中考数学总复习中考数学专项提升第29讲 与圆有关的计算(练习)(解析版)

第六章圆第29讲与圆有关的计算TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01利用弧长公式求弧长👉题型02由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径👉题型03求某点的弧形运动路径长度👉题型04利用扇形面积公式计算扇形面积👉题型05求图形旋转后扫过的面积👉题型06求弓形面积👉题型07求其它不规则图形面积👉题型08求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线👉题型09求圆锥侧面展开图的圆心角👉题型10圆锥的实际问题👉题型11圆锥侧面上最短路径问题👉题型01利用弧长公式求弧长1．（2023·山东东营·二模）如图，用一个半径为12cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为cm．（结果保留π【答案】10π【分析】本题考查求弧长，根据题意，得到重物上升的高度为半径为12cm，圆心角为150°【详解】解：由题意：重物上升的高度为半径为12cm，圆心角为150°150π180×12=10π（故答案为：10π．2．（2023·河南信阳·模拟预测）如图，正方形ABCD的边AB=2，将正方形ABCD以点A为旋转中心逆时针旋转得到正方形AB'C'D'（旋转角小于90°），B'C'与CD相交于点E【答案】2【分析】连接BB'，AC'，AC，根据旋转的性质可得：AC=AC'，AB=AB【详解】解：如图，连接BB由旋转得：AC=AC∵点B'恰好落在边AB∴AB∴AB=AB∴△ABB∴∠BAB∴∠BAB∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∴AC=2∴CC'故答案为：22【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）以AB为直径的⊙O上三点A、B、C，作∠BAC的平分线AD交⊙O于D点，如图，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于E点，交AB的延长线于F点，若AB=4

（1）若∠ADE=3∠F，则CD的弧长为．（2）若DF=23，则tan∠ADE=【答案】4π5【分析】（1）连接OC，OD，设∠F=x，则∠ADE=3x，根据垂直定义可得∠E=90°，从而可得∠EAF=90°−x，然后利用角平分线的定义可得∠DAE=12∠EAF=45°−12x，从而可得∠ADE=45°+1（2）先根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可得AE∥OD，从而可得∠ODF=∠E=90°，然后在Rt△ODF中，利用锐角三角函数的定义可得tanF=33，从而可得∠F=30°，进而可得∠EAF=60°，再利用角平分线的定义可得【详解】解：（1）连接OC，OD，

