场论与张量基础

《高等流体力学》研究生学位课主讲教师：汪志明博士（1993年）石油工程系教授（1997年）、博士生导师（2000年）北京振动工程学会常务理事上海海事技术协会理事环太平洋水射流技术会议国际专家中国石油学会石油工程专业委员会委员《水动力学研究于进展》等全国性学术刊物编委SPEMemberAWJTMemberTeLO)89733986(L)Fax-mail:wangzm@1第一章场论与张量初步第二章流体静力学第三章流体运动学第四章流体力学基本方程组第五章理想流体流动第六章粘性流体层流流动第七章粘性流体湍流流动第八章一维圆管流动第九章非牛顿流体流动第十章两相流体动力学第十一章计算流体力学基础教材：①汪志明,《高等流体力学》,石油工业出版社,2006主要参考书：②陈矛章,《粘性流体动力学基础》,高等教育出版社,1993③吴望一,《流体力学》,北京大学出版社,1982讲授内容2绪论流体力学发展简史流体力学现象流体力学问题流体力学计算实例流体力学的应用3第一时期：17世纪中叶以前。缺乏系统的流体力学知识和工程设计的概念。直觉观察→仔细测量→实践→提高→实践→再提高◆希腊的阿基米德（前287-前212）提出浮力的定量理论。◆北宋沈括（1031-1095）提出小圆管的流量计量，与700年后哈根、泊肃叶实验结果定性符合。◆1638年伽利略将实验方法引入力学，研究运动物体阻力。潜艇上浮流线型汽车绪论流体力学发展简史4◆1647年帕斯卡提出静力学的基本关系式。◆1671年清人揭喧开展旋涡的专门实验。◆由风帆演变来的风轮和水轮。第一时期：17世纪中叶以前。缺乏系统的流体力学知识和工程设计的概念。飞机引起的漩涡风轮水轮绪论流体力学发展简史5◆1678年牛顿的粘性流体内摩擦定律。◆1738年伯努利提出不可压缩流体的伯努利定理。◆1775年欧拉提出流体运动的描述方法和建立理想流体基本方程组。牛顿内摩擦定律模型绪论流体力学发展简史第二时期：17世纪末叶至19世纪末叶。流体力学初步形成和发展。6◆1845年亥姆霍兹提出亥姆霍兹第一定理和第二定理。◆1860年亥姆霍兹提出速度分解定理。◆1871年韦纳姆设计建造低速风洞。风洞试验绪论流体力学发展简史第二时期：17世纪末叶至19世纪末叶。流体力学初步形成和发展。7◆1872年弗劳德主持建造供船舶实验的拖曳水池。◆1883年雷诺实验，1895年提出雷诺应力、湍流基本方程组。雷诺实验绪论流体力学发展简史第二时期：17世纪末叶至19世纪末叶。流体力学初步形成和发展。拖曳水池实验8◆1891年兰彻斯特提出升力概念、有限翼展机翼理论。◆1902年库塔和1906年儒可夫斯基分别独立提出升力理论。第二时期：17世纪末叶至19世纪末叶。流体力学初步形成和发展。绪论流体力学发展简史超音速翼型流场轮船航行中9第三时期：20世纪初叶至中叶。主要围绕航空航天开展，发展迅猛。◆1904年普朗特提出边界层理论。◆1910年布拉修斯和卡普雷金分别独立提出一般二维物体受力公式。湍流边界层模型绪论流体力学发展简史10◆1912年冯·卡门分析涡街稳定性。◆1950年诺伊曼提出显式和隐式人工粘性概念。涡街模型绪论流体力学发展简史第三时期：20世纪初叶至中叶。主要围绕航空航天开展，发展迅猛。11第四时期：20世纪中叶以后。形成许多分支学科、交叉学科。稀薄气体力学、磁流体力学、宇宙流体力学、地球流体力学、非牛顿流体力学、生物流体力学、多相流体力学、物理-化学流体力学、工业流体力学、渗流力学等等。

绪论流体力学发展简史12绪论

流体力学现象氢弹爆炸瞬间肺部流场模拟图海啸漩涡13绪论流体力学问题14绪论流体力学问题15绪论流体力学问题16

导弹飞行的马赫数为3.94，攻角为20

。计算结果表明：导弹的法向力系数与实验数据的误差在2.3%以内，力矩系数的误差在0.3%范围内。绪论流体力学计算实例17对喷射泵的二分之一结构使用了二维轴对称模型。求解中，应用了非结构化三角形网格和RNGk-

紊流模型。压强云图说明：高压梯度区出现在喷嘴处，可以引起流动模式的改变。这个结论有助于设计者理解压力驱动流的物理现象和影响流动效率的重要参数定义。

绪论流体力学计算实例18CFD的研究结论，与实验中风扇背风区域附近压强升高的物理现象相吻合。计算中选取了一系列的不同参数模型，对每一套运行条件都实施了新的设计造型，增强了对分离流、失速和其他流动现象的了解，这些现象都有可能影响到设计者原有的设计指标。

