逻辑学导论 第9章 命题逻辑II：演绎方法

逻

辑

学导论（第15版）IntroductiontoLogicPPT制作湖南师范大学

彭道林

[美]欧文·M.柯匹[美]卡尔·科恩著[加]维克多·罗迪奇张建军潘天群顿新国等译9第9讲

命题逻辑II：演绎方法条件证明第一节目录Contents不相容性第二节简化的真值表方法第三节运用19个推论规则构建形式证明第四节自然演绎系统第五节扩展推论规则：替换规则第六节构造更复杂的形式证明第七节有效性形式证明的构造第八节有效性形式证明示例第九节基本的有效论证形式第十节有效性的形式证明第十一节间接证明第十二节可靠性论证与笃证性论证的辨识第十三节一、有效性的形式证明1.有效性的形式证明在命题逻辑以及谓词逻辑中，通过运用一系列有效演绎推论，可以从一个论证的前提演绎出它的结论，从而证明该论证是有效的。一个有效性的形式证明是关于一个论证不可能出现前提真而结论假的情形的一种严格核证。如果一个论证的前提是真的，那么此论证的有效性的证明一旦建立，就能保证它的结论也是真的。一、有效性的形式证明1.有效性的形式证明由有效的演绎推理构成的证明，是逻辑学中核心的至关重要的组成部分。2.推论规则：一个有效的论证形式或者是作为推论规则的逻辑等价式。注：一个基本有效论证形式的任何代入例都是一个基本的有效论证（不必是特征形式）。3.基本的有效论证：作为一个基本的有效论证形式之代人例的论证。1.基本的有效论证形式：九个特殊的简单有效论证形式之一，并将把它们用作推论规则。基本形式p⊃qp⸫q有效论证(A·B)⊃[C≡(D∨E)]A·BC≡(D∨E)一、有效性的形式证明2.示例如果安德逊被提名,那么她会去波士顿;如果她去波士顿,那么她会在那儿竞选;如果她在那儿竞选,她会遇到道格拉斯;安德逊没有遇到道格拉斯;或者安德逊被提名,或者某个更合适的人被选中;因此,某个更合适的人被选中。（P1）A⊃B（P2）B⊃C（P3）C⊃D（P4）~D（P5）A∨E⸫E（P1）A⊃B（P2）B⊃CA⊃C(假言三段论H.S.)（P3）C⊃DA⊃D(假言三段论H.S.)（P4）~D~A(否定后件式M.T.)（P5）A∨E~A⸫E(析取三段论D.S.)符号化一、有效性的形式证明3.有效性的形式证明定义有效性的形式证明：一个根据推论规则而得到有效的演绎推论序列，它开始于论证的前提，继之于那些从前提有效地推出的陈述，结束于有效地推出的论证之结论。自然演绎：演绎出一个论证的结论的演绎方法，即利用推论规则成功地证明论证的有效性的方法。通过精确的一个又一个有效推论，直到推出结论，从而证明一个论证是有效的。它建立了论证的有效性，同时这种连续不断的推论过程也正是实际推理的样式。使用自然演绎可以为任何有效论证的有效性提供一个形式证明。二、基本的有效论证形式推论规则推论规则：即一套逻辑规则，通过使用这些规则，能证明一个有效演绎论的有效性。推论规则分为两组：第二组则由一些基本的逻辑等价式组成。第一组由一些基本的有效论证形式组成。首先关注基本的有效论证形式。二、基本的有效论证形式1.肯定前件式(M.P.)pqp⊃qTTTTFFFTTFFT肯定前件式：p⊃qp

⸫q肯定前件式,英文名M.P.（ModusPonens）二、基本的有效论证形式2.否定后件式(M.T.)否定后件式,英文名M.T.（ModusTollens）pqp⊃q~q~pTTTFFTFFTFFTTFTFFTTT否定后件式：p⊃q~q

⸫~p二、基本的有效论证形式3.假言三段论(H.S.)假言三段论,英文名H.S.（HypotheticalSyllogism）pqrp⊃qq⊃rp⊃rTTTTTTTTFTFFTFTFTTTFFFTFFTTTTTFTFTFTFFTTTTFFFTTT假言三段论：p⊃qq⊃r

⸫p⊃r二、基本的有效论证形式4.析取三段论(D.S.)析取三段论,英文名D.S.（DisjunctiveSyllogism）pqp∨q~pTTTFTFTFFTTTFFFT析取三段论：p∨q~p

⸫q二、基本的有效论证形式5.构造式二难(C.D.)构造式二难,英文名C.D.(ConstructiveDilemma)构造式二难：(p⊃q)∙(r⊃s)p∨r

⸫q∨spqrsp⊃qr⊃s(p⊃q)∙(r⊃s)p∨rq∨sTTTTTTTTTTTTFTFFTTTTFTTTTTTTTFFTTTTTTFTTFTFTTTFTFFFFTFTFFTFTFTTTFFFFFFTFFTTTTTTTTFTTFTFFTTFTFTTTTFTFTFFTTTFTFFTTTTTTTFFTFTFFTFFFFTTTTFTFFFFTTTFF二、基本的有效论证形式6.吸收律(Abs.)吸收律,英文名Abs.(Absorptivity)pqp·qp⊃qp⊃(p·q)TTTTTTFFFFFTFTTFFFTT吸收律：p⊃q∴p⊃(p∙q)二、基本的有效论证形式7.简化律(Simp.)简化律,英文名Simp.(Simplification)简化律：p·q

∴

p8、合取律(Conj.)合取律,英文名Conj.

(Conjunction)合取律：pq∴p∙q9、附加律(Add.)附加律,英文名Add.

