《机械制图与CAD》课件-第2章

第2章投影法及点、直线、平面的投影2.1投影法基本知识2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影 2.1投影法基本知识

2.1.1投影法

如图2－1（a）所示，物体在光线的照射下，会在地面或墙面上产生影子。将这一自然现象进行几何抽象便得到了投影法，如图2－1（b），其中，a称为空间点A在投影面P上的投影，S称为投影中心，平面P称为投影面，SA为投影线。这种按几何法将空间物体表示在平面上的方法称为投影法。图2－1投影法（a）投影现象；（b）投影方法

2.1.2投影法分类

投影法分为两类：中心投影法和平行投影法。

1.中心投影法

当投影中心距离投影面有限远，所有投影线都汇交于一点（即投影中心）时，这种投影法称为中心投影法，如图2－2（a）所示。图2－2投影法的分类

(a)中心投影法；(b)斜投影法；(c)正投影法

2.平行投影法

当投影中心S距离投影面无穷远时，所有投影线相互平行，这种投影法称为平行投影法。

根据投影线与投影面P的倾角不同，平行投影法又分为斜投影法和正投影法。投影线不垂直于投影面的平行投影法称为斜投影法，如图2－2（b）所示。投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法，如图2－2（c）所示。2.1.3投影的基本性质

无论是平行投影法，还是中心投影法，均具有如下4种基本性质。

1.同素性

如图2－3所示，在一般情况下，点、直线的投影仍为点、直线，该性质被称为同素性。

2.从属性

空间点在直线上，其投影仍在该直线的同面投影上，该性质被称为从属性，如图2－2所示。

3.积聚性

当直线或平面与投射方向平行时，其投影分别积聚为一个点或一条直线，该性质被称为积聚性。如图2－4所示，直线AB积聚成一点a（b），△CDE积聚成一条直线cde。图2－3投影的同素性图2－4投影的积聚性

4.类似性

与投射方向不平行的任何平面图形，其投影与原图形类似，该性质被称为类似性。如图2－5所示，三角形的投影仍为三角形，四边形的投影还是四边形。图2－5投影的类似性

1.实形性

平行于投影面的直线、平面，其投影反映该直线的实长或平面的实形，如图2－6所示。

2.定比性

点分直线之比等于点的投影分直线的同面投影之比。如图2－7所示，AC∶CB=ac∶cb。

3.平行性

当空间两直线平行时，它们的同面投影也平行，且两直线的投影之比等于其长度之比。如图2－8所示，AB∥CD，则ab∥cd，且AB∶CD=ab∶cd。图2－6平行投影的实形性图2－7平行投影的定比性图2－8平行投影的平行性2.1.4工程中常用的图示方法

1.透视图

如图2－9所示，透视图是根据中心投影法绘制的图样。透视图立体感强，常用于绘制建筑物和机电产品的效果图，在方案设计、项目审批或招、投标时使用。但这种图样尺规作图复杂，度量性差。图2－9透视图

(a)透视图的形成;(b)建筑物的透视图

2.轴测图

如图2－10所示，轴测图是根据平行投影法绘制的具有一定立体感的图样。轴测图的真实感、逼真性不如透视图，但作图比透视图简单，度量性较好，常作为一种辅助性图样。图2－10轴测图

（a）轴测图的形成;（b）轴测图

3.正投影图

正投影图是根据正投影法将物体向几个投影面投射后所得到的图形。正投影图能准确地表达物体的形状和大小，作图简单，主要应用于机械图样的表达。但其缺点是直观性差，需要经过专门的学习训练才可以掌握。正投影图是我们本书重点学习的内容。

为叙述方便，本书后面将“正投影法”简称为“投影法”，将“正投影”简称为“投影”。 2.2点的投影

2.2.1点在两投影面体系中的投影

1.两投影面体系

如图2－12所示，设立两个相互垂直的投影面即可建立两投影面体系。通常情况下一个投影面水平放置，称为水平投影面H（简称H面），另一个投影面正对着观察者放置，称为正立投影面（简称V面）。两投影面的交线OX称为投影轴。两个投影面将空间分成四个部分，称为四个分角，它们的排列顺序如图2－12所示。

