中考数学总复习中考数学专项提升第21讲 相似三角形及其应用(练习)(解析版)

第四章三角形第21讲相似三角形及其应用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似👉题型02选择合适的方法证明两个三角形相似👉题型03补全判定相似三角形的证明过程👉题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程👉题型05利用相似三角形的性质求解👉题型06利用相似的性质求坐标👉题型07相似三角形在网格中的应用👉题型08相似三角形的性质与判定综合👉题型09利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题👉题型10利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象👉题型11利用相似三角形的性质与判定求线段比值👉题型12利用相似三角形的性质与判定求最值👉题型13利用相似三角形的性质与判定解决动点问题👉题型14利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题👉题型15利用相似三角形列函数关系式👉题型16利用三点定形法证明比例式或等积式👉题型17尺规作图与相似三角形综合应用👉题型18三角板与相似三角形综合应用👉题型19平移与相似三角形综合应用👉题型20利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题👉题型21与相似三角形有关的新考法问题👉题型22利用相似测量物体的高度👉题型23利用相似测量物体（不易测量）的宽度👉题型24其它问题👉题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD=∠CAE．请添加一个条件：______，使得【答案】∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB（答案不唯一），证明见详解【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可；【详解】解：使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB，理由：①添加的条件可以是：∠ADE=∠ABC时，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，即∠DAE=∠CAB，又∵∠ADE=∠ABC，∴△ADE∽△ABC；②添加的条件可以是：∠AED=∠ACB时，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，即∠DAE=∠CAB，又∵∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC；故答案为：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB（答案不唯一）．2．（2024·云南昆明·三模）如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC．你添加的条件是【答案】∠D=∠ABC（答案不唯一）【分析】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．已知AC∥BD，得到∠BAC=∠ABD，则可以再添加【详解】解：添加的条件是∠D=∠ABC，∵AC∥∴∠BAC=∠ABD，∵∠D=∠ABC，∴△BDE∽△ABC，故答案为：∠D=∠ABC（答案不唯一）．3．（2024·福建福州·一模）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中，选择一个作为附加条件①∠E＝∠ABC；②DEBA=DB【答案】②，见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．【详解】证明：选择①∵DE∥BC，∴∠EDB＝∵DEBA∴△EDB∽△ABC．4．（2023·湖南永州·二模）如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点．

(1)给出一个条件，使得△ABP与△ECP相似并写出证明；(2)在（1）的条件下，已知AB=2，求sin∠BAP【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，因此只需要条件一组对应角相等即可证明两三角形相似；（2）根据相似三角形的性质求出BP=43，进而利用勾股定理求出【详解】（1）解：条件是∠APB=∠EPC（不唯一）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°∵∠APB=∠EPC，∴△ABP∽△ECP（2）解：∵E是CD的中点，四边形ABCD是正方形，∴CE=1∵△ABP∽△ECP∴BPCP=AB∴BP=4∴AP=∴sin∠BAP=【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，正方形的性质，添加条件证明三角形相似，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．👉题型02选择合适的方法证明两个三角形相似5．（2024·广西柳州·三模）如图，△ABC为边长等于4的等边三角形，点F是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），FD⊥AB，FE⊥AC，垂足分别是D、E．

(1)求证：△BDF∽(2)若CF=a，四边形ADFE面积为S，求出S与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围．【答案】(1)见解析(2)S=−【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定，解直角三角形，列二次函数关系式等：（1）证明两组对角相等即可；（2）通过解Rt△CEF，Rt△BDF求出S△BDF，S【详解】（1）证明：∵△ABC为边长等于4的等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵FD⊥AB，FE⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°，∴△BDF∽（2）解：∵△ABC为边长等于4的等边三角形，CF=a，∴BF=4−a，在Rt△CEF中，CF=a，∠C=60°∴CE=CF⋅cos60°=1∴S△CEF同理S△BDF∵S△ABC∴S=S∵点F是BC边上的一个动点，∴0<a<4，∴S=−36．（2020·四川成都·一模）如图，在△ABC与△EBD中，∠ABC=∠EBD=90°，AB=6，BC=3，EB=25，BD=(1)求证：△ABE∽△CBD；(2)若AB∥ED，求(3)若△EBD绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段AP的最大值与最小值．【答案】(1)见解析(2)1(3)AP的最大值为35，AP的最小值为4−【分析】本题主要考查了相似三角形、圆的性质的综合应用等知识点，根据题意画出图形、添加合适的辅助线是解题的关键．（1）由∠ABC=∠EBD=90°，∠ABE=∠CBD，结合ABCB（2）如图：过点E作EM⊥AB，则EM=BN=2，BM=EN=5−1=4，再证（3）由（2）可得当点P与C重合时，PA的值最大，然后根据勾股定理求得AC的长即可确定最大值；当AE在AB的下方且与⊙B相切时，∠CAP的值最大，此时PA=AC·cos∠CAP的值最小，然后证明四边形BEPD是矩形，则BD=PE=5【详解】（1）解：∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=∠EBD−∠EBC=∠CBD，∵AB=6，BC=3，∴ABCB∴△ABE∽△CBD．（2）解：∵∠ABC=∠EBD=90°、AB=6，BC=3，∴DE=B∵AB∥∴BN⊥DE，∴BN=BD⋅BE∴CN=BC−BN=3−2=1，DN=B∴CN=DN，∴∠PDE=45°，如图：过点E作EM⊥AB，则EM=BN=2，∴AM=6−4=2，∴AM=EM，∴∠EAB=45°，∴∠PED=∠EAB=45°，∴△PED，∴PE=PD=5÷2=52，∴PA=PE+AE=922∴tan∠PAC=（3）解：由（2）可知当点P与C重合时，PA的值最大，最大值PA=AC=A如图:当AE在AB的下方且与⊙B相切时，∠CAP的值最大，此时PA=AC·cos∵∠BEP=∠DPE=∠DBE=90°，∴四边形BEPD是矩形，∴BD=PE=5∵AE=A∴PA=AE−PE=4−∴PE的最小值为4−57．（2023·湖北武汉·二模）如图，在⊙O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且F为BE的中点．

