意函数所有零点乘积为1，可知的所有解的乘积为1，而的解可看作函数y=fx的图象与直线的交点的横坐标.结合的图象可知，当时，函数y=fx的图象与直线有2个交点，不妨设交点横坐标为，则，且，即，所以，所以，符合题意；当时，函数y=fx的图象与直线有3个交点，其中只有最左侧交点的横坐标小于等于0，则的所有解的乘积小于等于0，不合题意；当时，函数y=fx的图象与直线有2个交点，不妨设交点横坐标为，则，且，即，所以，所以，符合题意.综合以上，可知实数的取值范围为，故选：BD.【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1；（2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论解决问题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的值域为，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由对数函数的图象与性质知函数的值域满足，令即可求解.【详解】因为的值域为，所以函数值域满足，所以，解得.故答案为：.13.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】将所求因式的二次项部分除以，把分式的分子分母同时除以，把代入求解即可.【详解】由易知，又因为，所以.故答案为：.14.设是定义在上的奇函数，对任意的，满足，若，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】由题意构造函数，进而得出的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性与单调性解不等式即可.【详解】令，由是定义在上的奇函数，可得是定义在上的偶函数.由对任意的，满足，可得在上单调递增，由，可得，所以在上单调递减，且.不等式，即为，可得或即或解得或.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，根据函数奇偶性与单调性解不等式亦为关键.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合或.（1）当时，求；（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）根据集合间的运算可得；（2）根据题意⫋，根据和分类可得.【小问1详解】当时，.因为或，所以或.【小问2详解】因为或，所以.因为“”是“”的充分不必要条件，所以⫋.当时，符合题意，此时有，解得.当时，要使⫋，只需解得.综上可得，即实数的取值范围是16.随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利.根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足，平均每班地铁的载客人数（单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系（1）若平均每班地铁的载客人数不超过1860人，试求发车时间间隔的取值范围；（2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.【答案】（1）.（2）发车时间间隔为7分钟，最大净收益为260元.【解析】【分析】（1）根据题意列出不等式求解即可；（2）根据题意求出的解析式，利用基本不等式或函数单调性求解即可.【小问1详解】当时，超过1860，所以不满足题意；当时，，载客人数不超过1860，即，解得或，由于，所以，可知的取值范围是.【小问2详解】根据题意，则根据基本不等式，，当且仅当，即时取得等号，所以即当时，每分钟的净收益的最大值为260元.当时，单调递减，，即当时，每分钟的净收益的最大值为220元.综上所述，当发车时间间隔为7时，平均每班地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.17.已知，函数是奇函数，.（1）求实数的值；（2）若，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）5（2）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义，建立方程，结合对数运算，经过验根，可得答案；（2）利用复合函数单调性，求得函数在对应区间上的最小值，由题意化简不等式，可得答案.【小问1详解】因为函数是奇函数，所以，即，即，解得，因为，所以.当时，，此时的定义域为，关于原点对称，满足题意.综上，.【小问2详解】由题意得，，由（1）知，，易得在上单调递增，故.，当时，，所以当时，，所以，解得，即实数的取值范围为.18.设函数.（1）求函数在上的最大值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）令，根据正弦函数有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系分别求解即可；（2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可；（3）利用换元法将问题转化为二次函数在−1,1上有两个零点求的范围，将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围即可.【小问1详解】令，则变为，①当，即时，，②当，即时，，③当，即时，，综上可知，.【小问2详解】若要，则需，当时，，函数y=fx变为，所求问题变为恒成立，易知的图象是开口向下的抛物线的一部分，最小值一定在区间端点处取得，所以有，解得，故的取值范围是；【小问3详解】令.由题意可知，当时，关于的方程在时有两个不等实数解，所以原题可转化为在−1,1内有两个不等实数根，令，则有，解得，即的取值范围是.19.定义在上的函数是单调函数，，且.（1）求，判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0，奇函数.（2）函数在上为增函数，证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）赋值法得到，令，可得f−x=−fx（2）任取，且，则，从而证明出为R上的增函数；（3）变形后，结合函数的奇偶性和单调性得到，令，其中，得到为偶函数，定义法得到在上单调递增，则当时，，求出，令，则，令，其中，由单调性求出，则，因此，实数的取值范围是.【小问1详解】在等式中，令，可得，解得.因为函数的定义域为R，令，可得，所以f−x=−fx因此，函数为奇函数.【小问2详解】函数为R上的增函数.证明过程如下：任取，且，则，所以.因为，所以，所以，函数在R上为增函数.【小问3详解】由存在使得，可得.因为函数在R上为增函数，则.令，其中，则，即函数为偶函数，任取，且，则，因为，则，则，所以，则，所以，函数在上