我国国家标准《技术制图》、《机械制图》规定将机件放在第一分角中进行投影，即采用第一分角，国际上也有采用第三分角的。

图2－11点的投影图2－12两投影面体系

2.点的两面投影

如图2－13（a）所示，将空间点A置于第一分角中，过点A分别向V面和H面作垂线，得到垂足点a′和a，它们分别称为点A的正面投影和水平投影。在投影法中规定，空间点用大写的英文字母表示，投影用相应的小写字母表示，并用上角标来区分不同投影面上的投影。

在图2－13（a）中，如果移去点A，则过水平投影a作H面的垂线aA，过正面投影a′作V面的垂线a′A，必将交于点A。由此可知，根据空间一点的两面投影即可唯一确定该点的空间位置。图2－13点在两投影面体系的投影

3.两投影面体系的展开

由图2－13（a）可知，点A的两面投影a和a′分别位于相互垂直的两个平面上，而实际作图时是将点的两个投影表示在同一个平面上。为此，规定保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转至与V面重合，如图2－13（b）所示。因为平面是无限的，在实际画图时，不必画出投影面的边框，如图2－13（c）所示的就是点A的投影图。2.2.2点在三投影面体系中的投影

1.三投影面体系的建立

三投影面体系是在两投影面体系的基础上，增加一个与H面和V面都垂直的侧立投影面W（简称W面）。H面、V面和W面两两相互垂直，构成了如图2－14（a）所示的三投影面体系。其中，V面与H面的交线称为OX轴，H面与W面的交线称为OY轴，V面与W面的交线称为OZ轴。三投影轴垂直相交于点O，该点称为投影原点。三个投影面将空间分为八个分角，其排列顺序如图2－14(a)所示。图2－14三投影面体系

2.点的三面投影

如图2－14（b）所示，设空间点A位于三投影面体系的第一分角中，由点A分别向V、H、W面作垂线Aa′、Aa和Aa″，其垂足a′、a和a″即为空间点A在三个投影面中的投影，其中a″为点A在W面上的投影，称为侧面投影。

类似两面投影，将三投影面展开，如图2－15（a）所示，规定保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转到与V面重合，同时，将W面绕OZ轴向右旋转到与V面重合，这样得到点的三面投影图,如图2－15（b）所示。图2－15点的三面投影2.2.3点的三面投影与点的直角坐标的关系

由图2－16可以看出，如果将三投影面体系看作是笛卡尔直角坐标系，则投影原点对应于坐标系原点，投影轴对应于坐标轴，这样空间点的位置可以用坐标（x，y，z）表示，它分别表示了空间点A到W、V和H投影面的距离。即

点A到W面的距离Aa″=aaY=a′aZ=aXO=x；

点A到V面的距离Aa′=aaX=a″aZ=aYO=y；

点A到H面的距离Aa=a′aX=a″aY=aZO=z。图2－16点的投影与直角坐标的关系

空间点A的位置可由它的坐标（x，y，z）唯一确定，点A的三面投影（a′，a，a″）与其坐标之间有如下关系：

水平投影a可由x，y两坐标确定，即a（x，y）；

正面投影a′可由x，z两坐标确定，即a′（x，z）；

侧面投影a″可由y，z两坐标确定，即a″（y，z）。

每个投影面都可看作坐标面，每个坐标面都是由两个坐标轴决定的，所以空间点在任意一个投影面上的投影，只能反映其两个坐标，而任意两个投影面上的投影即可确定点的空间位置。也就是说，若已知点的任意两个投影，则必能作出点的第三投影。2.2.4空间点的相对位置

1.空间两点的相对位置

空间两点的相对位置是指两点的上下、左右和前后关系。在投影图中根据两点的各个同面投影（即在同一投影面上的投影）之间的坐标关系，即可判断出空间两点的相对位置。因为在投影图中，空间两点的相对位置是由它们的各个同面投影所反映出的坐标差来确 定的。

沿OX方向区分左右关系，X坐标大者为左，反之为右；沿OY方向区分前后关系，Y坐标大者为前，反之为后；沿OZ方向区分上下关系，Z坐标大者为上，反之为下。由此可知，图2－17中的点A与点B的空间位置：点A在点B的左（xa>xb）、前（ya>yb）、下（zb>za）方，而点B则在点A的右、后、上方。图2－17空间两点的位置关系