(1)求证：△FBP∽△FAB；(2)若tan∠BEF=34【答案】(1)见解析(2)sin∠ABE=【分析】（1）由F是BE的中点推出∠FBE=∠A，再加上公共角推出△FBP∽△FAB；（2）连接OF，交EB于点M，利用tan∠A=BFAF=34设BF=3a，则AF=4a，求出AB，OF，OB，证明∠FBM=∠A从而求出【详解】（1）证明：∵F是BE的中点，∵EF=∴∠FBE=∠A，∵∠PFB=∠BFA，∠FBE=∠A，∴△FBP∽△FAB．（2）解：连接OF，交EB于点M．

∵EF=∴EF=BF，∠FBM=∠A，OF垂直平分BE，∴OF⊥BE．∵AB是直径，∴∠AFB=90°．tan∠A=设BF=3a，则AF=4a，由勾股定理得：AB=B∴OF=OB=12在Rt△BFM中，∠FBM=∠A∴sin∠FBM=∴FM=3∴OM=OF−FM=7在Rt△BMO中，OM=710∴sin∠ABE=【点睛】本题考查相似三角形的判定，同圆中同弧所对的圆周角相等，弦、弧、圆心角的关系，三角函数有关的计算，直径所对的圆周角是90°，勾股定理，垂直平分线的判定等知识，连接OF构造直角三角形求三角函数值是解题的关键．8．（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于

(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．【答案】(1)△ABP∽(2)0≤m≤4【分析】（1）证明∠B=∠C=90°，∠BAP=∠CPE可得△ABP∽（2）设BP=x，CE=y，则PC=m−x，根据△ABP∽△PCE，可得y=−14x2+m4【详解】（1）解：△ABP∽∵AB∥CD，∴∠B=∠C=90°，∠BAP+∠APB=90°，∵PE⊥PA，∴∠APB+∠CPE=90°，∴∠BAP=∠CPE，∴△ABP∽（2）解：∵BC=m，设BP=x，CE=y，则PC=m−x，∵△ABP∽∴ABPC∵AB=4，∴4m−x=x∴y=−14x∴当x=m2时，y取最大值，最大值为∵m216≤2又∵m≥0，∴0≤m≤42【点睛】本题考查了几何问题，涉及到三角形相似的判定和性质、求线段的取值范围，灵活运用所学知识是关键．👉题型03补全判定相似三角形的证明过程9．（2024·广西·三模）【探究与证明】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S(1)【问题解决】如图①，若AB∥CD，求证：S小红同学展示出如下正确的证明办法，请在横线上将内容补充完整．证明：过点D作DE⊥AC交AC于点E，过点B作BF⊥AC交AC于点F，如图①所示：则∠DEO=∠BFO=90°∴DE____________BF（填写位置关系）∴△DOE∼△____________；∴DEBF∵S1S2∴S1(2)【探索推广】如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在OA上取一点E，使OE=OC．过点E作EF∥CD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若OEOA=5【答案】(1)∥；BOF；OD(2)成立，理由见解析(3)25【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，熟练掌握相关性质及判定定理正确作出辅助线是解题的关键．（1）根据平行线的判定定理得出DE∥BF，可得△DOE∼△BOF，即可得出DEBF（2）过点D作DE⊥AC交AC于点E，过点B作BF⊥AC交AC于点F，可得得出DE∥BF，可得△DOE∼△BOF，即可得出DEBF（3）如图所示，过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，先利用AAS证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∼△OAM，得到OFOM=OEOA=56，设OE=OC=5m，OF=OD=5n【详解】（1）证明：过点D作DE⊥AC交AC于点E，过点B作BF⊥AC交AC于点F，如图①所示：则∠DEO=∠BFO=90°∴DE∥BF，∴△DOE∼△BOF，∴DEBF∵S1S2∴S1故答案为：∥；BOF；OD（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，则∠DEO=∠BFO=90°，∴DE∥BF，∴△DOE∼△BOF，∴DEBF∵S1S2∴S1（3）如图所示，过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，∵EF∥CD，∴∠ODC=∠OFE,∠OCD=∠OEF，∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD(AAS∴OD=OF，∵AM∥EF，∴△OEF∼△OAM，∴OFOM设OE=OC=5m，OF=OD=5n，则∵H是AB的中点，N是BM的中点，∴HN是△ABM的中位线，∴HN∥AM∥EF，∴△OGF∼△OHN，∴OGOH∵OG=2GH，∴OG=2∴OGOH∴ON=3∴OB=ON+BN=9n，由（2）可知：S110．（2024·山西临汾·一模）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．连接三角形顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心．经过研究发现，三角形的重心把中线分成1：2两部分，用数学语言表述为：如图1，在△ABC中，中线AD,CE相交于点G，则有EG=12CG