绪论流体力学计算实例19对象网格模型计算方式计算时间设计时间载重汽车一半结构1.5x106个混合网格粘性、紊流k-

模型并行计算48小时3周计算结果阻力系数从0.6-0.7下降至0.4-0.5，减少了阻力，提高经济效益。绪论流体力学计算实例20对象网格模型介质通风系统297210个四面体网格RNGK-模型和标准壁面函数空气、氨气计算结果顶部入口的清洁空气将氨气向上吸入并由顶部出口排出；速度云图分布证实人的周围几乎没有氨气流动。工作人员无危险。绪论流体力学计算实例21流体力学的应用钻井工程22流体力学的应用油水分离模型23流体力学的应用采油工程24流体力学的应用多相流动模型25流体力学的应用射孔完井模型26流体力学的应用射孔完井模型27流体力学的应用井筒岩屑运移模型28流体力学的应用高压水射流29流体力学的应用高压水射流30第一章场论与张量初步§1.场论场的定义、几何表示，方向导数与梯度、通量与散度、环量与旋度。§2.张量初步张量定义、表示方法、性质及其运算。311.场的定义：

设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。标量场：矢量场：均匀场：定常场：第一节场论场的定义322.场的几何表示：用几何方法表示一个场有助于直观理解问题，并具有实用意义。矢量线：即为该线上的每一点的切线方向与该点的矢量方向重合的极限曲线。等位面：对任意一固定时刻，与场对应的函数值相等的曲面称之为等位面。矢量管：在场内取任一非矢量线的封闭曲线，通过上每一点作矢量线，则这些矢量线所包围的区域称为矢量管。第一节场论场的几何表示33◆标量场的几何表示：取任一固定时刻研究场的几何表示，取一系列不同的值我们得到空间中一组与之对应的等位面，我们可以从等位面的的相互位置和疏密程度来描述标量场的变化状况。

◆矢量场的几何表示：矢量的大小可以用上述等位面的概念来表示，至于矢量的方向则采用矢量线来表示。第一节场论场的几何表示343.方向导数与梯度在场内任取一点，过点作曲线，是在上与无限邻近的点，函数在上沿变化，则称为函数在点上沿曲线方向的方向导数。第一节场论方向导数与梯度35过、作等位面，为点法线方向，、无限接近，由可得：大小为，方向为的矢量称为函数的梯度。表示为：第一节场论方向导数与梯度364.梯度及其主要性质（1）梯度描写了场内任一点邻域内函数的变化状况，它是标量场不均匀性的量度；（2）梯度的方向与等位面的法线重合，且指向函数增长的方向，大小是

方向上的方向导数；（3）梯度矢量在任一方向上的投影等于该方向的方向导数；第一节场论方向导数与梯度37（4）梯度的方向，即等位面的法线方向是函数变化最快的方向。即：（5）梯度在直角坐标系中的表达式为：第一节场论方向导数与梯度38令在场内任取一点，以体积包围之，若的界面为，作矢量通过面的通量，并存在极限则称之为矢量在点的散度，其数学表达式为5.通量与散度第一节场论通量与散度396.无源场及其性质的矢量场称为无源场或称管式场。其具有以下几个主要性质：(1)无源矢量经过矢量管任一横截面上的通量保持不变。(2)矢量管不能在场内发生或终止。一般来说它只能伸至无穷，靠在区域的边界上或自成封闭管路。(3)无源矢量经过张于一已知周线的所有曲面上的通量均相同，亦即此通量只依赖于周线而与所张曲面的形状无关。第一节场论通量与散度40则定义其为矢量在点旋度，其数学表达式为：若在场内围绕点任取一封闭周线，为张于上的任一曲面，并且下列极限存在7.环量与旋度第一节场论环量与旋度418.无旋场及其性质的矢量场称为无旋场。无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。即若是位势场，则必为无旋场。反之，若矢量是无旋场，则必为位势场。第一节场论环量与旋度429.哈密顿算子第一节场论哈密顿算子哈密顿算子是矢量分析中一个非常重要的微分算子，它是一个具有矢量和微分双重性质的符号，其表达式为：43第一章场论与张量初步§1.场论场的定义、几何表示，方向导数与梯度、通量与散度、环量与旋度。§2.张量初步张量定义、表示方法、性质及其运算。44第二节张量张量的定义1.张量的定义

张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量则好比是立体矩阵。在笛卡尔直角坐标系中定义的张量称为笛卡尔张量，而在任意曲线坐标系中定义的张量称为普遍张量。本章只限于研究笛卡尔张量。45如果对每一个直角坐标系来说，有九个量按下列公式转化为另一个坐标系中的九个量，则此九个量定义一新的量，称之为二阶笛卡尔张量。第二节张量张量的定义46设在每一个坐标系内给出个数，当坐标变化时，这些数按公式转化，则此个数定义一个阶张量。第二节张量张量的定义472.张量表示法

张量表示法具有书写简洁，运算方便的优点。在张量表示法中我们将坐标改写成并引进以下几种符号。（1）

表示一个矢量，是自由指标，可取1，2，3，符号可任取。例如的张量表示法为第二节张量张量表示法48（2）约定求和法则。为书写简便，我们约定在同一项中如有两个自由坐标项就表示对这个指标从1到3求和。例如：（3）克罗内克尔符号定义为第二节张量张量表示法49（4）置换符号定义为

例如：（5）恒等式

第二节张量张量表示法503.二阶张量第二节张量二阶张量性质(1)二阶张量的主值、主轴及不变量设为二阶张量，为矢量。若满足：则称矢量的方向为张量的主轴方向，为张量的主值由确定的三次方程推出二阶张量的不变量分别为：51第一不变量第二不变量第三不变量第二节张量二阶张量性质52(2)共轭张量、对称张量和反对称张量设是一个二阶张量◆共轭张量：称为的共轭张量。◆对称张量：若分量之间满足

，称为的对称张量。◆反对称张量：若分量之间满足

，称为的反对称张量。第二节张量二阶张量性质53(3)张量分解定理二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张量和一个反对称张量之和。