2．重影点及其可见性

如图2－18所示，点E和点F的x和z坐标相同，而y坐标不同，由于点E的y坐标大，可知点E位于点F的正前方，即点E和点F位于同一条对V面的投影线上，它们的正面投影重合在一起，故点E和点F称为对V面的重影点。由此可知，一对有两个坐标分别相同的点必然有一组同面投影重合。比如点C和D的x、y坐标相同，z坐标不同，它们的水平投影重合，称为对H面的重影点。图2－18重影点及其可见性

由于重影点有一面投影重合，在空间必有一点遮住了另一点，比如点E和点F为对V面的重影点，如沿V面投射线方向观察，点E的y坐标大于点F的y坐标，所以点E遮住了点F，即点E的正面投影可见，点F的正面投影不可见，但其水平投影均可见。被遮的点一般要在同面投影符号上加圆括号，以区别其可见性，如（f′）。

【例2－1】已知点A（15，16，12），求作点A的三面投影。

解由于点A的三个坐标值已知，且均为正值，可以确定点A在第一分角内，其作图步骤如下：

（1）先画出投影轴并加以标记，再自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点aX,如图2－19（a）所示；

（2）过aX作OX轴的垂线，由aX沿垂线向下（即OYH方向）量取y=16，得到水平投影a，沿OZ方向向上量取12得到正面投影a′，如图2－19（b）所示。（3）由a′向OZ轴作垂线，垂足为点aZ，再由aZ沿此垂线向右量取y=16,得到侧面投影a″。也可以由点的投影规律作出侧面投影a″，其过程为：过水平投影a作OX轴的平行线，交OYH轴于点aYH，再以点O为圆心，以OaYH为半径画圆弧交OYW轴于点aYW，然后过点aYW作OYW轴的垂线并与a’aZ的延长线相交，交点即为点A的侧面投影a″，如图2－19（c）所示。图2－19求作点的三面投影【例2－2】如图2－20（a）所示，已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，求其水平投影a。

（1）由点a′作垂直于OX轴的直线，点A的水平投影a一定在此直线上。

（2）由点a″作OYW的垂线，垂足为点aYW，再以原点O为圆心，以OaYW为半径画圆弧,与OYH轴交于aYH，然后由点aYH作X轴的平行线。

（3）求出前面所作两条直线的交点，即为所求的水平投影a。图2－20求点的第三投影解

【例2－3】画出点的立体图（如图2－21所示）。图2-21求点的第三投影 2.3直线的投影

2.3.1直线的投影作图

两点可以唯一确定一条直线，因此绘制直线的三面投影，就是作出直线上任意两点的三面投影，然后用直线连接两点的同面投影，即为该直线的三面投影，如图2－22所示。图2－22直线的投影2.3.2各种位置直线的投影特性

直线对投影面的相对位置有3种：

(1)投影面垂直线：垂直于某一投影面，同时与另外两个投影面平行的直线，如图2－22（a）中的直线BC（⊥V面）。

（2）投影面平行线：平行于某一投影面，且与另两个投影面倾斜的直线，如图2－22（a）[JP]的直线BD（∥H面）。

（3）一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线，如图2－22（a）的直线AB、AC。图2－23直线与投影面的倾角

1．投影面垂直线

投影面垂直线分为3类：垂直于水平面H的直线称为铅垂线；垂直于正立面V的直线称为正垂线；垂直于侧立面W的直线称为侧垂线。

现以图2－24（a）所示物体上的铅垂线AB为例，分析其投影特性。

（1）水平投影：由于直线AB垂直于H面，A、B两点在H面上的投影重合，即AB直线上各点的水平投影重合在一点上，所以直线AB的水平投影积聚为一点。

（2）正面投影：由于直线AB垂直于H面，故必垂直于OX轴和OY轴，同时必平行于V面和W面，所以其正面投影垂直于OX轴，即a′b′⊥OX，并且a′b′反映AB实长，即a′b′=AB。（3）侧面投影：由上所述，a″b″⊥OYW，a″b″=AB。