证明过程如下：如图，连接DE．∵D，E分别是BC,AB边的中点，∴_________．∴DE∥AC，且∴∠DEC=∠ACE，∠EDA=∠DAC．……任务：(1)材料中横线部分应填写的结论为________；材料中“依据”的定理内容是________．(2)请将材料中的证明过程补充完整．(3)如图2，在△MNH中，点K，L分别在MN,MH边上，连接HK,NL交于点F．若MK=13MN，ML=13

【答案】(1)DE是△ABC的中位线；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半(2)见解析(3)KF=13HF【分析】本题考查了三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．（1）根据题意进行填空即可；（2）根据相似三角形的判定和性质进行证明即可；（3）连接KL，通过证明△MKL∽△MNH，△KLF∽△HNF，利用相似三角形的性质进行求解即可．【详解】（1）如图，连接DE．

∵D，E分别是BC,AB边的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥AC，且故答案为：DE是△ABC的中位线；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；（2）如图，连接DE．

∵D，E分别是BC,AB边的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥AC，且∴∠DEC=∠ACE，∠EDA=∠DAC．∴△EDG∽△CAG，∴DEAC∴EG=1（3）连接KL，

∵MK=13MN∴MKMN∵∠M=∠M，∴△MKL∽△MNH，∴∠MKL=∠MNH,KL∴KL∥∴∠FKL=∠FHN,∠FLK=∠FNH，∴△KLF∽△HNF，∴KLNH∴KF=1故答案为：KF=111．（2024·湖北武汉·模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，AB是⊙O的切线，直线AD为⊙O的割线，则AB证明：如图1所示，连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE、BC．∵AB是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴∠ABC+∠CBE=90°．∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE=90°（____________）．∴∠E+∠CBE=90°．∴____________，∵∠E=∠CDB（____________），∴____________，∵∠BAC=∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴AB∴AB任务：(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，割线CF与AB于点E，且满足CD:DE:EF=1:2:1，AC=8，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)285【分析】本题主要考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质；（1）根据圆周角定理、等角的余角相等、等量代换、相似三角形的性质等补充证明过程；（2）先根据已知和割线定理求得CD=4，DE=8，EF=4，则CE=12，再根据切线性质和勾股定理求得AE=45；利用圆周角定理和相似三角形的判定证明△ADE∽△FBE，则AEEF=【详解】（1）如图②，连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE、BC．∵AB是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴∠ABC+∠CBE=90°．∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE=90°（直径所对的圆周角相等），∴∠E+∠CBE=90°，∴∠ABC=∠E．∵∠E=∠CDB，∴∠ABC=∠CDB．∵∠BAC=∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴ABAD∴AB故答案为：直径所对的圆周角相等；∠ABC=∠E；圆周角定理；∠ABC=∠CDB；（2）图3中，连接AD，BF，∵CD:DE:EF=1:2:1，∴设CD=x，DE=2x，EF=x，则CF=4x，∵AC是⊙O的切线，CF是割线，∴由割线定理得AC2=CD⋅CF解得x=4（负值舍去），∴CD=4，DE=8，EF=4，则CE=12，∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴AE=C∵∠ADE=∠ABF，∠DAB=∠DFB，∴△ADE∽△FBE，则AEEF∴BE=EF⋅DE∴AB=AE+BE=4512．（2023·青海西宁·二模）【问题背景】数学综合实践课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论：如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证ABAC请将小慧的证明过程补充完整：证明：过点C作CE∥AB，交AD∴∠BAD=∠E

又∵∠_____=∠______（

）∴△__________∽△_________（

）∴ABCE∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又∵∠BAD=∠E

，∴∠________=∠__________，∴AC=CE（等角对等边），∴ABAC【解决问题】如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，连结AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在AB边上的点E处．若AC=1，AB=2，求DE【答案】∠ADB=∠EDC；对顶角相等；△ABD∽△ECD；两角分别相等的两个三角形相似；∠CAD=∠E；解决问题：5【分析】根据平行线的性质及对顶角相等得到△ABD∽△ECD，再利用相似三角形的性质及角平分线的定义ABAC=BD【详解】证明：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点∴∠BAD=∠E，∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等）∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似）∴ABCE∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=∠E，∴∠CAD=∠E，∴AC=CE（等角对等边），∴ABAC故答案为：∠ADB=∠EDC；对顶角相等；△ABD∽△ECD；两角分别相等的两个三角形相似；∠CAD=∠E；【解决问题】∵△ADC折叠得到△ADE，