(Addition)附加律：p∴p∨q小结推论规则：基本有效推理形式名称缩写形式1.肯定前件式M.P.p⊃qp∴q2.否定后件式M.T.p⊃q~q∴~p3.假言三段论H.S.p⊃qq⊃r∴p⊃r4.析取三段论D.S.p∨q~p∴q小结名称缩写形式5.构造式两难C.D.(p⊃q)·(r⊃s)p∨r∴q∨s6.吸收律Abs.p⊃q∴p⊃(p∙q)7.简化律Simp.p·q∴p8.合取律Conj.pq∴p·q9.附加律Add.p∴p∨q推论规则：基本有效推理形式小结基本有效论证形式特点基本的论证形式的有两大特点：第二，基本的有效论证形式必须被应用到作为推论前提的整个陈述上，而不能应用到这些陈述的部分分支陈述上。第一，它们必须被精确地使用，基本的论证形式必须与所处理的论证精确吻合，不允许有任何形式的捷径和搪塞。演绎逻辑中的形式证明的极大效力，正是因为：推理的有效性不存在任何一点怀疑。课堂练习练习题(J⊃K)·(K⊃L)L⊃M∴[((J⊃K)·(K⊃L)]·(L⊃M)用合取律来辩护：pq∴p·q三、有效形式证明示例示例I：1.A·B2.(A∨C)⊃D∴A·D3.A4.A∨C5.D6.A∙D

3.A1,简化律（Simp.）

4.A∨C3，附加律

（Add.）5.D2,4，肯定前件式（M.P.）

6.A·D3,5，合取律（Conj.）

有效性的形式证明：一个根据推论规则而得到有效的演绎推论序列，它开始于论证的前提，继之于那些从前提有效地推出的陈述，结束于有效地推出的论证之结论。在构造有效性的形式证明之前，首先要理解和领会这样的证明。三、有效形式证明示例示例II：下面是所示论证的有效性的一个形式证明，给编了号但不是前提的每行写出理由。1.Q⊃R2.~S⊃(T⊃U)3.S∨(Q∨T)4.~S∴R∨U5.T⊃U6.(Q⊃R)·(T⊃U)7.Q∨T8.R∨U5.T⊃U2,4，肯定前件式

6.(Q⊃R)·(T⊃U)

1,5，合取律7.Q∨T3,4，析取三段论

8.R∨U6,7，构造式两难

四、

有效性形式证明的构造示例I：（P1）A（P2）B∴(A∨C)·B谨记：任何证明序列的最后一行总是正在证明的论证的结论。

1.A2.B/∴(A∨C)·B3.A∨C

1,附加律（Add.）4.(A∨C)·B

2,3,合取律（Conj.）演绎逻辑的核心任务是从形式上证明实际有效的论证的有效性。有效性形式证明的构造，要求要能熟练掌握规则，在设计证明的过程中能熟练调用所需规则。四、

有效性形式证明的构造示例II：（P1）D⊃E（P2）D·F∴

E1.D⊃E2.D·F/∴E3.D

2,简化律（Simp.）4.E

1,3,肯定前件式（M.P.）完整的形式证明结论E是前提1的后件，若D为真，则通过肯定前件式就能得到结论。而D为真可以由前提2通过简化律得到。五、

构造更复杂的形式证明示例I：（P1）A∨(B⊃A)（P2）~A·C∴

~B更为复杂的论证的有效性形式证明的构造过程是一样的：目标都是将证明序列的最后一行构造成该论证的结论，推理的规则也都是我们仅有的那些逻辑工具。从结论不断反向回溯到给定的前提：通过怎样的陈述能推出结论?这些陈述又需要通过怎样的陈述被推出?结论~B是前提1的一个析取支的后件，若~A为真且B⊃A，则通过否定后件式可以得到结论；~A的真由前提2通过简化律得到；B⊃A的真可以通过析取三段论得到。五、

构造更复杂的形式证明示例I：（P1）A∨(B⊃A)（P2）~A·C∴

~B1.A∨(B⊃A)2.~A·C/∴~B3.~A

2,简化律（Simp.）4.B⊃A

1,3,

析取三段论（D.S.）5.~B4,3，否定后件式（M.T.）完整的形式证明五、

构造更复杂的形式证明示例II：（P1）A⊃B（P2）A∨(C·D）（P3）~B·~E∴C

1.A⊃B2.A∨(C·D）3.~B·~E/∴C4.~B3,

简化律（Simp.）5.~A

1,4，

否定后件式（M.T.）6.C·D2,4，

析取三段论（D.S.）7.C5,

简化律（Simp.）

完整的形式证明1）前提2的析取支通过简化律可以得到结论，为此，需要C∙D为真。2）C∙D为真可以由前提2通过析取三段论得到，为此，需要~A为真。3）~A为真可由前提1通过否定后件式得到，为此，需要~B为真。4）~B为真恰可由前提3通过简化律得到。五、

构造更复杂的形式证明在形式证明的设计过程中，逻辑坚固性是最关键的目标。坚固的证明：每一个陈述都必须是正确地得出的，即其结论是通过一个证明运用推论规则的不间断论证链条与前提相连的。六、扩展推论规则：替换规则有效论证：如果直接从芝加哥到拉斯维加斯，那么你必须穿过密西西比河。如果你只是要沿着东海岸旅行，则不会穿过密西西比河。因此，如果你直接从芝加哥到拉斯维加斯，则你不只是要沿着东海岸旅行。已有的9个基本的有效论证形式无法证明其有效性：缺少用一个与某陈述逻辑等价的陈述来取代原陈述的能力。（P1）D⊃C（P2）A⊃~C∴D⊃~A符号化替换规则：该陈述的所有或部分陈述都可被替换为与其逻辑等价的陈述。六、扩展推论规则：替换规则论证：如果直接从芝加哥到拉斯维加斯，那么你必须穿过密西西比河。如果你只是要沿着东海岸旅行，则不会穿过密西西比河。因此，如果你直接从芝加哥到拉斯维加斯，则你不只是要沿着东海岸旅行。利用逻辑等价式A⊃~CC⊃~A替换P2，再利用假言三段论便可给出证明。（P1）D⊃C（P2）A⊃~C∴D⊃~A替换规则有力地增强了推论规则。为精确地使用替换规则，通过列举十个具体逻辑等价式来确定替换规则。所有这些逻辑等价式都是逻辑真的双条件陈述，也是单独的推论规则。≡T六、扩展推论规则：替换规则编号名称缩写形式10德.摩根律DeM.~(p·q)

~p∨~q~(p∨q)~p·~q11交换律Com.p∨qq∨pp·qq·p12结合律Assoc.[p∨(q∨r)][(p∨q)∨r][p·(q·r)]

