广东省大湾区2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省大湾区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，，则.故选：C.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，.故选：D3.已知函数则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设，则.故选：B4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得或，又或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选:5.已知偶函数，当时，，则当时，（）A B.C. D.【答案】D【解析】当，则，，又为偶函数，所以，当时，．故选：D.6.若多项式有一个因式是，则（）A.3 B. C.5 D.【答案】A【解析】由题意可得，则，解得.故选：A.7.若，都是正数，且，则的最小值为（）A.4 B.6 C. D.【答案】C【解析】因为，又，都是正数，且，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：C．8.已知二次函数．甲同学：的解集为；乙同学：的解集为，丙同学：的对称轴在y轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若的解集为，则；若的解集为，则；若对称轴在y轴右侧，则；又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】A项，=所以A选项是错误的；B项，若，可得：，故，故B正确；C项，若可得，由可得：，故C正确；D项，举当时，则不成立，故D不正确；故选：BC．10.已知函数的定义域为，在上单调递减，，且是奇函数，则下列结论正确的是（）A.B.C.不等式的解集是D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】因为函数是由函数向左平移个单位得到的，而是奇函数，所以函数关于对称，且，故B正确；所以，故A错误；又因为函数在上单调递减，所以函数在上是减函数，则不等式，即为，所以，所以不等式的解集是，故C正确；又，则当时，，当时，，因为，所以或，解得或，所以不等式解集是，故D正确.故选：BCD.11.设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ACD【解析】A：当时，方程无实根，所以，或；当时，，由得，此时；当，时，，由得，此时；故存在A成立；B：当时，方程有三个根，所以，，，设为的一个根，即，则，且，故为方程的根，故有三个根，即时，必有，故不可能是，；故B错；C：当时，由得或；由得或；只需，即可满足，；故存在C成立；D：当时，由得，即；由得；即；故存在D成立；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象经过点，求__________.【答案】【解析】设，为常数，因为，所以，即，所以.故答案为：.13.已知，则的值是_____【答案】32【解析】因为，所以.故答案为：32.14.已知函数.记，则（1）_______；（2）若函数（t为常数）在上有8个零点，则的取值范围为_______.【答案】【解析】当时，；假设当时，；当时，.根据数学归纳法，可得，在上恒成立.，由题意可得（），则可得（）为函数的图象与直线在上交点的横坐标，如下图：由图可得，当时，显然当时，可得，，结合图象，函数的图象在上关于直线对称，由题意同理可得，函数的图象在上关于直线对称，函数的图象在上关于直线对称，函数的图象在上关于直线对称，不妨设，则，，，，所以.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立.（1）证明函数是上的减函数；（2）若，求的取值范围.（1）证明：设，则，当时，恒成立，则，，即函数是上的减函数．（2）解：易知，则．，所以，解得或故x的取值范围是.16.已知定义在上的奇函数，其中.（1）求函数的值域；（2）解不等式：.解：（1）为定义在上的奇函数，，，当时，，符合题意，，，，，的值域为；（2）由（1）有，原不等式可化为，令，则，，即，，，不等式的解集为.17.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差.（1）当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值；（2）当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？解：（1）由题意可得：，解得，所以.（2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼的耗氧量为，则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为，因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则，化简得，则，即，可得，所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍.18.已知函数，其中.（1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）；（2）证明：当时，；（3）若函数有三个零点，求的取值范围.（1）解：当时，，其定义域为，且，所以函数为偶函数；当时，函数，可得且，所以函数既不是奇函数又不是偶函数.（2）证明：由函数，可得，当时，因为，，所以；当时，；当时，，综上可得，当时，.（3）解：设，因为是关于的单调增函数，问题可转化为函数有三个大于0的零点，当时，，所以只有一个零点为0，不符合题意；当时，，所以无零点，不符合题意；当时，，因为的图象的对称轴为，所以在上递增，所以在上至多有1个零点；又因为的图象对称轴为，所以在上至多有2个零点，问题等价于在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点，则满足，即，解得，所以实数的取值范围为.19.对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.（1）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由，①；②；（2）若（）是集合中的元素，求的最小值；（3）若，求证：是的充分不必要条件.解：（1）①不是.当时，，，所以不是集合中的元素；②是.，，所以是集合中的元素.（2