直线与各投影面的夹角分别为α=90°，β=γ=0°。图2－24铅垂线的投影表2－1正垂线、侧垂线的投影特性

2.投影面的平行线

投影面平行线分为三类：平行于水平投影面H的直线称为水平线；平行于正立投影面V的直线称为正平线；平行于侧立投影面W的直线称为侧平线。

现以图2－25所示物体上的水平线AB为例，讨论其投影特性。

（1）水平投影：由于水平线平行于水平投影面H，如图2－25（b）所示，四边形ABba为一矩形，因此水平线的水平投影反映了该直线的实际长度，即ab=AB。同时ab与OX轴和OYH轴的夹角反映了空间直线AB相对于V面和W面的倾角β和γ。水平线对H面的倾角α为0°。（2）正面投影和侧面投影：由于水平线上各点的z坐标都相等，其正面投影a′b′和侧面投影a″b″上各点的z坐标也相等，因而水平线的正面投影a′b′平行于OX轴，侧面投影a″b″平行于OYW轴。图2－25水平线的投影

3．一般位置直线

与三个投影面中的任一投影面既不平行也不垂直的直线被称为一般位置直线，如图2－26所示。

由图2－26可知，直线AB在各投影面上的投影长度分别为ab=ABcosα，a′b′=ABcosβ，a″b″=ABcosγ，因α、β和γ均不等于零，故可得出一般位置直线的投影特性：

(1)一般位置直线的三面投影均倾斜于投影轴，且均小于该直线对应的实际长度。

(2)一般位置直线的三面投影与相应投影轴的夹角不能反映出空间该直线对各投影面的倾角α、β和γ。图2－26一般位置直线由一般位置直线的实长及对投影面的倾角，可以通过下面的直角三角形法求得。

图2－27(a)所示为一般位置直线AB，其水平投影为ab，与水平投影面H的倾角为α。在垂直于H面的平面ABba上，过点B作直线BA1∥ab，则△AA1B为一直角三角形。在该直角三角形上可以看出，直角边A1B=ab，即等于直线AB的水平投影；另一直角边AA1=zA-zB，即等于直线AB两端点的z坐标之差；斜边AB即为直线AB的实长，且∠ABA1=α，即等于直线AB对H面的倾角。图2－27求一般位置直线的实长和倾角α的直角三角形法2.3.3两直线的相对位置及其投影特性

1.两直线平行

从平行投影的基本性质可知，若空间两直线平行，则其同面投影必平行，且两直线同面投影长度之比等于两直线实长之比。反之，若两直线的各同面投影平行，且各同面投影长度之比等于两直线实长之比，则两直线在空间平行。

如图2－28所示，空间两直线AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″，且AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a″b″∶c″d″。图2－28平行两直线的投影

【例2－4】如图2－29（a）所示，判断直线AB和CD是否平行。

分析由于AB和CD为两条特殊位置直线（侧平线），因此不可能仅通过其在H、V两面的投影进行判断，一种方法可通过作出其第三面投影进行判断。

解分别作出AB、CD在W面的投影a″b″、c″d″。如图2－29（b）所示，显然a″b″、c″d″不平行，故AB与CD两直线在空间不平行。图2－29判断两直线是否平行

2.两直线相交

如图2－30所示，直线AB与CD相交于K点，由于交点K为两直线的共有点，因此在投影图中a′b′与c′d′、ab和cd也一定相交，而且它们的交点K的投影k′与k必然符合投影规律。因此可以得出：如果空间两直线相交，则它们的同面投影必相交，且两直线的各同面投影交点符合投影规律。图2－30直线与直线相交

【例2－5】如图2－31（a）所示，判断直线AB、CD是否相交。

由于直线AB是侧平线，故不能只看在H、V面投影，必须作出直线AB和CD的侧面投影进行判断。如图2－31（b）所示，虽然它们的W面投影也相交，但其交点不符合投影规律，故两直线AB与CD空间不相交。另外，也可运用点在直线上的定比性来进行判断（可不作出侧面投影）：由于a′k′∶k′b′≠ak∶kb，故K点不是直线AB与CD的公共点，所以直线AB与直线CD不相交。图2－31判断两直线是否相交解