[(p·q)·r]13分配律Dist.[p∨(q·r)]

[(p∨q)·(p∨r)][p·(q∨r)]

[(p·q)∨(p·r)]14双重否定律D.N.p~~p≡T≡T≡T≡T≡T≡T≡T≡T≡T替换规则：逻辑等价的真值函项陈述形式六、扩展推论规则：替换规则编号名称缩写形式15易位律Trans.(p⊃q)

(~q⊃~p)16实质蕴涵律Impl.(p⊃q)

(~p∨q)17实质等值律Equiv.(p≡q)

[(p⊃q)·(q⊃p)](p≡q)

[(p⊃q)∨(~p·~q)]18输出律Exp.[(p·q)⊃r]

[p⊃(q⊃r)]19重言律Taut.≡T≡T≡T≡T≡T≡T≡T替换规则：逻辑等价的真值函项陈述形式六、扩展推论规则：替换规则10.德·摩根律(DeM.)

~(p·q)~p∨~q

~(p∨q)~p·~q≡T≡T德.摩根律有两个变体：第二个变体断言：如果我们否定两个命题中有命题为真，则逻辑等价于断言这两个命题都假（对析取的否定与析取支的否定的合取逻辑等价）。第一个断言：如果我们否定两个都为真的命题则与断言或者其中一个为假，或者另一个为假逻辑等价（对合取的否定与合取支的否定的析取逻辑等价）。这两个双条件句都是重言式，即两个实质等值式都总是为真，因此不可能有错误的替换例。六、扩展推论规则：替换规则11.交换律(Com.)

p∨qq∨p

p·qq·p≡T≡T这两个等式断言：对合取或析取命题而言，其支命题之间的顺序对其没有影响。通过简化律和交换律，可以很方便地证明已知为真的合取式中的任意合取支为真。规则7即简化律，允许从合取式p∙q推出p，但是不允许推出q。现在根据交换律，则能用q∙p替换p∙q。六、扩展推论规则：替换规则12.结合律(Assoc.)

[p∨(q∨r)][(p∨q)∨r]

[p·(q·r)][(p·q)·r]≡T≡T如果这三陈述是被分组了的析取支，等价式仍然成立：p和析取式qVr与析取式pVq或r逻辑等价。如果已知三个不同的命题都为真，则断言p与q和r的合取一道为真与断言p和q的合取与r一道为真是逻辑等价的。13.双重否定律(D.N.)

p

~~p

≡T六、扩展推论规则：替换规则14.分配律(Dist.)

[p∨(q·r)][(p∨q)·(p∨r)][p·(q∨r)][(p·q)∨(p·r)]≡T≡T分配律有两个变体：第二个变体断言：一个陈述与另外两个陈述所组成的析取式的合取逻辑等价于第一个陈述与第二个陈述组成的合取式或者第一个陈述与第三个陈述组成的合取式。第一个变体断言：一个命题与另外两个命题组成的合取式的析取逻辑等价于第一个陈述与第二个陈述组成的析取式和第一个陈述与第三个陈述组成的析取式的合取。该规则被称为分配律源于它分配了这三个陈述中的第一个，分别展示了它与后两个陈述之间的逻辑关系。（真值表证明）六、扩展推论规则：替换规则分配律第一个变体真值表[p∨(q∙r)][(p∨q)∙(p∨r)]pqrq∙rp∨qp∨rp∨(q∙r)(p∨q)∙(p∨r)p∨(q∙r)≡(p∨q)∙(p∨r)TTTTTTTTTTTFFTTTTTTFTFTTTTTTFFFTTTTTFTTTTTTTTFTFFTFFFTFFTFFTFFTFFFFFFFFT≡T六、扩展推论规则：替换规则分配律第二个变体真值表[p∙(q∨r)][(p∙q)∨(p∙r)]pqrq∨rp∙qp∙rp∙(q∨r)(p∙q)∨(p∙r)[p∙(q∨r)]≡[(p∙q)∨(p∙r)]TTTTTTTTTTTFTTFTTTTFTTFTTTTTFFFFFFFTFTTTFFFFTFTFTFFFFTFFTTFFFFTFFFFFFFFT≡T六、扩展推论规则：替换规则如果任何条件陈述为真，则如果它的后件为假，则其前件必定为假。这个逻辑等价式允许将任何条件陈述颠倒过来。15.易位律(Trans.)

(p⊃q)

(~q⊃~p)

≡T因此，任何条件陈述逻辑等价于断言其后件的否定蕴涵其前件的否定的条件陈述。六、扩展推论规则：替换规则如果两个陈述具有相同的基本形式，即它们都是析取式或都是蕴涵式，则能更容易将其结合起来处理。实质蕴涵的定义非常重要。16.实质蕴涵律(Impl.)

(p⊃q)(~p∨q）

≡T如果一个陈述是析取式，另一个是蕴涵式，则可以运用该规则，将其中一个陈述转化为另一种形式，这将是很方便的。六、扩展推论规则：替换规则17.实质等值律(Equiv.)

(p≡q)[(p·q)∨(~p·~q)]

(p≡q)[(p⊃q)·(q⊃p)]≡T≡T实质等值律有两个变体：第二个变体断言：它们实质等值的陈述逻辑等价于它们互相蕴涵的陈述。因为如果两个陈述都为真（或假），则一个必定实质蕴涵另一个。第一个变体断言：断言它们实质等值(用三杠号“≡”)，就与断言它们或者都为真或者都为假逻辑等价。该规则的两个变体断言了实质等值的两个基本含义。（见真值表）六、扩展推论规则：替换规则实质等值律第一个变体真值表(p≡q)[(p∙q)∨(~p∙~q)]pqp∙q~p∙~q(p∙q)∨(~p∙~q)p≡q[(p≡q)]≡[(p∙q)∨(~p∙~q)]TTTFTTTTFFFFFTFTFFFFTFFFTTTT≡T六、扩展推论规则：替换规则实质等值律第二个变体真值表(p≡q)[(p⊃q)∙(q⊃p)]pqp⊃qq⊃p(p⊃q)∙(q⊃p)p≡q(p≡q)≡[(p⊃q)∙(q⊃p)]TTTTTTTTFFTFFTFTTFFFTFFTTTTT≡T六、扩展推论规则：替换规则如果某人断言两个命题的合取蕴涵第三个命题，这就逻辑等价于断言如果这两个命题的其中之一为真，则另一个陈述的真必定蕴涵第三个陈述。该替换规则陈述了一个稍为反思就非常明确的逻辑双条件句。18.输出律(Exp.)[(p∙q)⊃r]

