人口预测模型数学建模论文

人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期对于问题一，我们通过多个渠道收集数据，利用SAS和Matlab等软件进行对于问题二，这是典型的人口模型，我们建立了4个相应的数学模型，选用路巧妙，提高了预测的精确度；建立BP神经网络模型，无需进行模型假设，同摘要单位：(万人)其中加权系数为：0.24282,0.34055,0.41663。男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为年份(万)05(万)然后对Leslie人口模型进行了改进，构建了反映生育率和死亡率变化率最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性BP神经网络灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型问题假设1.假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。2.假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。3.不考虑战争瘟疫等突发事件的影响4.在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。5.假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布6.人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。7.中国各地各民族的人口政策相同。符号说明a,(t)------------------第t时间区间内第i个年龄段人口总数c,(I)------------------第t时间区间内第i个年龄段人口总数占总人口的比例c^(1)------------------第t时间区间内第i个年龄段中第k年龄值人口总数占总人A(1)…第t时间区间内各年龄段人口总数的向量P(t)…第t时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵b(I)…第t时间区间内第i个年龄段人的生育率d,(I)…第t时间区间内第i个年龄段人的死亡率d,^(1)………………第t时间区间内第i个年龄段中第k年龄值的死亡率s,(1)…第t时间区间内第i个年龄段人的存活率h(t)……第t时间区间男性人数与女性人数的比值e;(I)……第t时间区间内第i个年龄段育龄妇女的生育率m………每个年龄段上年龄值的数目本问题是一个关于人口预测的问题，与以往不同，本问题需要根据中国特殊的国情去研究，我们根据对问题的分析并结合实际情况认为对人口产生主要影响的因素有以下四个：生育率、死亡率、年龄结构、男女比例。在这里需要说明的是对于人口产生影响的一些因素，如经济发展状况，生态环境情况、已婚夫妇对生育所持的态度、医疗技术的发展等，我们认为它们对人口的增长是通过作用于以上四个指标而间接发挥作用的。而对于诸如战争爆发、疾病流行等突发因素，由于其不可预测性，我们不考虑1.生育率生育率代表育龄妇女生育人口的能力，从一定意义上讲生育率的高低控制着人口增长率高低，通常来说生育率越高人口增长率越高，所以说生育率是人口增长的源头。生育率的影响因素很多，首先是年龄因素，不同年龄段的育龄妇女的生育率不同，通常20岁至30岁的育龄妇女的生育率最强；此外是地域因素，受政策因素、观念认识、周边环境等影响乡村育龄妇女的生育率高于城市育龄妇女的生育率；还有其它因素的影响，比如大规模疾病会降低育龄妇女的生育率。2.死亡率死亡率表示一定时期内一个人口群体中死亡的人数占该人口群体的比值，和生育率一样死亡率的高低同样控制着人口增长率高低，如果说生育率是人口增长的源头，则死亡率是人口增长的汇点。同样影响死亡率的因素很多，首先不同年龄段的死亡率不同，通常老年人和刚出生的婴儿的死亡率较高；从长远来看，随着医疗水平的提高，整个人口群体的死亡率将会成下降趋势；此外一些突发事件，如战争、疾病等，将会使使那一段的人口死亡率大幅度提高。3.年龄结构年龄结构反映了总体人口在各年龄段分布情况，年龄结构蕴涵的信息量很大，从其中我们可以实现对很多问题的分析，比如从年龄结构我们可以分析出社会的老年化程度，此外从年龄结构我们可以判断出不同时间段人口出生的情况，比如年龄结构不仅反映了总体人口在各年龄段分布情况，而且考虑到不同年龄段人口生育率、死亡率不同等情况，我们可以在年龄结构中有效反映这些差异4.男女比例男女比例反映了总体人口中男性与女性人数的比较关系，男女比例值能反映出体人口中男性与女性人数是否协调，男女比例主要受男女出生比和男女死亡率的影响，男女出生比正常范围在103—107,也就是说出生100个女儿的同时会有103—107个男儿出生，但是在现实社会中，女性死亡率低于男性，以至于男女比例大致维持着稳定的相对稳定，但目前我国男女出生比超过110,这不仅将导致男女比例失调，还会对人口的预测产生影响，所以在人口预测时必须将男女出生·死亡比例问题考虑进去。考虑到人口预测分为中短期预测和长期预测，两类预测因为涉及的时间长短不同，所以考虑的因素不同，采用的方法不同。对于中短期预测，我们假设生育率、死亡率、年龄结构、男女比例均维持在同一稳定水平，这样我们采用方法有很多，。