【例2－6】如图2－32（a）所示，过A点作直线AF使与直线BC、ED都相交。

因直线BC为铅垂线，其水平投影积聚为一点，故直线AF与直线BC交点的水平投影必在直线BC的水平投影b（c）上，因此AF的水平投影必通过b（c）。

解（1）过a、b（c）作直线与ed相交于f点。

（2）过f点作OX轴垂线，与e′d′相交于f′点。

（3）连接a′f′与b′c′并相交于k′点，在b（c）处标出k，则af、a′f′即为所求。图2－32过一点作直线与另两直线相交分析

3.两直线交叉

既不相交也不平行的两直线称为交叉两直线。

如图2－33所示的两直线，其投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性。交叉两直线有时可能有一组或两组同面投影平行，但两直线的其余投影必不平行，如图2－29、2－33（a）所示；交叉两直线还可能有三个投影面的同面投影都相交，如图2－33（b）所示，但交点必定不符合投影规律，投影交点是两直线对投影面的重影点。利用重影点可以方便判断两直线的空间相对位置。图2－33交叉两直线

4.两直线垂直（直角投影定理）

如图2－34（a）所示，AB、BC两直线垂直相交，其中BC为一般位置直线，AB为水平线。因为AB垂直于平面BCcb，又ab平行于AB，所以ab垂直于平面BCcb，故ab垂直bc。其投影图如图2－34（b）、（c）所示。

由以上讨论可以得出：如果两直线垂直（垂直交叉或者垂直相交），其中一条直线是某投影面的平行线，则两直线在该投影面上的投影垂直。反之，如果两直线的投影在某个投影面上垂直，其中一条直线是该投影面的平行线，则两直线在空间垂直。这种投影特性称之为直角投影定理。图2－34垂直两直线

(a)两直线垂直相交；(b)垂直相交两直线投影图；

(c)垂直交叉两直线投影图

【例2－7】如图2－35（a）所示，求点C到水平线AB的距离。

分析求点到直线的距离，即过该点作直线的垂线求得交点（垂足）即可。由于直线AB是水平线，根据直角投影定理，在水平投影面上反映直角，即可作垂线求得交点（垂足）的相应投影，再根据直角三角形法，求得实长。

解（1）过c作cd⊥ab得交点d，由d作出正面投影d′;

（2）连接c′和d′，则c′d′、cd即为垂线CD的两面投影；

（3）用直角三角形法求得C与直线AB之间的真实距离cD。图2－35求点到直线的距离

2.4平面的投影

2.4.1平面的表示法

1.几何元素表示法

由初等几何可知，下列任意一组几何元素均可确定一空间平面，在投影图上，可以用其中任意一组几何元素的投影来表示平面：

(1)不在同一条直线上的三点(图2－36(a))；

(2)一直线和直线外一点(图2－36(b))；

(3)两条相交直线(图2－36(c))；

(4)两条平行直线(图2－36(d))；

(5)任意的平面图形（即平面的有限部分，如平面上的三角形、圆或其他封闭图形）(图2－36(e))。

图2－36平面的几何元素表示法用这些几何元素表示的平面，虽然表示形式不同，但却能表示空间同一平面，它们之间是可以相互转换的，例如用直线连接图2－36（a）中的A、B两点，即可得到图2－36（b）；若进一步连接A、C两点，便可转变为图2－36（c）；若过图2－36（b）中的点C作直线CD平行于AB，则又可转变为图2－36（d）。因此可以用上述任意一组几何元素的投影表示平面的投影。图2－37用迹线表示的平面

2.迹线表示法

平面与投影面的交线称为平面的迹线。如图2－37所示，平面P与H面的交线称为水平迹线，用PH表示；平面P与V面的交线称为正面迹线，用PV表示；平面P与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示。平面与投影轴的交点，即两条迹线的交点称为迹线的集合点。如PH和PV交于OX轴上的点PX，PH和PW交于OY轴上的点PY，PV和PW交于OZ轴上的点PZ。由于迹线既在投影面上，又在空间平面上，所以迹线的一个投影必与其自身重合，另两个投影与相应的投影轴重合。用迹线表示平面时，通常只画出与迹线本身重合的那个投影，其余两投影省略不画，如图2－37(b)所示。