∴△ADC≌△ADE，∴CD=ED

，∠CAD=∠EAD，∴AD平分∠CAE

，∴ACAB在Rt△ABC中∠BAC=90°，AC=1，AB=2∴BC=1设CD=DE=x，∴12=解得x=5∴DE的长为53【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，全等三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．👉题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程13．（2021·江苏南京·一模）在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：甲：过点D作DE∥BC，交AC于点E，则△ADE∽△ABC∴DE∴DE=乙：这个解答中有两个错误，其中一个是：比例式写错了！（1）写出正确的比例式及后续解答；（2）指出另一个错误，并给予正确解答．【答案】（1）DEBC【分析】（1）列比例式，DEBC（2）当∠ADE=∠ACB时，△ADE∽△ACB，列比例式计算即可．【详解】（1）过点D作DE∥BC，交AC于点E，则△ADE∽△ABC，∴DEBC∴DE=ADAB·BC=AB−DBAB（2）漏了不平行的情况，即当∠ADE=∠ACB时，△ADE∽△ACB，∴DEBC∴DE=ADAC·BC=AB−DBAC【点睛】本题考查了三角形的文字型描述相似，解答时，分平行相似和不平行相似两种情形解答是解题的关键．14．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在△ABC中，点D,E, F分别在边AB, AC, 证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；【详解】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽故选：B．15．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（