设∠F=x，∵∠ADE=3∠F，∴∠ADE=3x，∴DE⊥AC，∴∠E=90°，∴∠EAF=90°−∠F=90°−x，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=1∴∠ADE=90°−∠DAE=45°+1∴45+1解得：x=18°，∴∠DAE=45°−1∴∠COD=2∠DAE=72°，∵AB=4，∴OD=1∴CD的弧长=72°×π×2故答案为：4π5（2）∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠EAD=∠OAD，∴∠EAD=∠ODA，∴AE∥OD，∴∠ODF=∠E=90°，在Rt△ODF中，OD=2，DF=2∴tan∴∠F=30°，∴∠EAF=90°−∠F=60°，∵AD平分∠EAF，∴∠EAD=1∴∠ADE=90°−∠EAD=60°，∴tan故答案为：3．【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，圆周角定理，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．👉题型02由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径4．（2023·江苏镇江·二模）扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为度．【答案】90【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此扇形的圆心角为x°，由题意得，12πx180解得，x=90，故答案为：90．【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l=nπr5．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为【答案】100°/100度【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S=12lR【详解】∵一个扇形的弧长是10π3，面积是10π∴S=12lR，即10π=∴S=10π=nπ×62故答案为：100°．【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.6．（2023·河南·模拟预测）已知扇形的面积是43π，圆心角120°，则这个扇形的半径是【答案】2【分析】本题考查的是扇形面积的计算，设该扇形的半径是r，再根据扇形的面积公式即可得出结论．【详解】解：设该扇形的半径是r，则43解得r=2．故答案为：2．👉题型03求某点的弧形运动路径长度7．（2023·辽宁大连·一模）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，AA'与OB'交于点C【答案】π2/【分析】本题主要考查旋转的性质，弧长公式．根据旋转的性质得∠A'OB'【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'O∴∠A'O∴∠AOC=∠AOA∴AC的长为30π故答案为：π28．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从图①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么正三角形正中心的点A经过的路径长度为π=3．【答案】44【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．找出点A轨迹是解题的关键．利用弧长公式，可以解决问题．【详解】解：如图，∵A1和A∴∠A∴∠A1OA2第1次滚动，点A运动轨迹是以圆心O、圆心角150°，AO为半径的弧A1第2次滚动，是以圆心O'、圆心角为210°，O'A如图中虚线，∴A点运动的路径长度=4120π×2故答案为：44．9．（2023·北京东城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O0,0,A5,0(1)作出△OAB关于原点O成中心对称的图形△OA1B1（点A与点(2)将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA2B2，点B旋转后的对应点为B2(3)在（2）的条件下，求点B经过的路径BB【答案】(1)图见解析；点B1的坐标为4,3(2)图见解析；点B2的坐标为−3,−4(3)点B经过的路径长BB2【分析】本题考查了旋转与坐标，弧长的计算公式，解决本题的关键是找到旋转后的对应点，理解旋转时，点的运动轨迹为弧形．（1）根据中心对称的性质找到A、B的对应点A1、B1，连接O、A1、B（2）根据旋转的性质找到A、B的对应点A2、B2，连接O、A2、B（2）点B经过的路径为弧BB2，求得弧【详解】（1）解：△OAB关于原点O成中心对称的图形△OA点B1的坐标为4,3（2）解：旋转后的图形△OA点B2的坐标为−3,−4（3）解：由题可得OB=3∴lB∴点B经过的路径长BB2为👉题型04利用扇形面积公式计算扇形面积10．（2023·浙江温州·一模）若扇形的圆心角为150°，半径为4，则该扇形的面积为．【答案】20【分析】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般．直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】由题意得，n=150°,r=4，故可得扇形的面积S=nπ故答案为：20311．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为

【答案】2【分析】本题考查扇形的面积，解直角三角形，矩形的性质等知识，解直角三角形求出∠CBE=30°，推出∠ABE=60°，再利用扇形的面积公式求解．解题的关键是求出∠CBE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°，∵BA=BE=2，BC=3∴CE=BE2∴∠CBE=30°，∴∠ABE=90°−30°=60°，∴S故答案为：2312．（2023·浙江丽水·模拟预测）小明用长为4m铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成，O（1）若∠O=60°，A为OB的中点，则AB长为m；（2）若使得模型的面积最大，则AB的值为m【答案】1π+21【分析】本题为二次函数应用题，主要考查扇形的周长和面积的计算，正确记忆公式是解题关键．（1）由（2）每个扇环的圆心角为θ，面积为S，由【详解】解：（1）设每个扇环的周长为L，则L=1，设OA=AB=rm则1=2r+60×解得：r=1故答案为：1π（2）每个扇环的圆心角为θ，面积为S，设每个扇环的周长为L，则L=1，设OB=CO=R，OD=r，根据题意得：L=θ则θ=180∴S====−−1<0，所以抛物线开口向下，∵式中0<R−r<1∴R−r=14时，S取值最大，即故答案为：14👉题型05求图形旋转后扫过的面积13．（2023·山东聊城·二模）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C，已知AC=10,BC=6A．10π B．163π C．313【答案】D【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C【详解】解：如图：S扇形ACS扇形则S阴影故选：D．14．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，点A，B，C对应的刻度分别为3，5，7，将线段绕点C顺时针旋转，得到CA'，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，线段CA扫过的图形的面积为（结果保留【答案】8【分析】本题考查了扇形的面积公式以及解直角三角形，由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，且半径为4，求出∠BA'C=30°，∠BCA'=60°，再根据扇形面积公式求解即可．【详解】解：解：由图可知：AC=A'C=4∴sin∠BA'C=∴∠BA'C=30°，∠BCA'=60°，线段CA扫过的图形为扇形，此扇形的半径为CA=4，∴S扇形故答案为：8315．（2023·宁夏吴忠·模拟预测）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使△A1B1(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A(3)在（2）的条件下，求出线段CB所扫过的面积．【答案】(1)作图见解析，A1的坐标为(2)作图见解析(3)17【分析】（1）延长AC到A1，使A1C=2AC，延长BC到B1，使B1（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，然后连接A2C、B2（3）先利用勾股定理计算出CB，然后根据扇形面积公式计算线段BC所经过的面积．【详解】（1）解：如图，△A1B1C（2）如图，△A（3）CB=1∴线段CB所扫过的面积：90π×17【点睛】本题考查作图—位似变换，旋转变换，坐标与图形，勾股定理，扇形的面积等知识点．解题的关键是掌握画位似图形的一般步骤：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．👉题型06求弓形面积16．（2023·河南周口·二模）如图，已知每个小正方形的边长均为1，其中点A、B、C均在格点上，则ABC和弦AC构成的弓形的面积为．【答案】25π−50【分析】分别作AB、BC的中垂线MN、PQ，MN与PQ交于点O，则点O即为圆心．连接OA、OB、OC，构造如图所示的三角形，易证明△AEO≌△OFC，易知AE=OF=3，EO=FC=4，则OA=OC=OB=5，且∠AOE=∠OCF，∠EAO=∠FOC，则易证明∠AOC=90°．易求得扇形ACO的面积为本题考查不规则图形面积，准确构造图形是解题的关键．【详解】如图，分别作AB、BC的中垂线MN、PQ，MN与PQ交于点O，则点O即为圆心．连接OA、OB、OC，构造如图所示的三角形如图可得：△AEO≌△OFC，∴AE=OF=3，EO=FC=4，∴OA=OC=OB=5，且∠AOE=∠OCF，∠EAO=∠FOC，∴∠AOC=90∴扇形ACO的面积为90×π×5则弓形的面积为25π故答案为：25π−50417．（2023·河南周口·三模）如图，在△ABC中，BC=BA=4，∠C=30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为．