对于长期预测，我们需要考虑生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等因素随时间变化，此外城乡人口迁移对城乡人口结构产生影响，尽管以上因素短期内积累效应较小，但在长期中必须考虑。在预测方法上我们选用了基于以往人口数据的一次线性回归，灰色、时间序列预测，逻辑斯蒂模型和基于年龄结构并生育率、死亡率随时间Leslie人口模型中国人口预测模型中国人口预测模型Leslie人口模型BP神经网络模型逻辑斯蒂次线型回归龄结构女比例生率亡率知其四数学模型有关于人口增长预测的模型很多，比如灰色GM(1,1),移动平均数法，指数平滑法，一元线型回归，马尔萨斯人口模型，宋健人口模型等等，但是每种预测方法的精度往往也不同。组合模型和单个模型比起来，具有较高的预测精度，组合预测的关键就在于确定各个预测方法的权重。本文将从一个新的角度进行研究，即从信息论的观点出发，根据各个体预测方法误差指标的信息熵，确定组合预测模型的权重，进行人口组合预测模型。本文选用了一元线性回归法，逻辑斯蒂模型法，灰色GM(1,1)模型法对中国人口增长进行预测。而1978至2005年的数据见本文表一。灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算一一累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。灰色预测模型建立过程如下：x={x(1),x⁰(2)…,x(n)},2)利用拟合出来的函数，求出新生序列x)的预测值序列X利用灰色GM(1,1)模型对X()序列的确定增长趋势进行预测2模型求解根据2006全国统计年鉴数据整理得到全国历年年度人口统计表如表1.表1:全国历年年底的人口统计年份1978年1980年1985年1989年1990年1991年1992年总人口年份1993年1994年1995年1996年1997年1998年1999年总人口年份2000年2001年2002年2003年2005年总人口根据上述数据，建立含有20个观察值原始数据序列x(0):利用Matlab软件对原是数列X()进行一次累加，得到新数列为X(1),如表表2:新数列X误差和误差率x(”1、利用表2,拟合函数，如下：x(t+1)=9280043e⁰.011624¹-2、精度检验值c=0.3067(很好)3、得到未来20年的预测值：年份2006年2007年2007年2008年2009年2010年20总人口年份2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年年份2019年2020年2021年2022年20234.1.2一元线性回归法根据表一中的数据，本文建立一元线性回归模型Y=a+bX进行预测；Y为人口数单位：万人X为年份。利用Matlab软件，用麦夸特法进行回归拟合，得到拟核值及回归方程，如下：表八一元线性回归模型拟合值由此，建立如下的一元线性回归方程Y=102974.5053+1572.384.1.3逻辑斯蒂模型(Logisticgrowthmodel)果人口的净增长率随着N(t)的增加而减小，且当N(t)→N。时，净增长率趋于其中r为常数，此模型就叫逻辑斯蒂模型。我们把1978年至2005年全国历年年底总人口的数值组成一个观察矩阵，其中的每一个数值称之为观察值。本文利用spss软件，得出与观察值一一映射的拟核值，残差值和cook距离，见下表：差差差从新数据得到F=372.3471p一值=0.001相关系数R=0.98884.1.4.组合模型建立1、熵权法的概念及基本步骤熵权法是一种决定指标的方法，我们知道，综合指标取决于单个指标数的确定，一般情况下的权重是根据经验来确定的，但是这种确定权重的方法缺少科学根据，也不能保证确立的综合指标能反映原始指标的大部分信息，且权重的确立因人而异，所以其应用受到了限制，而熵权法就能够避免这些问题，使权重的确立具有科学的根据，具有说服力。熵权法的步骤确立如下：①计算第j项指标下第i个方案的指标比重2、误差指标的选举为了能全面的各个预测方法以及组合预测的预测效果，必须制定一套切实可行的误差指标。按照预测效果的评价惯例，本文选取如下指标作为参考：(1)、平方和误差(2)、平均绝对值误差(3)、均方误差(4)、平均绝对值百分比误差(5)、均方百分比误差3、组合模型权重的确定设以选定m种个体预测方法，n个误差指标，m种个体预测方法对应n个误差指标构成了评价指标值矩阵；第j个指标下第i种个体方法的指标比重值P为第j个指标的熵值为：记第i个指标的权重为：这样，各个体预测方法的熵权评价值λ,可以表示为：将上式进行归一化处理，即可以得到各个个体的权重。4.1.6熵权组合模型求解本文利用Matlab软件对上述的模型、指标进行综合的运算处理，得到熵权系的基本数据资料，见下表：加权系数为：0.24282,0.34055,0.41663。4.2.4模型改进1.考虑到生育率和死亡率是随时间变化的，我们可以定义生育率和死亡率为时间函数(1)生育率影响生育率因素有受政策因素、观念认识、周边环境等，通常来说农村的生育率高于城市，为了有效区分这种差异性，我们定义b(t)为反映城、镇、乡平均考虑到随着时间的推移，计划生育政策深入人心，农村生育率将降低用下面函数反映这种变化式中a,b为参考系数(2)死亡率随着时间的推移，医疗水平的提高，死亡率将下降，但死亡率中有一部分是非疾病死亡，对于青年人死亡率比较平稳，死亡率变化主要体现在老年人。定义d,(1)为第t时间区间内第i个年龄段人的死亡率式中a,b为参考系数，用来区分青年与中老年2.