为叙述方便，将用几何元素表示的平面称为非迹线平面，用迹线表示的平面称为迹线平面。实质上后者可以认为是前者的特殊情况。如图2－37（a）所示的平面P是一个三边位于不同投影面上的平面三角形。2.4.2各种位置平面的投影特性

1．投影面平行面

根据所平行的投影面不同，投影面平行面可分为三类：平行于水平投影面H的平面，称为水平面；平行于正立投影面V的平面，称为正平面；平行于侧立投影面W的平面，称为侧平面。

现以水平面为例，分析其投影特性，如图2－38所示。图2－38水平面的投影（1）水平投影：因水平面平行于水平投影面，故水平投影反映了该平面的实形。用迹线表示时，水平面无水平迹线。

（2）正面投影和侧面投影：正面投影和侧面投影均积聚为直线，分别平行于OX轴和OYW轴。用迹线表示时，该水平面的正面迹线PV∥OX，侧面迹线PW∥OYW。

因为水平面同时垂直于V面和W面，故它对三个投影面的夹角分别为：α=0°,β=90°,γ=90°。表2－3投影面平行面的投影特性

2.投影面垂直面

投影面垂直面根据垂直的投影面不同，可分为三种：垂直于H面的平面，称为铅垂面；垂直于V面的平面，称为正垂面；垂直于W面的平面，称为侧垂面。

现以铅垂面为例，分析其投影特性，如图2－39所示。图2－39铅垂面的投影（1）水平投影：由于铅垂面垂直于H面，所以其水平投影积聚为一条直线，即平面内所有的点和线的水平投影均在此直线上。该直线与OX轴及OYH轴的夹角分别反映了平面与V面和W面的夹角β及γ。铅垂面的水平迹线与平面的积聚性投影重合，对OX轴及OYH轴都倾斜。

（2）正面投影和侧面投影：铅垂面的正面投影和侧面投影均是平面图形的类似形。铅垂面的正面迹线和侧面迹线分别垂直于OX轴及OYW轴。表2－4正垂面、侧垂面的投影特性

3．一般位置平面

一般位置平面相对于三个投影面都是倾斜的，如图2－40（a）所示，它的三面投影既不反映平面的实形，又无积聚性，而是平面的类似图形，同时各投影也不反映该平面相对于各投影面的倾角α、β和γ，如图2－40（b）所示。当用迹线表示时，它的三条迹线都与投影轴倾斜，如图2－40（c）所示。图2－40一般位置平面的投影2.4.3平面上的点和直线

1.在平面上取点、直线

根据初等几何知识可知，点在平面上的几何条件是：点在该平面的任意一条直线上。因此在平面上取点，一般情况下先在平面上作一条辅助直线，然后在直线上取点。

直线在平面上的几何条件是：

（1）直线通过平面上两已知点；

（2）过平面上一点作平面上一条直线的平行线，则此直线必在该平面上。图2－41平面上取直线（两点法）

【例2－8】如图2－42，已知△ABC的两面投影，以及平面上一点D的正面投影d′，试作点D的水平投影。

解作图步骤如下：

（1）连接正面投影b′和d′，延长交a′c′于e′；

（2）作点E的水平投影e，e在ac上，连接b、e两点；

（3）由d′作出点D的水平投影d。图2－42求平面上点的投影解

【例2－9】如图2－43(a)所示，已知平面四边形ABCD的水平投影abcd及AB、BC两边的正面投影a′b′、b′c′，完成四边形的正面投影。

四边形的四个顶点位于同一个平面上，现已知其三个顶点A、B、C的投影，故本题实质上是已知△ABC平面上的一点D的水平投影d，求作其正面投影d′。作图步骤如图2－43（b）所示。图2－43完成平面四边形的投影解（1）连接ac和bd，交点为e；

（2）作点E的正面投影e′，连接b′、e′，则d′在直线b′e′上；

（3）延长b′e′，由点的投影规律作出d′。

本题也可过点D作BC边的平行线DF，作图时可先在水平投影上作df∥bc，如图2－43（c）所示，然后作d′f′∥b′c′，再由d求得d′。

【例2－10】图2－44(a）中，判断点D和E是否在两相交直线AB、BC所确定的平面上。

解如图2－44（b）所示，在两相交直线所确定的平面上作