【答案】4π【分析】连接DE，BE，然后根据已知条件求出∠ABE=60°，AE=23，从而得到∠ADE=120°【详解】解：如图，连接DE，BE．

∵AB为直径，∴∠BEA=90°．∵BC=BA，∴∠BAC=∠BCA=30°，∴∠ABE=60°，BE=12AB=2∵BD=DE，∴△BDE是等边三角形，∴∠ADE=120°，∴阴影部分的面积=S===4π故答案为：4π3【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．18．（2023·江西新余·一模）如图，有一个半径为6cm的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为cm2(

【答案】6π−93/【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=6π【详解】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C，

由题意可知：∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB=AO=BO=6，∴S∵OC⊥AB，∴∠OCA=90°，AC=3，∴OC=33∴S∴阴影部分的面积为：6π−93故答案为：6π−93【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．19．（2023·广东佛山·一模）如图，在ΔABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD(1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E．（不写作法，保留作图痕迹），连接BE交AD于F点，并证明：AF×DF=BF×EF；(2)若⊙O的半径等于4，且⊙O与AC相切于A点，求劣弧AD的长度和阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】(1)见解析(2)2π，【分析】（1）利用圆周角相等所对的弧相等解决中点，连接DE，先说明△BFA∽△DFE，再利用相似三角形的性质得结论；（2）连接OD，先求出∠AOD的度数，再利用弧长公式、扇形的面积公式及三角形的面积公式得结论．【详解】（1）作∠ABC的角平分线交AD于点E．∴点E为所求的劣弧AD的中点．证明：连接DE，∵AE=AE，BD∴∠ABF=∠ADE，∠BAF=∠FED．∴△BFA∽△DFE．∴BFAF即AF×DF=BF×EF．（2）连接OD，∵⊙O与AC相切，OA为半径，∴BA⊥AC．∵AB∴∠B=∠C=45°．∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=45°．∴∠AOD=90°．∴劣弧AD的长度=90×π×4S==4π−8．【点睛】本题主要考查了与圆有关计算，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式及扇形的面积公式是解决本题的关键．16．（2023·河南周口·二模）如图，已知每个小正方形的边长均为1，其中点A、B、C均在格点上，则ABC和弦AC构成的弓形的面积为．【答案】25π−50【分析】分别作AB、BC的中垂线MN、PQ，MN与PQ交于点O，则点O即为圆心．连接OA、OB、OC，构造如图所示的三角形，易证明△AEO≌△OFC，易知AE=OF=3，EO=FC=4，则OA=OC=OB=5，且∠AOE=∠OCF，∠EAO=∠FOC，则易证明∠AOC=90°．易求得扇形ACO的面积为本题考查不规则图形面积，准确构造图形是解题的关键．【详解】如图，分别作AB、BC的中垂线MN、PQ，MN与PQ交于点O，则点O即为圆心．连接OA、OB、OC，构造如图所示的三角形如图可得：△AEO≌△OFC，∴AE=OF=3，EO=FC=4，∴OA=OC=OB=5，且∠AOE=∠OCF，∠EAO=∠FOC，∴∠AOC=90∴扇形ACO的面积为90×π×5则弓形的面积为25π故答案为：25π−50417．（2023·河南周口·三模）如图，在△ABC中，BC=BA=4，∠C=30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为．