[p⊃(q⊃r)]

≡T如所有其他替换规则一样，通过真值表，这个逻辑等价式能很容易获得确定。六、扩展推论规则：替换规则输出律真值表[(p∙q)⊃r][p⊃(q⊃r)]pqrp∙q(p∙q)⊃rq⊃rp⊃(q⊃r)[(p∙q)⊃r]≡[p⊃(q⊃r)]TTTTTTTTTTFTFFFTTFTFTTTTTFFFTTTTFTTFTTTTFTFFTFTTFFTFTTTTFFFFTTTT≡T六、扩展推论规则：替换规则它们断言任何陈述与它和其自身组成的析取式逻辑等价，任何陈述与它和它自身组成的合取式逻辑等价。这条规则的两个变体是显然的，但是非常有效。19.重言律(Taut.)p(p∨p)

p(p·p)≡T如果通过推理得到某个命题和其自身的析取为真，利用这条规则就能推出所讨论的命题为真。合取式也能如此做相似的处理。≡T六、扩展推论规则：替换规则例：（P1）~D⊃(~E⊃~F)（P2）~(F·~D)⊃~G∴G⊃E9个基本的有效论证形式和10个替换规则之间有一个重要的差异！九个基本的有效论证形式它们只能应用于整个陈述，也就是一个证明中的一整行。十个替换规则的任何一个都可以应用到整个陈述或一个陈述的部分分支陈述上。1.~D⊃(~E⊃~F）2.~（F·~D)⊃~G/∴G⊃E3.~D⊃(F⊃E）1，Trans.4.（~D·F)⊃E3，Exp.5.（F·~D)⊃E4，Com.6.G⊃(F·~D）2，Trans.7.G⊃E6,5，H.S.形式证明易位律、输出律、交换律可以用于分支陈述（第3行、第4行、第5行），而简化律不适用于第6行的后件。六、扩展推论规则：替换规则它们组成了一个完全的、紧凑且容易掌握的自然演绎系统，运用它们，即可对于任何有效的真值函项论证构建起有效性的形式证明。9个基本的有效论证形式和10条替换规则都是真值函项逻辑中所必需的。19个规则是一个理想的折中选择：规则列表足够短，可以完全掌握；也足够长，足以能有效地构建形式证明。19个规则表中有两个似是而非的小瑕疵：2.一些简单且在直觉上有效的论证需要多个步骤才能获得证明。1.并非极小集，即用它足以形式地证明复杂论证的有效性。六、扩展推论规则：替换规则形式证明是一个能行的概念：根据给定的推论规则表，一定能在有限步骤内机械地判定一个给定陈述序列是否构成一个形式证明。尽管形式证明是能行的，但建构一个形式证明不同于真值表方法，并没有一个能行的程序。所谓机械地判定则只需要做两件事：第二，能够看出一个给定陈述是否有某种模式。第一，能看出在一个地方出现的某个陈述与在另一个地方出现的一个陈述是完全相同的；大略的规则：1.根据给定推论规则从给定前提着手演绎陈述；2.努力消除在前提中出现而在结论中不出现的陈述。八、运用十九条推论规则构建形式证明八、运用十九条推论规则构建形式证明例A：（P1）(D·E)⊃F（P2）(D⊃F)⊃G∴E⊃G

1.(D·E)⊃F2.(D⊃F)⊃G/∴E⊃G

3.(E·D)⊃F

1，交换律（Com.）

4.E⊃(D⊃F)3，输出律（Exp.）5.E⊃G4,2，假言三段论（H.S.）

形式证明1）P1是前件为合取式的条件陈述，利用输出律可以得到一个后件为条件陈述的条件陈述。2）若条件陈述的前件为E，后件为D⊃F，则通过假言三段论可以得到结论。3）对P1的前件使用交换律即可做到。八、运用十九条推论规则构建形式证明例B：（P1）A⊃~A∴~A