）

天冀的做法：添加条件∠ABD=∠C．证明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A．∴△ADB∽△ABC（两组角对应相等的两个三角形相似）往琛的做法：添加条件ABAC证明：∵∠A=∠A,ABAC∴△ADB∽△ABC（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题【答案】B【分析】根据题意已知∠A=∠A，故添加两组对应边成比例夹角为∠A或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．【详解】解：依题意，∠A=∠A，添加一组对应角相等，可以使得△ADB∽△ABC，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为ADAB故选：B．👉题型05利用相似三角形的性质求解16．（2024·上海杨浦·一模）如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作GD∥BC，交边AC于点D，联结BG，如果S△ABC=36，那么S【答案】16【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接AG，延长AG交BC于点H，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：连接AG，延长AG交BC于点H，并延长至F，使得GH=HF，延长BG交AC于点E，连接CG,BG∵点G是重心，∴H,E分别为BC,AC的中点，∴BH=CH，∴四边形CGBF是平行四边形，∴CF∴AG∴AG=GF=2GH∵S△ABC∴S△ABH∴S△ABG=12，∵GD∥∴△AGD∽△AHC，∴S△AGD∵S△AGD∴S△AGD=8，∴S四边形故答案为：16．17．（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与直尺的一边重合，AC，BC分别与直尺的另一边交于点D，E．若点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为1cm，则点C到边AB的距离为cm【答案】2【分析】本题考查了点到直线的距离，相似三角形的判定和性质，证△CDE∽△CAB，可得CMCF=DEAB，已知点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，可得AB、DE的长，即得CMCF的值，设CM=xcm，则CF=(x+1)cm，可得【详解】解：过C作CF⊥AB，交AB于点F，交DE于点M，，由题意得，AB=4，DE=2，∵DE∥AB，CF⊥AB，∴CM⊥DE，∠B=∠CED，∵∠DCE=∠ACB，∴△CDE∽△CAB，∴CMCF设CM=xcm，则CF=(x+1)∴xx+1解得：x=1，∴CM=1cmCF=2cm故答案为：2．18．（2024·福建福州·模拟预测）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等．【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b mm【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n=【素材3】如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“【探究活动】(1)当检测距离为5米时，①猜想n与b满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）；②直接写出n与b的函数关系式为______；③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．(2)当n≥1．0时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角(3)在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为3.6 mm【答案】(1)①反比例；②n=7．(2)0.5≤θ≤1.0(3)不匹配，检测距离b2应调整为【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．（1）①根据图象上的点猜测为反比例函数关系，②求出比例系数，再验证即可，③n=1.2代入函数解析式，即可得到答案；（2）根据n=1（3）根据题意解得检测距离b2应为3【详解】（1）解：由图象中点的坐标规律得到n与b成反比例关系，设n=kb，将其中的点9,0.8代入，得到∴n=7.2将其余点一一代入，都符合关系式，故答案为：①反比例；②n=7.2③将n=1.2代入n=7.2b得：答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6 mm（2）∵n=1∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，∴当n≥1.0时，0<θ≤1.0，又∵0.5≤θ≤10,∴0.5≤θ≤1.0；（3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质得b1由（1）知b1解得检测距离b2应为答：不匹配，检测距离b2应调整为3 m．（或者小何同学应当向视力表方向前进19．（2020·湖北襄阳·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA，AE交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD=AF时，①求证：BD=CF；②推断：∠ACE=_________．；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF=13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若【答案】（1）①证明见解析，②∠ACE=90°；（2）∠ACE=90°为定值，证明见解析；（3）5【分析】（1）①利用已知条件证明△ABD≌△ACF,即可得到结论，②先证明△DFE∽△AFC,利用相似三角形的性质再证明△AFD∽△CFE,结合相似三角形的性质可得答案；（2）由（1）中②的解题思路可得结论；（3）设EF=a,则AF=3a,利用等腰直角三角形的性质分别表示：DP,AP,EP,PF,DF,由△DFE∽△AFC表示FC,AC,再证明△APK∽△ACE,利用相似三角形的性质建立方程求解a，即可得到答案．【详解】证明：（1）①∵AD=AF,∴∠ADF=∠AFD,∴∠ADB=∠AFC,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△ABD≌△ACF,∴BD=CF.②推断：∠ACE=90°.理由如下：∵AD=DE,DA⊥DE,∴∠AED=∠DAE=45°,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=45°,∴∠ACF=∠DEF,∵∠DFE=∠AFC,∴△DFE∽△AFC,∴DF∵∠AFD=∠CFE,∴△AFD∽△CFE,∴∠DAF=∠ECF=45°,∴∠ACE=∠ACF+∠ECF=90°.（2）∠ACE=90°为定值，理由如下：由（1）得：∠ACF=∠DEF=45°,∵∠DFE=∠AFC,∴△DFE∽△AFC,∴DF∵∠AFD=∠CFE,∴△AFD∽△CFE,∴∠DAF=∠ECF=45°,∴∠ACE=∠ACF+∠ECF=90°.（3）∵EFAF设EF=a,则AF=3a,∴AE=AF+EF=4a,∵DP⊥AE,DA=DE,DA⊥DE,∴DP=AP=EP=2a,PF=a,∴DF=D∵△DFE∽△AFC,∴DF∴5∴FC=3∵∠APK=∠ACE=90°,∠PAK=∠CAE,∴△APK∽△ACE,∴AP∴AP•AE=AK•AC∵CK=16∴2a•4a=6解得：a=10∴DF=5【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，更重要的是考查学生的学习探究的能力，掌握以上知识是解题的关键．👉题型06利用相似的性质求坐标20．（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1xx>0的图象上，点C在函数y=−4xx<0的图象上，若点B的横坐标为A．12,2 B．22,2 【答案】A【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解．【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，∵点A在函数y=1xx>0的图象上，点C∴S△OCE=2，∵CE⊥x轴，∴∠CEO=90°，∠OCE+∠COE=90°，∵在矩形OABC中，∠AOC=90°，∴∠AOF+∠COE=90°，∴∠OCE=∠AOF，∴△OCE∼△AOF，∴CEOF∴CE=2OF，OE=2AF，设点A坐标为(x,1x)，则点C连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，∴x+(−2解得：x1=1∴点A坐标为(1故选A．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系．21．（2022·江西九江·二模）图，直线l1:y=kx+b与反比例函数l2:y=8x的图象相交于点(1)求k，b，m的值．(2)A是y轴上一点，若∠AQC=90°，求点A的坐标．【答案】(1)m=4，k=3，b=−2(2)(0,【分析】（1）先根据点Q在反比例函数l2:y=8x上求出m=4，然后将点（2）如图，过点Q作QB⊥y轴交y轴于点B，AQ⊥QC交y轴于点A，设出点A的坐标，根据△ABQ∽△QBC代入即可得出答案．【详解】（1）解：将Q2,m代入y=8x∴点Q的坐标为2,4．将Q2,4和C0,−2代入得4=2k+b−2=b解得k=3b=−2（2）：如图，过点Q作QB⊥y轴交y轴于点B，AQ⊥QC交y轴于点A．∵∠QAB+∠AQB=90°,∠QAB+∠ACQ=90°，∴∠AQB=∠ACQ．∵∠ABQ=∠QBC，∴△ABQ∽△QBC，∴ABQB设点A坐标为0,a，则AB=a−4，BC=4−−2=6，∴a−42解得a=14∴点A的坐标为0,14【点睛】本题属于反比例与一次函数综合题，解题的关键是读懂题意，设出坐标，应用相似三角形对应边成比例代入求解．22．（2022·湖南常德·一模）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为2,3，双曲线y=kx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点(1)求△BDE的面积(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求点F坐标．【答案】(1)3(2)F【分析】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝3x，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，3（2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标．【详解】（1）∵D点为BC的中点，B2,3∴D1,3把D1,3代入y=kx∴反比例函数解析式为y=3∵AB⊥x，

∴E点的横坐标为2，当x=2时，y=3x=∴△BDE的面积=1（2）∵△FBC∽△DEB，∴CFBD=BCBE∴OF=OC−CF=3−4∴点F坐标为0,5【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．👉题型07相似三角形在网格中的应用23．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．(1)在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽(2)在图2中找一点F，使∠AFC=2∠ABC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查基本作图，涉及相似三角形的判定、勾股定理、圆周角定理等知识，熟系相关知识是解答的关键．（1）找格点E、D，根据网格特点，得到AEAC（2）找格点F，证得点F为△ABC的外接圆圆心，利用圆周角定理可得结论．【详解】（1）解：如图，△ADE即为所求：作图依据：由网格特点，AB=22+∴AEAC=AD∴△ADE∽（2）解：如图，点F即为所求：作图依据：取格点F，连接AF、BF、CF，则AF=BF=CF=1∴点F为△ABC的外接圆圆心，∴∠AFC=2∠ABC，则点F即为所求．24．（2023·湖北荆州·一模）小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在7×7的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.