【答案】4π【分析】连接DE，BE，然后根据已知条件求出∠ABE=60°，AE=23，从而得到∠ADE=120°【详解】解：如图，连接DE，BE．

∵AB为直径，∴∠BEA=90°．∵BC=BA，∴∠BAC=∠BCA=30°，∴∠ABE=60°，BE=12AB=2∵BD=DE，∴△BDE是等边三角形，∴∠ADE=120°，∴阴影部分的面积=S===4π故答案为：4π3【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．18．（2023·江西新余·一模）如图，有一个半径为6cm的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为cm2(

【答案】6π−93/【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=6π【详解】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C，

由题意可知：∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB=AO=BO=6，∴S∵OC⊥AB，∴∠OCA=90°，AC=3，∴OC=33∴S∴阴影部分的面积为：6π−93故答案为：6π−93【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．19．（2023·广东佛山·一模）如图，在ΔABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD(1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E．（不写作法，保留作图痕迹），连接BE交AD于F点，并证明：AF×DF=BF×EF；(2)若⊙O的半径等于4，且⊙O与AC相切于A点，求劣弧AD的长度和阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】(1)见解析(2)2π，【分析】（1）利用圆周角相等所对的弧相等解决中点，连接DE，先说明△BFA∽△DFE，再利用相似三角形的性质得结论；（2）连接OD，先求出∠AOD的度数，再利用弧长公式、扇形的面积公式及三角形的面积公式得结论．【详解】（1）作∠ABC的角平分线交AD于点E．∴点E为所求的劣弧AD的中点．证明：连接DE，∵AE=AE，BD∴∠ABF=∠ADE，∠BAF=∠FED．∴△BFA∽△DFE．∴BFAF即AF×DF=BF×EF．（2）连接OD，∵⊙O与AC相切，OA为半径，∴BA⊥AC．∵AB∴∠B=∠C=45°．∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=45°．∴∠AOD=90°．∴劣弧AD的长度=90×π×4S==4π−8．【点睛】本题主要考查了与圆有关计算，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式及扇形的面积公式是解决本题的关键．👉题型07求其它不规则图形面积20．（2024·浙江宁波·二模）如图，在矩形ABCD中，AD=3，F是AB上一点，AF=1，以点A为圆心AD为半径画弧，交AB于点E，以F为圆心，DF为半径画弧，交CD于点M，AB于点NA．332+π12 B．33【答案】B【分析】连接FM，根据题意可得出tan∠ADF=AFAD=33，DF=AD2【详解】解：如图，连接FM，在矩形ABCD中，AD=3∴tan∠ADF=AFAD∴∠ADF=30°，∴∠AFD=∠FDM=90°−30°=60°，∴△DFM为等边三角形，∠DFN=120°，∴S===3故选B．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，扇形的面积计算，等边三角形的判定和性质，掌握扇形的面积公式是解题关键．21．（2023·河南新乡·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E，则图中阴影部分的面积为【答案】π3/【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．连接CD，首先证明△ACD是等边三角形，得出∠ACD=60°，AD=CD，再证明CD=BD=2，然后根据S阴【详解】解：如图，连接CD．∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，∴∠BAC=60°，∵CA=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，AD=CD，∴∠ECD=30°，∴∠DCB=∠B，∴CD=BD=2，∴AD=BD，∴S故答案为：π322．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知，半圆的直径AB=8，O为圆心，点P是半圆上的一点，将AP沿直线AP折叠后的弧经过圆心O，则图中阴影部分的面积是．【答案】8π3/【分析】本题考查了扇形面积的计算，过点O作OD⊥AP于点D，交AP于点E，连接OP，则可判断点O为AOP的中点，由折叠的性质可得OD=12OE=12OA，在Rt△OAD【详解】解：过点O作OD⊥AP于点D，交AP于点E，连接OP，则点E是AEP的中点，由折叠的性质可得点O为AOP的中点，∴S弓形在Rt△AOD中，OD=DE=∴sin∠OAD=∴∠OAD=30°，∴∠BOP=60°，∴S阴影故答案为：8π3👉题型08求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线23．（2024·湖南长沙·模拟预测）用圆心角为90°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（

