湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）

2025年临湘市高二下学期数学入学考试试卷一、单选题（每小题5分，共8小题，总分40分）1．若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（）A．33 B．31 C．39 D．272．已知等差数列的项数为，若该数列前3项的和为3，最后三项的和为63，所有项的和为110，则n的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．133．已知倾斜角为的直线过，两点，则（）A． B． C． D．4．方程(x+y-1)=0所表示的曲线是

A．

B．

C．

D．

5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（

）A．24294 B．24296 C．24298 D．243006．已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．7．已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．8．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（

）A．4050 B．4049 C．4048 D．4047二、多选题（每小题5分，共4小题，总分20分）9．已知数列，则下列说法正确的是

（

）A．此数列的通项公式是B．是它的第23项C．此数列的通项公式是D．是它的第25项10．设，过定点的动直线，和过定点的动直线交于点是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（

）A．直线与圆相切时B．到距离的最大值是C．直线与圆相交的最短弦长为D．的最大值为11．设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（

）A． B．的取值范围是C．的最大值为 D．的最小值为12．如图，在平行六面体中，底面为正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，分别是线段，的中点，则（

）A． B．平面C．与所成角的余弦值为 D．与平面所成角的正弦值为三、填空题（每小题5分，共4小题，总分20分）13．已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则.14．已知等差数列的前项和为，且，，则，.15．在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为.

16．双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的渐近线方程为．四、解答题（共5小题，总分70分）17．设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为．(1)已知，，求及d；(2)已知，，求．18．已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切.(1)求圆的方程；(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值.19．已知数列的前n项和为，，.(1)证明：数列为等比数列；(2)设，求数列的前n项和；(3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.20．已知数列的首项为，且满足(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求.21．设分别是椭圆的左、右焦点．(1)若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标；(2)设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．《2025年临湘市高二下学期数学入学考试试卷》参考答案题号12345678910答案AAADCACBABBC题号1112答案ADABD1．A2．A3．A4．D5．C6．A7．C8．B9．AB10．BC11．AD12．ABD13．14．16．．17．(1)(2)（1）解得：（2）解得：18．(1)(2)（1）设圆心为，半径为,则由题意得，故该圆的方程为.（2）圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得.19．（1），，当时，，两式相减得，即，则有，当时，，则，即，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得，，则，数列是等差数列，于是，解得，则，所以的前项和.（3）由（1）知，，由成等差数列，得，整理得，由，得，又，，不等式成立，因此，即，令，则,从而，显然，即，所以存在，使得成等差数列.20．（1）因为，且，可知，可得，即，可知数列是以首项为，公差为4的等差数列，可得，所以.（2）由（1）可知：，若n为偶数，则；若n为奇数，则；综上所述：.21