1.A⊃~A∴~A2.~A∨~A1，实质蕴含律（Impl.）3.~A2，重言律（Taut.）

形式证明1）用实质蕴含律可以从前提得到一个析取支都为~A的析取陈述。2）再用重言律即可得到结论。八、运用十九条推论规则构建形式证明例C：（P1）~B∨(C·D)∴B⊃C1.~B∨(C·D)∴B⊃C2.(~B∨C)·(~B∨D)1,分配律（Dist.）3.~B∨C2,简化律（Simp.）4.B⊃C3,实质蕴含律（Impl.）形式证明1）用分配律将~B分配给C和D。2）使用简化律消除D。3）实质蕴含律得到结论。八、运用十九条推论规则构建形式证明例D：（P1）A⊃~B（P2）~(C·~A)∴C⊃~B1.A⊃~B2.~(C·~A)/∴C⊃~B3.~C∨~~A2,德.摩根律（DeM.）4.C⊃~~A3,实质蕴含律（Impl.）5.C⊃A4,双重否定（D.N.）6.C⊃~B5,1,假言三段论（H.S.）形式证明1）P2用德.摩根律得到一个析取式。2）用实质蕴含律可得到一个条件陈述。3）双重否定和假言三段论即得到结论。八、运用十九条推论规则构建形式证明例E：（P1）(R∨S)⊃(T·U)(P2)~R⊃(V⊃~V)(P3)~T∴~V1.(R∨S)⊃(T·U)2.~R⊃(V⊃~V)3.~T/∴~V4.~T∨~U3，附加律（Add.）5.~(T·U)4，德.摩根律（DeM.）6.~(R∨S)1,5，否定后件式（M.T.)7.~R·~S6，德.摩根律（DeM.）8.~R8，简化律（Simp.）9.V⊃~V2,8，肯定前件式（M.P.)10.~V∨~V9，实质蕴含律（Impl.）11.~V10，重言律（Taut.）1）结论可以由P2的后件得到。2）V⊃~V可由肯定前件式得到（需要~R）3）~R可由P1前件的否定得到[需要~(T·U)]。4）P3通过附加律和德摩根律即可得到~(T·U)。八、运用十九条推论规则构建形式证明例F：如果法规是好的且被严格执行,那么犯罪会减少。如果严格执法会使犯罪减少，那么，我们的问题就是一个实践问题。法规是好的。因此，我们的问题是一个实践问题。1.(G·S)⊃D2.(S⊃D)⊃P3.G/∴P4.G⊃(S⊃D)1,输出律（Exp.）5.S⊃D4,3,肯定前件式（M.P.)6.P2,5,肯定前件式（M.P.)符号化（P1）(G·S)⊃D（P2）(S⊃D)⊃P（P3）G∴P形式证明九、简化的真值表方法无效论证不存在有效的形式证明，但并非找不到有效证明，论证即无效：2.由构造论证的过程是非能行所导致。1.可能论证本身无效；完备的真值表方法（CTTM）在命题逻辑中是对确定有效或无效的一个判定程序。它是一种严格的方法，从不会失效，但烦琐且低效。简化的真值表方法（STTT）同样绝对可靠且更高效。STTT的思路：针对结论为假(或前提皆真）建立简化真值表。有效论证：结论为假时，至少一个前提为假（或前提皆真时，结论皆真）。无效论证：可能前提皆真而结论为假。九、简化的真值表方法设定强制和非强制的真值指派强制的真值指派：通过唯一的真值指派给一个复合陈述的分支，使得该复合陈述的真值或者为真或者为假。非强制的真值指派：有多种可能的分支陈述的真值指派使得复合陈述的真值或真或假。A.基本技巧九、简化的真值表方法A.基本技巧5个逻辑算子的真值表定义合取只有在两个合取支都真时，一个合取陈述才是真的；否则它就是假的。析取只有在两个析取支都假时，一个析取陈述才是假的；否则它就是真的。条件陈述只有在前件为真后件为假时，一个条件陈述才为假；否则它就是真的。双条件陈述只有当三杠号的两边的陈述有相同的真值时，一个双条件陈述才为真；否则它就是假的。否定只有被否定的陈述为假时，一个否定陈述才为真；否则它就是假的。九、简化的真值表方法根据强制和非强制的真值指派的定义，以及5个逻辑算子的真值表定义，可以得到几个结论：合取为真、析取以及条件陈述为假，可以做出强制指派。合取为假、析取以及条件陈述为真，只能做出非强制指派。A.基本技巧否定只能做出强制指派。双条件陈述只能做出非强制指派。九、简化的真值表方法A.基本技巧强制指派须遵循的准则准则I如果可能，首先给结论或某个前提设定强制的真值指派，以作为STTT四步中的第一步。准则II在给复杂的复合前提设置强制的真值指派之前，为前提中的简单陈述或简单陈述的否定设置强制的真值指派。九、简化的真值表方法A.基本技巧非强制指派须遵循的准则准则III如果不存在——或不再有——强制的真值指派，就給结论设定非强制的真值指派，使得它在每一种可能的情形下都为假，或者以一种最少的方式给前提设置非强制的真值指派。准则IV如果给两个或多个前提设置真值指派都是同等强制的(如给两个简单陈述设定真值指派)或都是同等非强制的，先给左边的陈述进行真值指派。准则V在构造一个多行的简化真值表时，构造一个为假的结论（或一个为真的前提）：(a)针对复合陈述，仅利用那些能得到我们想要的真值的真值组合，以及(b)在完备的真值表中按照顺序构造它们。九、简化的真值表方法B.STTT的四个步骤STTT的四个步骤步骤1确定是否前提为真要比结论为假的方式更少。若前提为真更少，则执行P-序列：步骤2p、3p、4。若结论为假更少，则执行C-序列：步骤2c、3c、4。步骤2步骤2c：使得结论为假。步骤2p：使得所有前提为真。步骤3步骤3c：尽可能使得更多的前提为真。步骤3p：使得结论为假。步骤4验证有效性。无效的：一旦一个真值表行所有前提皆真且结论为假，即可证明论证无效。有效的：三种情形都能证明一个论证是有效的:(a)对于所有为假的结论来说，至少有一个为假的前提；或者(b)所有前提为真的情形中，结论为真；或者(c)结论不可能为假，且/或前提不可能为真。九、简化的真值表方法C.简单情形中的C-序列结论只有一种情形为假的论证示例例1结论为简单陈述的简单论证例子例2结论为简单陈述的复杂论证例子例3结论是一个条件陈述的论证例子例4结论是一个析取陈述的论证九、简化的真值表方法C.简单情形中的C-序列例1：结论为简单陈述的简单论证（P1）F⊃G（P2）F∴GFGF⊃G，F∴GTF

T

F

FTF论证有效九、简化的真值表方法C.简单情形中的C-序列例2：结论为简单陈述的复杂论证（P1）（E∨F)⊃(G·H）（P2）（G∨H)⊃I（P3）E∴IEFGHI（E∨F)⊃(G·H）,（G∨H)⊃I,E∴ITTTTFTTTTTTTTTTFFT

F论证有效九、简化的真值表方法C.简单情形中的C-序列BWGSCP（B⊃W）·（G⊃~S）,（~B·~G）⊃（C·P）,~W,P∴C⊃~GFFTFTTFTFTTTTFTFFFTTTTT

TFTTFFT例3：结论为条件陈述的论证（P1）（B⊃W)·(G⊃~S）（P2）（~B·~G)⊃(C·P）（P3）~W（P4）P∴C⊃~G论证无效九、简化的真值表方法C.简单情形中的C-序列XY（X∨Y）⊃（X·Y）,~（X∨Y）,∴~X∨~YTTTTTTTTT