）A．12 B．34 C．3【答案】C【分析】本题主要考查的是圆锥的性质，掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长是解题关键．利用扇形求出对应弧长，即可求出所围成的圆锥的底面半径．【详解】解：由题意可知，扇形的弧长为：90°360°∴底面周长为：3π，∴3π=2πR解得：R=3即：底面半径等于32故选：C．24．（2024·江苏南京·模拟预测）圆锥的母线长为2 cm．底面圆的半径长为1 cm，则该圆锥的侧面积为【答案】2【分析】本题考查了圆锥的计算，直接用圆锥的侧面积公式S侧【详解】解：圆锥的侧面积为：πrl=π×2×1=2πcm故答案为：2πcm25．（2024·江苏南京·模拟预测）若圆锥的母线长为4，底面圆的半径长为3，那么该圆锥的高是．【答案】7【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的定义是解题的关键．根据圆锥的定义以及勾股定理即可得到答案．【详解】解：圆锥的母线长为4，底面圆的半径长为3，该圆锥的高是42故答案为：7．26．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆锥的侧面展开图的面积为200πcm2，圆锥母线与底面圆的半径之比为2:1，则母线长为【答案】20cm/20【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，则：母线长为2r由题意，得：12∴r=10（负值舍去），∴母线长为2×10=20cm故答案为：20cm👉题型09求圆锥侧面展开图的圆心角27．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（A．150° B．120° C．180° D．100°【答案】B【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数．【详解】解：设扇形的半径为r，则12解得：r=15；设扇形圆心角度数为n度，则nπ解得：n=120，即扇形圆心角为120°；故选：B．28．（2024·湖南常德·模拟预测）若一个圆锥的底面圆的半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（A．40° B．80° C．120° D．150°【答案】C【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π(cm设圆心角的度数是n度．则nπ×6180解得：n=120．故选：C．29．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为4:5，则其侧面展开图的圆心角度数为．【答案】216°/216度【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理及弧长公式，首先根据圆锥的高与母线之比为4:5，设圆锥高为4x，圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则圆锥母线长为5x，利用勾股定理即可得到圆锥底面半径的长为3x，然后根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长为6π【详解】解：设圆锥高为4x，圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则圆锥母线长为5x，∴圆锥底面半径的长为5x2∴2π解得：n=216，∴其侧面展开图的圆心角度数为216°，故答案为：216°．👉题型10圆锥的实际问题30．（2020·四川眉山·二模）如图，小非同学要用纸板制作一个高为3cm，底面周长为8πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是．【答案】20π【分析】先根据圆的周长公式计算出圆锥的底面圆的半径为4，再利用勾股定理计算出母线长，然后根据扇形的面积计算公式计算圆锥的侧面积即可；【详解】设圆锥的地面圆的半径为r，则2πr=8π，解得r=4，∴圆锥的母线长=32∴圆锥的侧面积=12即他所需要的纸板面积为20πcm【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算公式，准确根据圆锥进行分析是解题的关键．31．（2022·广西崇左·一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则ADAB=【答案】3【分析】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设AB=x，AD=y，则【详解】解：设AB=x，AD=y，则根据题意，得：90π⋅x180整理得：x=2(y−x)∴3x=2y解得：yx即：ADAB故答案为：32👉题型11圆锥侧面上最短路径问题32．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为．

