统计软件SAS讲义方差分析

第八章方差分析一、方差分析的基本原理二、方差分析模型三、方差分析的步骤四、方差分析的实例五、均数的多重比较六、方差分析的条件及数据转换第一节方差分析的基本原理一、方差分析的功用以前学习了一、二个样本的u测验、t测验，唯独没有提到对可量资料多个总体平均数的测验。本章中就讨论对可量资料多个总体平均数的测验方法，那就是方差分析(AnalysisofVariance，或简称ANOVA)方差分析的功用是对多个总体平均数的差异显著性进行测验的方法。它是一个强有力的统计分析工具。例：25420C51022第一节方差分析的基本原理二、方差分析的种类：1、单因子试验的方差分析；（1）单方面分类的方差分析----完全随机排列等；类内次数相等的单方面分类的方差分析；类内次数不等的单方面分类的方差分析；（2）双方面分类的方差分析----随机区组设计、配对法等；（3）三方面分类的方差分析----拉丁方设计；2、复因子试验的方差分析；（1）复因子试验的方差分析----随机区组设计等（2）复因子试验的方差分析----随机区组设计等第一节方差分析的基本原理三、方差分析的思路（1）方差分析的基本思路是将试验数据的总变异分解为已知的若干可控因素引起的变异；（2）总变异减去这些可控因素引起的变异后，把剩余的变异当作为由误差引起的；（3）再将要考察的因素引起的变异与误差引起的变异比较；（4）如果考察的因素引起的变异显著地大于误差引起的变异，便判定该因素对试验指标有显著的效应。第一节方差分析的基本原理四、方差的分解设有一影响因子A有a（a≥3）个水平，在每一水平上有m个重复观测值，则该资料共有am个观测值，试分析因子A的各个水平之间有无显著差异。1、方差分析的基本符号mm2A因素观测值

xij

xij组均值j1j1mm

x12jx11x12x1mx2mxx11

1j

x2jj1j1m

x2jm2

x2j2x21x22x2j1j1.....,mm

xaj

xaj2axa1xa2xamj1j1xaaamam2

xij

xiji1i11ji11j1、方差分析的基本符号m

xaj=++…+xa1xa2xamj1m2222

xaj=++…+xa1xa1xamj1amm

x1jm

x2jm2=++…+222

xij

xaji11jj1j1j1amT2Tx矫正数:CT

ijami11j2、总平方和的分解总平均值:ama11x

xijxiami111jai总变异平方和:am2SST

xijxi11j2、总平方和的分解am2am2SST

xijx

xijxi

xixi11ji11jam2amam2

xijxi2

xijxi

xix

xixi11ji11ji11jam中间项:

xijxixix0i11j2、总平方和的分解am2am2SST

xijxi

xixi11ji11j总平方和分解为组间平方和和误差平方和。am2组间平方和:SSA

xijxii11jam2误差平方和:SSe

xixi11j2、总平方和的分解计算总平方和、组间平方和、误差平方和am2SST

xijCTi11jam2

Tia2SSA

xijxi

i1CTi11jmSSeSSTSSA3、总自由度的分解各种自由度的计算：（1）总自由度dfT=am-1（2）组间自由度dfA=a-1（3）组内自由度dfe=a(m-1)第二节单方面分类的方差分析例：整地深度对比试验，试分析不同的整地深度对苗木的高生长有否显著的影响？整地深度苗高生长观测值Xij15202530687673647170747680828179859089909510410199分析造成差异的原因？1、整地深度不同2、每株的环境不一第二节单方面分类的方差分析单方面分类的方差分析：SS总=SS组间+SS误差即SST=SSA+SSe所谓类间即品种间或处理间等等。第二节双方面分类的方差分析随机区组设计品种比较试验，8个品种（含对照），三次重复ECFA对DBG瘦区组Ⅰ照FGB对照EDCEA区组ⅡDAGBF对照C区组Ⅲ肥第二节双方面分类的方差分析分析造成差异的原因？1、品种间2、区组间3、机误第二节双方面分类的方差分析双方面分类的方差分析：SS总=SS区组间+SS类间+SS误差即SST=SSB+SSA+SSe所谓类间即品种间或处理间等等。第二节双方面分类的方差分析矫正数及各种平方和计算：（1）矫正数=总和平方/观测值的个数（2）总平方和=平方总和-矫正数（3）区组间平方和=（各区组之和平方后相加/重复数）-矫正数（4）类间平方和=（各类之和平方后相加/重复数）-矫正数（5）误差平方和=总平方和-组间平方和－类间平方和第二节三方面分类的方差分析5*5拉丁方设计DEABCACEDBEDCAEABBDCABCED第二节三方面分类的方差分析分析造成差异的原因？1、横行间2、直行间3、类间4、机误第二节三方面分类的方差分析三方面分类的方差分析：SS总=SS横行间+SS直行间+SS类间+SS误差即SST=SSA+SSB+SSt+SSe所谓类间即品种间或处理间等等。第二节三方面分类的方差分析矫正数及各种平方和计算：（1）矫正数=总和平方/观测值的个数（2）总平方和=平方总和-矫正数（3）横行间平方和=（各横行之和平方后相加/重复数）-矫正数（4）直行间平方和=（各直行之和平方后相加/重复数）-矫正数（5）某因子间平方和=（该因子个水平之和平方后相加/重复数）-矫正数（6）误差平方和=总平方和-横行间平方和-直行间平方和-某因子间平方和第三节方差分析的步骤：分为四个步骤：第一步：对所研究的总体参数提出假设第二步：计算矫正数及各种平方和第三步：列方差分析表并进行F测验第四步：若F测验达显著，则进行多重比较第三节方差分析的步骤：第一步：作测验的假设原假设HO：1＝2＝…＝a备择假设HA：并非所有i都相等第三节方差分析的步骤：第二步：计算矫正数及各种平方和（1）矫正数=总和平方/观测值的个数（2）总平方和=平方总和-矫正数（3）组间平方和=（各组之和平方后相加/重复数）-矫正数（4）误差平方和=总平方和-组间平方和第三节方差分析的步骤：第三步：作方差分析表并作F测验：变异来源自由度平方方差FF0.05F0.01显和著性*组间a-1s2SSAAdfsedfsA2SSASSeSSTFs2Ae误差a(m-1)2SSesedfe总和am-1第四步：F测验结论：第四节方差分析实例第一步：作测验的假设HO:A=B=C=D即各种整地深度对苗木的生长影响是一样的。HA:并非所有i都相等第二步：计算矫正数及各种平方和（1）矫正数=总和平方/观测值的个数=16472/4*5=135630.45第四节方差分析实例（2）总平方和=平方总和-矫正数=138133-135630.45=2502.55（3）组间平方和=(各组之和平方后相加/重复数)-矫正数=(688725/5)-135630.45=2114.55（4）误差平方和=总平方和-组间平方和=2502.55-2114.55=388.00第四节方差分析实例第三步：作方差分析表并作F测验：变异来源自由度平方和方差FF0.05F0.01显著性A因素剩余e32114.55388.00704.8524.2529.063.245.29**16总和192502.55F测验结论：整地的不同深度对苗木生长有极显著影响第五节平均数间的多重比较多重比较的三种方法：1、最小显著差数法（LSD法或t测验法）2、新复极差法（SSR法或称邓肯q测验）3、Tukey法（HSD法或称图基q测验）第五节多重比较1、最小显著差数法（LSD法）在上面的两两比较中，各自的t用各自的sxixj计算。2se2sd

mLSD0.05t0.05sdLSD0.01t0.01sdm为重复数df=误差自由度=16表7.5例7.1的多重比较梯形表（LSD法）处理名称平均数与15比与20比与25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.4*6.0224.25t2.120,sd3.1145LSD0.05t0.05sd2.1203.11456.54050.05t0.012.921,5LSD0.01t0.01sd2.9213.11459.0975表7.5例7.1的多重比较梯形表（LSD法）处理名称平均数与15比与20比与25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.4*6.0标记字母法标记字母法处理平均数差异显著性=0.05=0.01LSD0.056.5405LSD0.019.09753025201597.884.876.470.4abccABCBC表7.5例7.1的多重比较梯形表（LSD法）处理名称平均数与15比与20比与25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.4*6.0划线法＝0.05时97.8(30)84.8(25)76.4(20)70.4(15)--------------------------------------------------------第五节多重比较2、新复极差法（SSR法或称邓肯q测验）(1)计算抽样误差：se224sx2.19095m(2)计算比较标准：LSR0.05SSR0.05sxLSR0.01SSR0.01sx2、新复极差法（SSR法或称邓肯q测验）(2)计算比较标准：sx2.1909P处理数234SSR0.05SSR3.004.133.154.343.234.450.01LSR0.05SSR0.05sx3.002.19096.5727LSR0.01SSR0.01sx4.132.19099.04842、新复极差法（SSR法或称邓肯q测验）(2)计算比较标准：sx2.1909P处理数234SSR0.05SSR3.004.133.154.343.234.450.01LSR0.05SSR0.05sx3.152.19096.9013LSR0.01SSR0.01sx4.342.19099.50852、新复极差法（SSR法或称邓肯q测验）(2)计算比较标准：sx2.1909P处理数234SSR0.05SSR3.004.133.154.343.234.450.01LSR0.05SSR0.05sx3.232.19097.0766LSR0.01SSR0.01sx4.452.19099.7495例1的多重比较梯形表（SSR法）处理名称平均数与15比与20比与25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.4*6.0结论：1、整地深度为30CM的苗木高生长极显著的优于其他深度；2、整地深度为25CM的苗木高生长极显著的优于15CM的，显著的高于20CM；3、其余整地深度间的苗木高生长无显著差异。应推广整地深度为30CM。第五节多重比较3、Tukey法（HSD法或称图基q测验）(1)计算抽样误差：2sesx