FTTTFTFFT

论证有效例4：结论为析取陈述的论证（P1）（X∨Y)⊃(X·Y）（P2）~（X∨Y）∴~X∨~Y九、简化的真值表方法D.多种真值组合下结论为假当结论为简单陈述的合取或是简单陈述的双条件陈述时，结论为假必定是非强制真值指派。因此，需要先选择是执行C-序列还是P-序列。结论有多种可能为假的论证示例例5一个论证的结论是简单陈述的合取——执行C-序列例6一个论证的结论是简单陈述的合取——执行P-序列例7一个论证的结论是简单陈述的双条件陈述——执行C-序列九、简化的真值表方法D.多种真值组合下结论为假例5：结论为合取的C-序列（P1）M∨N（P2）(M∨N)⊃O（P3）(M∨N)⊃P∴O·PMNOPM∨N,（M∨N）⊃O,（M∨N）⊃P,∴O·PFFFTFFFFFFTFFFFTTFFTFFFFFFF

FFFTF

FFFTFFFFFFTF

FFF

FFFTT

FFFTFTFF论证有效结论为假有3种方式，前提为真多于3种——C序列九、简化的真值表方法D.多种真值组合下结论为假JKGHJ∨K,~J,G⊃H,G∴H·KFTTTFTT

TFTTTTTTT论证有效例6：结论为合取的P-序列（P1）J∨K（P2）~J（P3）G⊃H（P4）G∴H·K结论为假有3种方式，前提为真仅1种——P序列九、简化的真值表方法D.多种真值组合下结论为假TUVWXT·(U∨V）,T⊃[U⊃（W·X）],（T·V）⊃~（W∨X）,∴W≡XTFTTFTTFFTTTFTTFFTTTFFTTFTFFTFTFT

TTFFT

TTFTFFT

TTTFFFTTFFT论证有效例7：结论为简单陈述的双条件陈述的论证（C序列）（P1）T·（U∨V）（P2）T⊃[U⊃(W·X)]（P3）（T·V)⊃~(W∨X）∴W≡X十、不相容性从“有效性”的定义可以推出：如果一种真值指派能使得一个论证的所有前提为真而结论为假，那么，这表明该论证是无效的。如果不可能对一个论证的简单分支陈述进行这种真值指派，即不可能使得它的前提为真而结论为假，那么该论证必定有效。一个怪异的推论：任何前提不相容的论证一定有效。十、不相容性论证：如果飞机的引擎出了故障，它就降落在本德了。如果飞机的引擎没有出故障，它就降落在克利夫兰了。飞机没有降落在本德或克利夫兰。因此，飞机必定降落在丹佛了。前提的互不相容使得没有真值指派能使它们都真，也就没有所有前提为真而结论为假这样一行。（P1）A⊃B（P2）~A⊃C（P3）~(B∨C)∴D符号化此类论证对应的条件陈述前件为假，因而是重言式，故论证有效。完备的真值表能确立它的有效性，同时也能构造出有效性的形式证明。十、不相容性前提不相容论证的完备的真值表P1P2P3∴ABCD~AB∨CA⊃B~A⊃C~（B∨C）DTTTTFTTTFTTTTFFTTTFFTTFTFTTTFTTTFFFTTTFFTFTTFTFTFTTFTFFTFTFFTFFTFFFTTTTFFFFFFTTFFTTTTTTTFTFTTFTTTTFFFTFTTTTFFTFTFFTTTFFFFFTTTTTTFTFFTFTTTTFFFFFTTFTFTTFFFFTFTFTF真值表能确证论证有效。十、不相容性论证：如果飞机的引擎出了故障，它就降落在本德了。如果飞机的引擎没有出故障，它就降落在克利夫兰了。飞机没有降落在本德或克利夫兰。因此，飞机必定降落在丹佛了。（P1）A⊃B（P2）~A⊃C（P3）~(B∨C)∴D符号化1.A⊃B2.~A⊃C3.~(B∨C)/∴D4.~B·~C3,DeM.5.~B4,Simp.6.~A1,5,M.T.7.C2,6,M.P.8.~C·~B4,Com.9.~C8,Simp.10.C∨D7,Add.11.D10,9,D.S.有效性形式证明的构造：十、不相容性论证：今天是星期天。今天不是星期天。因此，月亮是新鲜奶酪做的。（P1）S（P2）~S∴M符号化有效性形式证明的构造1.S2.~S/∴D3.S∨M1,附加律4.M2,3，析取三段论不相容的前提可以有效推出任何结论：该论证更简单地表明了问题的精髓——其公然不相容的前提可以有效地推出一个不相干且荒谬的结论。十、不相容性有效论证的前提蕴含结论：既有“实质”蕴涵意义上的，也有逻辑或“严格”意义上的。一个古老难题：一个不可抗拒的力量遇到一个不可移动的物体，会发生什么事?正确答案：“任何事”！有不相容陈述作为前提的论证能逻辑地推出任何结论。因含有不相容前提的的论证总是有效但结论并不可靠。楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷也。”又誉其矛曰：吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：以子之矛，陷子之盾，何如？”其人弗能应也。十一、条件证明条件证明概述条件证明的假设论证形式为：p/∴q（假设，C.P.）.........q

p⊃qC.P.19个推论规则可以证明任何有效的真值函项论证的有效性。但有些证明很长并且难以构想。新的规则，即条件证明（C.P.）可以缩短和简化许多证明。条件证明：一种技术性的方法，通过假设条件陈述的前件，并从假设中推导出后件，从而得到一个条件陈述。十一、条件证明A.条件证明的辩护及其解释令论证I：P为前提的合取，A⊃C为结论。（P1）P∴A⊃C此论证有效当且仅当它对应的条件陈述P⊃（A⊃C）[陈述1]为重言式。根据输出律，该条件陈述与（P·A）⊃C[陈述2]逻辑等价。陈述2对应论证II：（P1）P（P2）A∴C论证I有效，当且仅当论证II有效。在论证I的前提集P中加入前提A之后，若能有效演绎推导出C，则可证明A⊃C。每一个有效论证都对应着一个重言的条件陈述：前件是论证前提的合取，后件是论证的结论。十一、条件证明B.条件证明的步骤条件证明：1.（A∨B)⊃(C·D）2.（D∨E)⊃F/∴A⊃F3.A/∴F（假设，C.P.）4.A∨B3，附加律5.C·D1,4，肯定前件式6.D·C5，