【答案】3【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解．连接AB，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得△SAB是等边三角形，即可求解．【详解】解：连接AB，如图所示，

∵AB为底面圆的直径，AB=4，设半径为r,∴底面周长=2πr=4π，设圆锥的侧面展开后的圆心角为n，∵圆锥母线SB=6，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：4π=nπ×6解得：n=120°，∴∠ASC=60°，∵半径SA=SB，∴△SAB是等边三角形，∵点C为圆锥母线SB的中点，∴AC⊥SB，在Rt△ACS中，AC=SA⋅∴蚂蚁爬行的最短路程为33故答案为：3333．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形ABC的边长为6m，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是m．【答案】3【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为180°，即圆锥侧面展开为半圆．B'点正好在半圆的中点处，由此得△B'本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．【详解】∵△ABC为正三角形，∴BC=6，∴l=2π×3=6π，∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：nπ×6180∴n=180°，则∠B∴B故答案为：3534．（2024·浙江·模拟预测）一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高2.5米，用这堆沙在5米宽的路上铺3厘米厚的路面，能铺多长？【答案】157米【分析】本题考查了求圆锥的体积；把一个圆锥形的沙堆铺到路面上，体积不变．用ν=13Sℎ求出沙堆的体积(用周长求出底面的半径，再求底面积)；把沙子铺在路面上由圆锥变成长方体，这个长方体的横截面的面积为【详解】解：13×3.14×18.84÷3.14÷22×2.5=23.55(立方米)，3厘米答：能铺157米．35．（2024·广东阳江·一模）综合与实践主题：制作圆锥形生日帽．素材：一张圆形纸板、装饰彩带．步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．在制作好的生日帽中，AB=6cm，l=6cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点【答案】6【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，进而根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵l=6cm，r=3∴n=360×3∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为180°，如图所示．∴∠A∵PA∴PC=1∴在Rt△A'∴彩带长度的最小值为2A1．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点O2在⊙O1上，点C是AO2(1)求证：∠ACB=2∠P(2)若∠P=30°，AB=23①求⊙O②求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)①2②2【分析】对于（1），连接AO2,BO2，在⊙O1对于（2）①，由∠P=30°结合（1），可得∠ACB=∠AO2B=60°，再连接AO1,BO1，作O1D⊥AB，可得对于②，先说明△AO2B是等边三角形，即可求出其面积，在⊙【详解】（1）如图所示．连接AO在⊙O1中，在⊙O2中，∴∠ACB=∠AO（2）①，∵∠P=30°，∴∠ACB=∠AO连接AO1,BO1，过点O1作∴△AO1B=120°∴∠AO在Rt△AO1即32∴AO所以⊙O②∵AO∴△AO∴AO∵AO∴DO2垂直平分AB，DO∴点D,O在Rt△ADO2在Rt△ADO1在⊙O2中，AB⏜上标点E在⊙O1=4π【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键．1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA=3，AB=CD，A．54π B．58π C．【答案】A【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接OC、OD，由圆周角定理可得∠COD=2∠DBC=50°，进而得∠AOB=∠COD=50°，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键．【详解】解：连接OC、OD，则∠COD=2∠DBC=50°，∵AB=∴∠AOB=∠COD=50°，∴S扇形故选：A．2．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA=20cm，OB=5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC=120°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（

）

A．253π B．75π C．125【答案】C【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．【详解】解：由题知，S扇形S扇形所以山水画所在纸面的面积为：4003故选：C．3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（

）A．6π B．12π C．15π【答案】B【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积π×底面半径×母线长．【详解】解：S侧故选：B．4．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（

A．43π−3 B．43π 【答案】A【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键．如图：连接OA，AO'，作AB⊥OO'于点B，得三角形【详解】解：如图：连接OA，AO'，作∵OA=OO∴三角形AOO∴∠AOO∴AB=∴S弓形∴S阴影故选：A．5．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（