考虑到城乡人口转移因素城乡人口转移将会对城乡人口结构产生影响，因此必须进行研究，考虑到人口主要是从镇转入城，从乡转入城，从乡转入镇因此定义B(t)为从镇转入城的转移向量，C(t)为从乡转入城的转移向量，D(t)为从乡转入镇的转移向量。式中v,(1)表示第t时间区间内第i个年龄段的农村人数，w;(I)表示第t时间区间内第i个年龄段人的农村转入城市的百分比则A'(t)=A(t)+B(t)+C(t)表示城乡人口转移后的人口向量每次计算完A()=A(t-1)P(t-1)再计算A'(1)=A(t)+B(t)+C(t)4.2.5模型优缺点分析1.Leslie人口模型可以分析不同年龄组生育率与死亡率不同的情况2.Leslie人口模型中可以考虑生育率与死亡率随时间变化的情况3.Leslie人口模型中可以分析出年龄结构的情况4.Leslie人口模型中对给出的关于年龄结构的统计数据要求较高5.Leslie人口模型对男女比例不平衡情况反映敏感6.Leslie人口模型中选取分组的年龄段长度不同，适于的预测期长短不同4.3BP神经网络人口预测模型基于BP神经网络的时间序列预测模型与传统模型不同的是：此模型只需以历史数据作为输入，通过抑制与激活神经结点，自动决定影响性能的参数及影响程度，自动形成模型，无需进行模型假设，再加上神经网络对复杂的非线性系统具有曲线拟核能力，预测能力强，所以是合适的对比检验模型。p=[1996199719981999200020012002200320042005](年份归一化后的数据)p=[0.19960.19970.19980.19990.20.20010.20020.20030.20040.2005]输出样本观测值(对应1996-05年的总人口归一化后的数据):T=[0.1223890.1236260.1247610.1257860.1267430.1276270.12采用神经网络模型进行运算，系统仿真产生输入数据的收敛结果见图示：图6:BP训练函数数(万五模型优缺点的评判在上文中，每个模型的后面，针对该模型的优缺点本文都做了深刻地评判，此时就不再重复赘言了，却还没有从宏观角度出发，对本文的所有模型进行整体1、具有很好的创新性，在对传统模型的理解的基础，取模型之长，利用熵权法对模型进行组合预测，大幅度提高了预测准确度；2、本文的思路宽阔，在不同时期，建立起不同的模型，能够与实际紧密的联系，结合当前具体国情，对问题进行求解，使该模型具有很好的推广性和通用性；数据可信度较高。4、对于题目附录里为涉及到的数据，均到“中国统计局”下载官方数据加以补充，并且对论文中涉及到的众多影响因素进行了量化处理，使得论文的说服里更强，实际性更高。缺点2、不同模型在相应的时间阶段具有很高的预测能六全文总结 七相关建议(一)人口增长速度快但增长速度回落年份1978年1980年1985年1989年1990年1991年1992年总人口年份1993年1994年1995年1996年1997年1998年1999年总人口年份2000年2001年2002年2003年2005年总人口(二)农村人口比重大,但人口城市化快速发展(三)人口老龄化加剧男女性别比偏高有所回落①目前生育率经过近二十年的控制已达到了较低水平，自然增长率已由1974年22.2%。下降到1983年的11.5%,几乎降低了一半，这是世界人口史上罕见的，②由于20世纪60—70年代生育高潮形成的人口年龄结构的影响，在1995年前后形成一个生育高峰，平均每年进入婚育年龄的人数在1100万对以上，生育率村的人口生育率仍然较为困难。综上所述，以目前13亿人口为基础，人口增长率能继续得到控制，到21世纪中期将达到16亿。人口学家普遍认为，这是中国人口的极限，即中国土地佳人口数而稳定下来。八参考文献[1]王能超，数值分析简明教程，北京：高等教育出版社，1999[2]廉庆荣，线性代数与解析几何，北京：高等教育出版社，2002[4]张兴永，数学建模简明教材，江苏：中国矿业大学出版社，2004[5]华东师大数学系，数学分析(第三版),北京：高等教育出版社，1998[6]/(中国国家统计局%%%此程序解决长期预测问题ht=1.2121;total_person_05=130756;kind=%total_person_05表示05年的总人数%ht表示05年的男比女的比率；%a5表示2005年所有人口分年龄段的占的比率%A表示第t时间段时内各年龄段人口总数占总人口的比例向量A=bili*total_person_05/100;%各年龄段的人口数forsum=1:9%预测45年，5年为一个周期0.0002159100000000]%城市生育率0.00100.00000000000]%农村生育率b=ShengYu*5/1000;%为附录二.组合模型预测程序：%%组合模型%%一元非线性回归yt=[96259.000098705.0000105851.0000112704.0000114333.000015823.00001118517.0000119850.0000121121.0000122389.0000123626.00126743.0000127627.0000128453.0000129227.000117159.2664119206.2898120962.7665122462.41125729.2541126497.3789127142.9323127684.4757128138.06118517.0000119850.0000121121.0000122389.00125786.0000126743.0000127627.0000128453.0000129227116342.0107117702.3046119078.5