交换律7.D6，

简化律8.D∨E7，

附加律9.F2,8，肯定前件式10.A⊃F3-9，C.P.论证：（P1）（A∨B）⊃（C·D）（P2）（D∨E）⊃F∴A⊃F谨记：在假设辖域内推导出的陈述不能在辖域线范围之外！十一、条件证明B.条件证明的步骤仅用19条规则的证明：1.（A∨B）⊃（C∙D）2.（D∨E）⊃F/∴A⊃F3.~（C∙D）⊃~（A∨B）1，易位律

4.（C∙D）∨~（A∨B）3，

实质蕴含律5.（C∙D）∨（~A·~B）4，德·摩根律6.[（C∙D）∨~A]·[（C∙D）∨~B）]5,分配律7.（C∙D）∨~A6，简化律8.~A∨（C∙D）7，交换律9.（~A∨C）∙（~A∨D）8,分配律10.（~A∨D）∙（~A∨C）9，交换律11.~A∨D10，简化律12.A⊃D11,实质蕴含律13.~（D∨E）∨F2，实质蕴含律14.（~D·~E）∨F13，德·摩根律15.F∨（~D·~E）14，交换律16.（F∨~D）·（F∨~E）

14，分配律17.F∨~D16，简化律18.~D∨F17，交换律19.D⊃F18，

实质蕴含律20.A⊃F12,19，假言三段论

论证：（P1）（A∨B）⊃（C·D）（P2）（D∨E）⊃F∴A⊃F仅用19个规则需要20行！使用条件证明仅需要10行，且非常容易执行。十一、条件证明B.条件证明的步骤例1：（P1）（H⊃P）·（S⊃W）∴（H∨S）⊃（P∨W）1.（H⊃P）·（S⊃W）

/∴（H∨S）⊃（P∨W）2.H∨S/∴P∨W（假设，C.P.）3.P∨W1,2，

构造式二难4.（H∨S）⊃（P∨W）2-3，C.P.仅需要4行！仅用19条规则的证明：1.（H⊃P）·（S⊃W）/∴（H∨S）⊃（P∨W）2.H⊃P

1，简化律3.~H∨P2，实质蕴含律4.（~H∨P）∨W3，附加律

5.~H∨（P∨W）4，结合律

6.（P∨W

）∨~H5，交换律7.（S⊃W）·（H⊃P）1，交换律8.S⊃W7，简化律9.~S∨W8，实质蕴含律10.（~S∨W）∨P9，结合律11.~S∨（W∨P）10，交换律12.~S∨（P∨W）11，交换律13.（P∨W）∨~S12，交换律14.[（P∨W

）∨~H]·[（P∨W）∨~S]13，合取律15.（P∨W

）∨（~H·~S）14，分配律16.（~H·~S）∨（P∨W

）15，交换律

17.~（H∨S）∨（P∨W

）16，德·摩根律18.（H∨S）⊃（P∨W）17，实质蕴含律

仅用19个规则需要18行，并且非常困难。十一、条件证明B.条件证明的步骤例2：（P1）（L⊃H）·（Q⊃S）∴（L·Q）⊃（H·S）条件证明不仅比仅用19个规则的证明短，并且非常容易执行。条件证明：1.（L⊃H）·（Q⊃S）/∴（L·Q）⊃（H·S）2.L·Q/∴H·S（假设C.P.）3.L⊃H1.简化律4.L2.简化律5.H3.4.肯定前件式6.（Q⊃S）·（L⊃H）

1.交换律7.Q⊃S6.简化律8.Q·L2.交换律9.Q8.交换律10.S7.9.肯定前件式11.H·S

7.10合取律12.（L·Q）⊃（H·S）

2-11.C.P.十一、条件证明C.条件证明的嵌套论证I：（P1）A⊃（B⊃C）（P2）B⊃（C⊃D）∴A⊃（B⊃D）条件证明的规则亦可用于条件证明之中：即在一个条件证明的辖域线内，可以嵌套另外一个有条件的子证明及其辖域线。论证II：（P1）A⊃（B⊃C）（P2）B⊃（C⊃D）（P3）A∴（B⊃D）论证III：（P1）A⊃（B⊃C）（P2）B⊃（C⊃D）（P3）A（P4）B∴D十一、条件证明C.条件证明的嵌套条件证明：1.A⊃（B⊃C）2.B⊃（C⊃D）/∴A⊃（B⊃D）3.

A/

∴（B⊃D）（假设C.P.）4.

B/

∴D（假设C.P.）5.

B⊃C1,3，肯定前件式6.C5,4，肯定前件式7.C⊃D2,4，肯定前件式8.D7,6，肯定前件式9.B⊃D4-8，C.P.10.A⊃（B⊃D）3-9，C.P.论证I：（P1）A⊃（B⊃C）（P2）B⊃（C⊃D）∴A⊃（B⊃D）十一、条件证明D.结论不是条件陈述的论证论证I：（P1）（A∨C）⊃（C·D）（P2）（D∨E)⊃F∴~A∨F条件证明可以用来证明所有结论并非条件陈述的论证的有效性。论证II：（P1）（A∨C）⊃（C·D）（P2）（D∨E)⊃F∴~（A·~F）论证III：（P1）（A∨C）⊃（C·D）（P2）（D∨E)⊃F∴A⊃F十一、条件证明D.结论不是条件陈述的论证结论为等值陈述的论证：（P1）（C∨D)⊃(E⊃F）