）A．3118π B．118π 【答案】D【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出r=1，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．【详解】解：设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr，∵圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，且扇形的半径l是5，∴扇形的弧长为72π×5180∵圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，∴2πr=2π，∴r=1，∴圆锥的高为52∴圆锥的体积为13故选：D．6．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3，C是AB上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD=DC，连接BD．若BD⊥OC，则AC的长为（

）A．π6 B．π3 C．π2【答案】B【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接BC，根据OD=DC，BD⊥OC，易证△OBC是等腰三角形，再根据OB=OC，推出△OBC是等边三角形，得到∠BOC=60°，即可求出∠AOC=20°，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接BC，∵OD=DC，BD⊥OC，∴OB=BC，∴△OBC是等腰三角形，∵OB=OC，∴OB=OC=BC，△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∵∠AOB=80°，∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=20°，∵OA=3，∴AC=故选：B．7．（2024·河南·中考真题）如图，⊙O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（

A．8π3 B．4π C．16【答案】C【分析】过D作DE⊥BC于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出∠BDC=120°，利用弧、弦的关系证明BD=CD，利用三线合一性质求出BE=12BC=23，∠BDE=1【详解】解∶过D作DE⊥BC于E，∵⊙O是边长为43的等边三角形ABC∴BC=43，∠A=60°，∠BDC+∠A=180°∴∠BDC=120°，∵点D是BC的中点，∴BD=∴BD=CD，∴BE=12BC=2∴BD=BE∴S阴影故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键．8．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m=SnS，则m与A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为R，根据扇形的面积公式表示出πR2=3S，进一步得出S【详解】解：设该扇面所在圆的半径为R，S=120π∴πR∵该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn∴Sn∴m=S∴m是n的正比例函数，∵n≥0，∴它的图像是过原点的一条射线．故选：C．9．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交AB于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（

）A．14 B．13 C．12【答案】B【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形OBE的面积，即可求解．【详解】解：∵∠AOB=90°，CE⊥AO，ED⊥OB∴四边形OCDE是矩形，∴S∴S∵点C是AO的中点∴OC=∴sin∴∠EOD=30°∴S阴影部分=S点P落在阴影部分的概率是S故选：B．10．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（

）A．700π平方厘米 B．900C．1200π平方厘米 D．1600【答案】C【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．【详解】解：圆锥的底面圆周长为2π∴圆锥的侧面积为12故选：C．11．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为m【答案】π【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去△COD的面积即可解决问题．【详解】解：由题知，S扇形OAB=∵点C，D分别是OA，OB的中点，∴OC=OD=12（m∴S△OCD=1∴花窗的面积为π故答案为：π412．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l=（结果保留π）．【答案】13π【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定ΔABE是等边三角形，得到∠BAE=60°由平行四边形的性质推出∠B=∠D=60°，判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60°，由弧长公式即可求出BE⏜【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=60°，由题意得：AB=AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∵AB=1，∴l=60π×1故答案为：1313.（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的DF的长为．【答案】4π【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形ABCDEF是正六边形，根据正多边内角和等于n−2×180°，求出内角∠DEF【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠DEF=6−2∴DF=故答案为：4π314．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n=．【答案】108【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解．【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为3×2π×1=6πcm∴n°×π×10180解得：n=108．故答案为：10815．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是cm2【答案】60π【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵底面半径为5cm∴圆锥底面圆的周长为2π×5=10π(cm)即扇形纸片的弧长为10πcm∵母线长为12cm∴圆锥的侧面积12故答案为：60π16．（2024·辽宁·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在BC上，AC=BD，E在BA的延长线上，(1)如图1，求证：CE是⊙O的切线；(2)如图2，若∠CEA=2∠DAB，OA=8，求BD的长．【答案】(1)见详解(2)2π【分析】（1）连接CO，则∠1=∠2，故∠3=∠1+∠2=2∠2，由AC=BD，得到∠4=∠2，而∠ACB=90°，则∠CAD+2∠2=90°，由∠CEA=∠CAD，得∠CEA+2∠2=90°，因此∠CEA+∠3=90°，故∠ECO=90°，则CE是（2）连接CO,DO，可得∠3=2∠2=2∠4=∠CEA，则∠3=∠CEA=90