(1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转90°的三角形；(2)在图2中画出以BC为边的三角形，且与△ABC相似（不全等）.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．（1）根据旋转的性质可作出点A和B的对应点D和E，使CD=CA，CE=CB，∠DCA=∠ECB=90°，所得△CDE即为△ABC绕点C顺时针旋转90°的三角形；（2）根据相似三角形性质取点F，使∠CBF=∠ABC=135°，BFBC=BCAB=2，连接【详解】（1）如图，取格点D，E，使CD=CA，CE=CB，∠DCA=∠ECB=90°，连接CD，CE，DE，△CDE即为所求作；（2）如图，取格点F，使∠CBF=∠ABC=135°，BF=2连接BF，CF，△CBF即为所求作．25．（2023·江苏宿迁·二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A(1)若D2,3，请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2(2)∠D的正弦值是______．【答案】(1)见解析(2)10【分析】此题主要考查了相似变换、勾股定理以及解直角三角形，得出对应点位置，并熟练掌握正弦值的定义是解题关键．（1）利用相似比为2∶（2）作FG⊥DE于G，在Rt△DFG【详解】（1）解：如图所示：△DEF即为所求；（2）解：如图，作FG⊥DE于G，∵在Rt△DFG中，FG=2，DG=6∴DF=F∴sin∠D=故答案为：101026．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．(1)在图①中，在边AB上找一点D，使BD=BC．(2)在图②中，在边AC上找一点E，在BC上找一点F，使EF∥AB，且(3)在图③中，在△ABC内找一点M，分别连结AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面积相等．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的性质，掌握网格线的特点和相似三角形的性质是解题的关键．（1）只需将线段AB分成2:3的两段且分点D离点A更近，根据相似三角形的性质作图，连接EF即可；（2）只需找到AC和BC靠近点C的三等分点，根据相似三角形的性质，找到AC的三等分点E，连接FE即可；（3）先求出直角三角形的面积，根据三角形的面积求出高，再根据相似三角形的性质作图.【详解】（1）解：点D即为所求；（2）解：点E、F即为所求；（3）解：△ABC的面积为：12∵△ABM、△ACM、△BCM的面积相等，∴△ABM、△ACM、△BCM的面积都为：13∴△ACM的高为：2×2÷4=1，△BCM的高为：2×2÷3=4∵EP∥FQ，∴△EPM∽△FQM，且相似比为2:1，∴MQ=1∴点M即为所求.👉题型08相似三角形的性质与判定综合27．（2024·四川乐山·一模）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲线y=kx（x<0）的图象经过点A，若S△BEC=8，则A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】设OB=−x，则AB=−kx，过D作DH⊥x轴于H，根据DH为△ABC中位线，得DH=12AB=−k2x，易证△ABC∽△EOB，设BH为y，由ABEO=BCBO知EO=【详解】解：设OB=−x，则AB=−kx，过D作DH⊥x轴于由题意得∠∵DH⊥x轴，∴∠∴AB∥DH,∴CDAD=∵D为AC中点，∴CD=AD，∴CH=BH，∴DH为△ABC的中位线，∴DH=12AB=−∵CH=BH，DH⊥BC∴CD=BD，∴∠DBC=∵∠∴△ABC∽△EOB，∴ABEO设BH为−y，则BC=−2y，∴−k∴EO=−k∴S△EBC=BC⋅OE=1∴k=16，故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线性质，解题的关键是正确作出辅助线，再根据三角形相似解决问题．28．（2025·安徽·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF【答案】(1)见解析(2)CF=【分析】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理．（1）由垂径定理，得AD=BD，AC=BC，由圆周角定理，得（2）可证△ACF∽△ECA得ACEC=CFCA；Rt△ADC【详解】（1）证明：∵OC⊥AB，OC是⊙O的半径，∴AD=BD，AC=∴∠BAC=∠E（同弧或等弧所对的圆周角相等）；（2）解：∵∠BAC=∠E，又∵∠ACF=∠ECA，∴△ACF∽△ECA，∴ACEC∵AB=8，∴AD=BD=4，在Rt△ADC中∠ADC=90°，AD=4，CD=2∴AC=A即25∴CF=229．（2025·上海奉贤·一模）已知，如图，在△ABC中，点D在边AC上，点M、N在边BC上，AB是线段AD与AC的比例中项，∠BAN=∠CAM,AM、AN分别交BD于点E、F．(1)求证：BDAE(2)若点O为BD边的中点，连接ON，且BD2=2BN·BC【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ABAD=ACAB，∠BAD=∠CAB证明△ABD∽△ACB，得到BDCB=ABAC，∠ABD=∠ACB，结合∠BAN=∠CAM可以证明△ABF∽△ACM，继而得到AFAM=AB（2）在NC上截取NQ=BN，连接DQ，证明ON∥DQ，再三角形相似，平行线的判定证明DQ∥AB，解答即可．【详解】（1）证明：∵AB是线段AD与AC的比例中项，∴ABAD∵∠BAD=∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴BDCB=AB∵∠BAN=∠CAM，∴△ABF∽△ACM，∴AFAM=AB∴180°−∠AFB=180°−∠AMC，∴∠AFE=∠AMN，∵∠FAE=∠MAN∴△AFE∽△AMN，∴AFAM∴BDCB∴BDAE（2）证明：在NC上截取NQ=BN，连接DQ，∵点O为BD边的中点，∴ON∥DQ，∵NQ=BN，∴BQ=2BN，∵BD∴BDBC∵∠QBD=∠DBC∴△QBD∽△DBC，∴∠BDQ=∠BCD，∵△ABD∽△ACB，∴∠ABD=∠ACB，∴∠ABD=∠BDQ∴DQ∥AB，∴ON∥AB．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，比例中项的意义，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．30．（2024·广东东莞·一模）如图1，OB是Rt△ABC中∠ABC的平分线，∠BAC=90°，以AO为半径的⊙O与AC相交于点E，且CE=1(1)求证：BC是⊙O切线；(2)如图2，设⊙O与BC的切点为D，连接AD．