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第六章二次型二次型就是二次齐次多项式.本章通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来，从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究，另一方面也可以将对称矩阵的问题转化为用二次型来解决。

1二次型及其矩阵表示2第六章二次型化二次型为标准形3正定二次型3二次型的矩阵表示第一节二次型及其矩阵表示2二次型的定义1问题的引出二次曲线ax2+bxy+cy2=1m(x')2+n(y')2=1Oxyx’y’yOxQTQ=E一般形标准形几何:直角系旋转代数:正交变换一、问题的提出考虑方程在平面上代表什么曲线？(1)一、问题的提出将坐标系（O,x,y)顺时针旋转45°,即令(2)则得曲线在坐标系(O,u,v)中的方程：(3)从而曲线为一椭圆。o一、问题的提出含有n个变量x1,x2,…,xn的实系数二次齐次多项式

f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2

+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn取aij

=aji,则二、二次型的定义则：f(x1,x2,…,xn)=x1(a11x1+a12x2+…+a1nxn)+x2

(a21x1+a22x2+…+a2nxn)+……+xn

(an1x1+an2x2+…+annxn)=(x1,x2,…,xn)a11x1+a12x2+…+a1nxna21x1+a22x2+…+a2nxn……an1x1+an2x2+…+annxn三、二次型的矩阵表示=(x1,x2,…,xn)简记为f=XTAX其中：X=三、二次型的矩阵表示称矩阵A

为二次型f

的矩阵，方阵A

的秩为二次型的秩。显然(1)A是对称矩阵f(x1,x2,…,xn)A(2)三、二次型的矩阵表示f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2

+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn取aij

=aji,则注：实二次型f=xTAx与实对称矩阵A一一对应.实二次型的平方项系数A的主对角线元素实二次型的交叉项xixj的系数的一半A的元素aij(ij)三、二次型的矩阵表示例1写出二次型的

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