初等变换求多项式的最大公因式法

初等变换MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h基本概念本文以表示数域上的一元多项式环.定义2.SEQ定义\*ARABIC\s13以中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵.设的个一元多项式，规定符号：表示这个一元多项式的最高系数为1的最大公因式.则有以下性质REF_Ref291060571\r\h[9]:性质SEQ性质\*ARABIC1性质SEQ性质\*ARABIC2性质SEQ性质\*ARABIC3 由REF_Ref291516258\h性质2和REF_Ref291516274\h性质3可得以下REF_Ref291516324\h推论1推论SEQ推论\*ARABIC1，，. 多项式矩阵的初等变换REF_Ref292620954\r\h[7]：矩阵的两行（列）互换位置；矩阵的某一行（列）乘以非零常数；矩阵的某一行加另一行的倍；其中是一个多项式.多项式矩阵的性质：性质1每个可逆的多项式矩阵都可以表示成一些多项式式初等矩阵的乘积；性质2对一个多项式矩阵施行初等变换，不改变每个列向量的多项式的最大公因式；性质3设为多项式矩阵，则存在可逆的多项式矩阵,使得为阶梯型矩阵.综上可得：交换两个多项式的位置，不改变其最大公因式；将某一多项式乘以一个不为零的常数，不改变最大公因式；将某一项的倍，加到另一个多项式上，不改变其最大公因式，对比代数理论的矩阵的初等变换，上述性质恰好都满足.主要结果及证明定理1定理221设，，其中，，且可逆，若 其中是首项系数为1的多项式，则有，且，，使成立.证明：对于，，存在,使得.令，，，，其中，分别为，的首项系数，则有所以，且，，使成立.定理2定理REF_Ref292619005\r\h[10]222：是任意个多项式，，若，经过矩阵的适当初等行变换，可以变换为 （其中是阶单位矩阵）.证明：1°时，则，已有的形式.2°不全为零时，则必有一个次数最低的多项式，不妨设为，对分别乘以一个适当的多项式，消去的各最高次项，这时矩阵的第一列变为其中.3°时，，其中.4°不全为零时，继续重复2°因为的次数都是有限的，所以经过2°有限次后，必然能够出现GOTOBUTTONZEqnNum754932REFZEqnNum754932\*Charformat\!(2.6)中第一列只有一个元素，其它元素全为零，此时即有，其中.上述过程用矩阵的初等变换表示为：#定理3定理2-23REF_Ref292619005\r\h[10]定理2中满足 . 证明：设，由于对矩阵的初等变换相当于在它左边乘上对应的初等矩阵，所以，存在可逆矩阵,使得,且，于是，比较对应位置的元素得到：#.最大公因式的矩阵初等变换法将矩阵，经过初等行变换化为矩阵，则是的最大公因式，且.应用举例例1求和的最大公因式，其中，.分析：此题只求和的最大公因式，并没有要求求解出满足：的，，而且是对于两个多项式来说，因此我们可以用多种方法来进行求解，在此给出3种方法进行求解,分别是1.辗转相除法；2.等效变换法；3.矩阵的初等变换法.解法一辗转相除法：表格SEQ表格\*ARABIC1辗转相除法REF_Ref292621430\r\h[11]用等式写出来就是所以#解法二等效变换法：解：所以#解法三矩阵初等变换法：解：所以#综上可得出三种方法的优缺点.首先,辗转相除法是一般方法，是利用带余除法一步一步计算得到的，而等效变换法在此题中求解速度得到了很大的提高，而且清晰易懂,不易出现错误.而矩阵的初等变换则是计算原理简单，稍微有点麻烦，但是该方法最大的优势就是在求解最大公因式的同时一并将满足的，一次性求出来了,其中，.例2：设；；，求，并求出，，，使得.分析：此题求解的是，并且还要求解满足的，，，此时若用辗转相除法、等效变换法就非常的难了，所以最佳的选择就是矩阵的初等变换.解：=,且有，，，使得：成立.对于求解此类多个多项式我们最佳方法就是矩阵初等变换法，它就是利用矩阵的初等变换，一步一步求解，而且同时求解出满足：的最大公因式系数.例3：是否存在三重根，若存在求出该根，若不存在说明原因.分析：是否存在三重根，我们只需考虑是否是一元一次多项式.若有则存在三重根若无则不存在三重根.解法一：由可得：；；所以可得：是存在三重根的，且三重根是；解法二：因为可知是整系数多项式，由综合除法可知的有理根可能是，，，.显然，所以是的根，则利用综合除法有：表格SEQ表格\*ARABIC2-11-564-8-16-1281-612-80由REF_Ref291242405\h表格2可得,令，则有，同理的有理根可能是，，，，检验有，再用综合除法有：表格SEQ表格\*ARABIC32-16-128-28-82-14-40-242-120-20由REF_Ref291241808\h表格3可知是的三重根，又因为所以也是的三重根.结论：对方法一与方法二进行分析比较可得出结论：利用矩阵初等变换求解重根问题比较麻烦，而利用综合除法将会更加快速准确，因此初等变换在求解与判断方面还是存在不足之处，但它在求解多个多项式的最大公因式时还是有一定的优势的。在高等代数中，求解最大公因式的方法非常的多，但是对于需要求多个多项式的最大公因式和求最大公因式的系数多项式时，我们的最佳选择就是矩阵的初等变换法.参考文献胡少勇，易艺.多项式最大公因式求法探讨[J].九江学院理学院学报-2005:3.张景晓.矩阵的斜初等变换及其应用[J].聊城大学学报-2003-03：16-1.魏杰，董王君.多项式最大公因式的一种新方法[J].兰州工业高等专科学校学报-2008-03：15-01.黄朝军.矩阵初等变幻的一个应用[J].黔东南民族师范高等专科学报-2004-12：22-06.杨纯富.矩阵的初等变换在多项式理论中的应用[J].重庆文理学院学报-2008-06：27-03.邓勇.一元多项式组最大公因式计算的矩阵法[J].喀什师范学院学报-2004-05：25-03.北京大学数学系集合与代数教研室.高等代数[M].高等教育出版社,2003：13-15.张庆，王朝霞.求两个多项式最大公因式的新方法等效变换法[J].唐山师范学院学报-2007-03：29-2.郁金祥.多项式最大公因式求解方法的推广[J].嘉兴学院学报-2001-05：13-3.周立仁.n个一元多项式的