当tan∠CAD=13(3)若F是线段AB的中点，连CF与AD交于G，在（2）的条件下，求S△CDG【答案】(1)见解析(2)4(3)1【分析】（1）过点O作OH⊥BC于H，根据角平分线的性质得出OH=OA，根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，即可证得BC是⊙O切线；（2）连接OD，根据切线得出OD⊥BC，根据“直径所对的圆周角是直角”，得出∠ADE=90°=∠ODC，推出∠ADO=∠CDE，根据等边对等角，由OA=OD，得出∠DAC=∠ADO，则∠DAC=∠CDE，公共角∠ACD=∠DCE，证明△DCE∽△ACD，得出CDAC=CECD=DEAD，由tan∠CAD=13=DEAD（3）连接OD，过点C作CP⊥AC，交AD的延长线于P，由（2）得∠ADE=90°，tan∠CAD=13=DEAD，AC=9，AE=8，OA=OE=4，得出AD=3DE，OC=AC−OA=5，结合勾股定理得出3DE2+DE2=64，求出DE、AD，根据tan∠CAD=13=CPAC，求出CP=13AC=3，根据勾股定理计算AP=AC2+CP2，根据⊙O与BC的切点为D，得出∠ODC=90°，OD=4，根据勾股定理计算CD=OC2−OD2，得出tan∠OCD=ODCD=4【详解】（1）证明：如图，过点O作OH⊥BC于H，∵OB是∠ABC的平分线，OH⊥BC，∠BAC=90°，OA为半径，∴OH=OA，点H也在圆上，即OH也为半径，又∵OH⊥BC，∴BC是⊙O切线；（2）解：如图，连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∵AE是直径，∴∠ADE=90°=∠ODC，∴∠ADO+∠ODE=∠CDE+∠ODE，∴∠ADO=∠CDE，∵OA=OD，∴∠DAC=∠ADO，∴∠DAC=∠CDE，又∵∠ACD=∠DCE，∴△DCE∽△ACD，∴CDAC∵tan∠CAD=∴CDAC又∵CE=1，∴CD=CE÷13=3∴AE=AC−CE=9−1=8，∴OA=OE=AE∴⊙O的半径为4；（3）解：如图，连接OD，过点C作CP⊥AC，交AD的延长线于P，∵由（2）得∠ADE=90°，tan∠CAD=13=DEAD，∴AD=3DE，OC=AC−OA=9−4=5，∵AD∴3DE210DE∴DE=6410=∵CP⊥AC，∴tan∠CAD=∴CP=1∴AP=A∵⊙O与BC的切点为D，∴∠ODC=90°，OD=4，∴CD=O∴tan∠OCD=又∵∠BAC=90°，∴tan∠OCD=ABAC∴AB=4∵F是线段AB的中点，∴AF=BF=1∵CP⊥AC，∴AB∥∴△PCG∽△AFG，∴AGGP又∵AG+GP=AP=310∴AG=2∴GD=AD−AG=12∴GDAG∵△CDG的边GD上的高和△ACG的边AG上的高相等，∴S△CDG【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质、圆的切线的判定、角平分线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键．👉题型09利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题31．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，正方形ABCD纸片的边长为9，点E，F分别在BC，AD上，以EF为折痕折叠正方形ABCD，使顶点B落在CD边上的点H处，AB的对应边GH交AD于点I，当CH=3时，△FGI的周长是．【答案】6【分析】根据折叠的性质得到EH=EB，FG=AF，GH=AB=9，∠EHG=∠B=90°，∠G=∠A=90°，根据勾股定理列出方程，解方程求出EC、EH，证明△HDI∽△ECH，根据相似三角形的性质求出DI、HI，根据三角形周长公式计算即可．【详解】解：∵正方形ABCD纸片的边长为9，以EF为折痕折叠正方形ABCD，使顶点B落在CD边上的点H处，CH=3，∴EH=EB，FG=AF，GH=AB=9，∠EHG=∠B=90°，∠G=∠A=90°，DH=CD−CH=9−3=6，设BE=x，则EH=x，EC=9−x，在Rt△ECH中，EH2解得：x=5，∴EH=5，EC=4，∵∠EHG=90°，∴∠EHC+∠DHI=90°，∵∠C=90°，∴∠EHC+∠HEC=90°，∴∠IHD=∠HEC，∵∠D=∠C=90°，∴△HDI∽△ECH，∴DHCE=DI解得：DI=4.5，HI=7.5，∴FG+FI=AF+FI=AI=9−DI=4.5，GI=9−7.5=1.5，∴FG+FI+GI=4.5+1.5=6△FGI的周长是6．故答案为：6．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、翻转变换、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．32．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；(3)如图3，当AB=AD时，设矩形ABCD的周长为m，△CHP的周长为n，探究n与m的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)GH=(3)n=【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH；（2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度；（3）根据题意得出四边形ABCD是正方形，根据折叠的性质，设AD=BC=t，则m=4t，ED=a,PD=b，则EP=AE=t−a，PC=t−b，在Rt△PED中，勾股定理可得t2−2at=b2，根据△EDP∽△PCH得出PH=【详解】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠1+∠3=90°，∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，∴∠EPH=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3=∠2，∴△EDP∽△PCH；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°，∵P为CD中点，∴DP=CP=1设EP=AE=x，∴ED=AD−x=3−x，在Rt△EDP中，E即x2解得x=5∴EP=AE=x=5∴ED=AD−AE=4∵△EDP∽△PCH，∴EDPC=EP∴PH=5∵PG=AB=2，∴GH=PG−PH=3（3）解：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD∴四边形ABCD是正方形，∴设AD=BC=t，则m=4t，∵折叠，∴PE=AE，设ED=a,PD=b，则EP=AE=t−a，PC=t−b，在Rt△PED中，即t−a2∴t∵△EDP∽△PCH∴EDPC=EP∴PH=t−at−ba∴n=PC+CH+PH=t−b+∵t∴n=∴n=【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上基础知识是解题关键．33．（2024·安徽·模拟预测）如图1，E，F分别是等边△ABC边上两点，且△BEF的面积和四边形ACEF的面积相等，将△BEF沿EF折叠得到△B（1）若EF∥AC，FG=3，则GH=；（2）如图2，若FG=3，EH=4，则GH=．