（P2）[E⊃(E·F)]⊃G（P3）G⊃[(~H∨~~H)⊃(C·H)]∴C≡G条件证明：1.（C∨D)⊃(E⊃F）2.[E⊃(E·F)]⊃G3.G⊃[(~H∨~~H)⊃(C·H）]/∴C≡G4.C/∴G（假设C.P.）5.C∨D4，

附加律6.（E⊃F）1,5，肯定前件式7.E⊃（E·F）6，

吸收律

8.G2,7，肯定前件式9.C⊃G4-8，C.P.10.G/∴C（假设C.P.）

11.（~H∨~~H)]⊃(C·H）3,10，肯定前件式12.（~H∨H）⊃（C·H）11，

双重否定13.（H⊃H）⊃（C·H）12，

实质蕴含律14.H/∴H（假设C.P.）15.H⊃H14，C.P.16.C·H13,15，肯定前件式17.C16，

简化律

18.G⊃C10-17,C.P.19.（C⊃G）·（G⊃C）9，18,合取律20.C≡G19，实质等值律十一、条件证明E.重言式的条件证明条件证明是证明条件式重言式最有效力的方法。由于不是在证明一个论证的有效性，而是从无前提出发证明一个重言式，所以假设想要证明的陈述的前件，推导它的后件，从而推导出一个条件式重言式。在证明了前件为真则后件必然为真之后，就证明了这个条件陈述是一个重言式，因为它不可能为假。十一、条件证明E.重言式的条件证明证明（Q⊃R）⊃[（P⊃Q）⊃（P⊃R）]是重言式。1.Q⊃R/∴（P⊃Q）⊃（P⊃R）

（A.C.P.）2.P⊃Q/∴P⊃R（A.C.P.）3.P⊃R2,1，

假言三段论4.（P⊃Q）⊃（P⊃R）2-3，C.P.5.（Q⊃R)⊃[（P⊃Q）⊃（P⊃R）]1-4，C.P.条件证明是证明条件式重言式最有效力的方法。十二、间接证明间接证明概述间接证明（L.P.）是另一种非常有力的证明方法。在间接证明中，假设一个陈述~p（或p）演绎出矛盾形式q·~q以及有效地推出此假设的否定p(或~p)。有效性的一个间接证明是间接的，因为它是通过引出矛盾的方式得到结论，而不是从先前的前提通过有效推论而得到结论。矛盾的演绎本质上就是一个间接证明。十二、间接证明间接证明概述间接证明（L.P.）两种假设的论证形式：间接证明的假设论证形式I：p/∴q（假设，L.P.）.........q·~q~pL.P.间接证明的假设论证形式II：~p/∴q（假设，L.P.）.........q·~q

pL.P.十二、间接证明A.有效性间接证明的辩护与解释间接证明（L.P.）的方法可以用来证明任何有效论证的有效性。对于论证：P1P2∴C间接证明：1.P1

2.P2/∴C3.~C/（假设，L.P.）4....5....6.q·~q7.C3-6L.P.该论证有效当且仅当，它的前提的合取与结论的否定的合取（P1·P2）·~C是一个矛盾式。从假定一个论证的结论的否定有效推得矛盾，就能证明此论证的有效性。十二、间接证明A.有效性间接证明的辩护与解释有效论证前提集和结论否定的合取（P1·P2）·~C三种可能的矛盾式I（P1·P2）·~C，~C与P1·P2矛盾相容前提集与偶真结论一个具有相容前提集的偶真结论的有效论证，因它不可能同时前提皆真而结论为假而有效。论证例III（P1·P2）·~C，~C本身矛盾结论是重言式一个具有重言结论的有效论证，因不可能结论为假而有效。论证例IIIII（P1·P2）·~C，P1·P2本身矛盾前提集不相容一个具有不相容前提集的有效论证，因不可能前提皆真而有效。论证例III十二、间接证明A.有效性间接证明的辩护与解释论证例I：

（P1）F⊃G

（P2）F∴G间接证明：1.F⊃G

2.F/∴G3.~G/（假设，L.P.）4.~F1,3，否定后件式5.F·~F6.G3-5，L.P.

或者间接证明：1.F⊃G

2.F/∴G3.~G/（假设，L.P.）4.G1,2，肯定前件式5.G·~G6.G3-5，L.P.

十二、间接证明A.有效性间接证明的辩护与解释论证例II：

（P1）F⊃G

（P2）F∴H∨~H间接证明：1.F⊃G

2.F/∴H∨~H3.~（H∨~H）/（假设，L.P.）4.~H·~~H3，德·摩根律

5.~~H·~H4，交换律6.H·~H5，双重否定

7.H∨~H

3-6，L.P.

十二、间接证明A.有效性间接证明的辩护与解释论证例III：

（P1）F⊃G

（P2）F（P3）~G∴R间接证明：1.F⊃G

2.F3.~G/∴R4.~R/（假设，L.P.）5.G1,2，肯定前件式

6.G·~G3,6，合取律7.R4-6，L.P.

十二、间接证明B.间接证明的步骤有效性的间接证明，首先在辖域写上额外加上的假定前提，可以假定一个论证的结论的否定。间接证明的方法——即

“归谬法”，当演绎出矛盾时则可它归为荒谬——使我们在某些情况下能更为快速地证明有效性，增强了检验论证的手段。若能够从前提中演绎出矛盾形式q·~q，就可以有效地推出L.P.假设的否定，即证明了论证是有效的。十二、间接证明间接证明：1.A⊃(B·C）2.(B∨D)⊃E3.D∨A/∴E4.~E/（A.L.P.）5.~（B∨D）

2,4，

否定后件式6.~B·~D5，

德·摩根律7.~D·~B6，

交换律8.~D7，

简化律9.A3,8，

析取三段论10.B·C1,9，

肯定前件式11.B10，

简化律

12.~B6，

简化律

13.B·~B11,12，合取律14.E4-13，L.P.论证：（P1）A⊃(B·C）（P2）(B∨D)⊃E（P3）D∨A∴EB.间接证明的步骤十二、间接证明直接证明：1.(H⊃I)·(J⊃K)2.(I∨K)⊃L3.~L/∴~(H∨J)4.~(I∨K)2,3,MT.5.~I·~K4,DeM6.~I5,Simp,7.H⊃I1,Simp.8.~H7,6,MT.9.(J⊃K)·(H⊃I)1,Com10.J⊃K9,Simp.11.~K·~I5,Com12.~K11,Simp.13.~J10,12,MT.14.~H·~J8,13，Conj.15.~(H∨J)14,DeM直接证明和间接证明比较B.间接证明的步骤间接证明：1.(H⊃I)·(J⊃K)2.(I∨K)⊃L3.~L/∴~(H∨J）4.~~(H∨J)/（A.L.P.）

5.H∨J4,D.N.6.I∨K1,5,C.D.7.L2,6,M.P.