m(2)计算比较标准：HSD0.05q0.05(a,fe)sxHSD0.01q0.01(a,fe)sx第五节多重比较3、Tukey法（HSD法或称图基q测验）(1)计算抽样误差：se224.25sx2.2023m5(2)计算比较标准：HSD0.05q0.05(4,16)sx4.052.20238.9193HSD0.01q0.01(4,16)sx5.192.202311.4299表7.5例7.1的多重比较梯形表（HSD法）处理名称平均数与15比与20比与25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.46.0HSD0.05q0.05(4,16)sx4.052.20238.9193HSD0.01q0.01(4,16)sx5.192.202311.4299例1的多重比较梯形表（HSD法）处理名称平均数与15比与20比与25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.46.0结论：1、整地深度为30CM的苗木高生长极显著的优于其他深度；2、整地深度为25CM的苗木高生长极显著的优于15CM的；3、其余整地深度间的苗木高生长无显著差异。应推广整地深度为30CM。第五节三种方法比较

事实上，对于一个具体的试验资料，选用那种方法进行多重比较，是完全根据试验的目的而定的。

一般地说:

设计比较简单，不够周密的初级试验，作多重比较时，可采用LSD法；

设计比较周密的高级试验，作多重比较时，可采用TUKEY的HSD测验法；

一般的试验，作多重比较时，常采用Duncan的SSR测验法第六节方差分析的条件及数据变换方法1、数据中的各种效应应该具有“可加性”；线性可加模型是方差分析的基础，只有当数据具有可加性时，总平方和才能分解为各项平方和之和；以单向分类资料为例，因为数学模型为：xij

i

ij因此才有：SSTSStSSe第六节方差分析的条件及数据变换方法2、误差应该具有独立性、正态性。首先，在方差分析模型中的误差效应必须是随机的，因为数据中的k个处理仅仅是从所研究的k个总体中随机抽取出来的k个样本，而F测验正是通过样本统计量对总体参数进行判断的手段。其次，在观察这个个体时的误差与观察另一个个体时的误差应该是无关的，即误差彼此之间是相互独立的。进行F测验的两个方差之比的概率分布应该是正态的。第六节方差分析的条件及数据变换方法3、所有处理应该具有相同的误差方差，即具有方差整齐性。因为在方差分布中将k个样本的“组内平方和”和“组内自由度”合并为整个试验的“组内平方和”和“组内自由度”，并利用它们算出的“组内均方”来估计试验误差，其前提必须是各处理的方差是相等的，不相等怎么能合并呢？资料中各组的方差是否相等可以通过Bartlett卡方测验来检验。第六节方差分析的条件及数据变换方法当试验资料不符合上述假定时，要先对数据进行一些适当的处理，然后用经过处理的数据进行方差分析。1、剔除一些表现“特殊”的观察值、处理或重复。2、将总的试验误差的方差分裂成几个较为同质的试验误差的方差进行分析。3、对需要分析的资料进行研究，了解它们不符合哪个基本假定，然后针对性地采用下述数据转换方法中的一种，先对数据进行某种尺度变换，用经变换的数据进行方差分析及多重比较，而在对分析结果进行解释时，再反代换为原来的尺度。第六节方差分析的条件及数据变换方法二、常用的数据变换方法1、平方根代换2、对数代换3、反正弦代换4、倒数代换第六节方差分析的条件及数据变换方法二、常用的数据变换方法1、平方根代换（计数资料）当各个处理的观察值的方差近似与其平均数成比例关系：即平均数越大，方差越大。这时宜采用平方根转换：xx当有部分观察值小于10时，特别是小于零时，应将所有观测值均加1后再开方。xx1第