【答案】32【分析】（1）先证明△AFG、△EHC、△B'GH均为等边三角形，且EH=FG，由题意得出S△AFG+（2）由题意得出S△AFG+S△HEC=S△B'GH，且【详解】解：（1）过点A作AM⊥FG于点M，如图所示：

∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∵EF∥AC，∴∠BEF=∠C=60°，∠BFE=∠A=60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE=BF，∴AB−BF=BC−BE，即AF=CE，根据折叠可知：∠BFE=∠EFB'=60°∴∠AFG=180°−60°−60°=60°，∠CEH=180°−60°−60°=60°,∴△AFG和△CEH为等边三角形，∴∠B'GH=∠AGF=60°AG=AF=FG=CE=CH=EH，∴△B∵△AFG为等边三角形，AM⊥FG，∴FM=MG=1∴AM=A∴S△AFG同理得：S△∵△BEF的面积和四边形ACEF的面积相等，∴S△∴S△∵△AFG和△CEH为等边三角形，且FG=CE，∴S△AFG∴S△∴34解得：GH=32故答案为：32（2）∵△BEF的面积和四边形ACEF的面积相等，∴S△∴S△∴S△AFG∵∠B'=∠A=60°∴△AFG∽△B同理得：△B∴FGHG2=∴FG∴FG∴HG解得：HG=5，负值舍去；故答案为：5．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握等边三角形的判定和性质．34．（2024·全国·模拟预测）专题复习课上，老师带领同学们共同探索“折叠”中的动态变化问题，进一步感悟综合几何图形的解题关键是“化繁为简”．在复杂图形中分解出特殊（基本）图形．进而建立图形要素（线段、基本图形）的解题关系．已知矩形纸片ABCD，AB=6，BC=8．【操作感知】（1）如图1，将矩形纸片沿BD折叠、点C落在点C'处，设C'B与AD交于点P，小丽同学关注折叠后得到的△BDP，如图2，利用对称性及平行关系得BP=DP；小强同学观察Rt△BAP中AP，BP与线段【类比分析】（2）如图4，E是CD边上的一个动点，现将ABCD沿直线BE折叠，点C落在点C'处，当DE为多长时，点C'恰好落在【动态探究】（3）如图5，点E在矩形边BC上以2cm/s．向点B运动，点F在矩形边CD上以1.5cm/s向点D运动，点C沿着EF折叠落在点C'处，过C'作GH∥EF分别交矩形边于点H，G，求经过【答案】（1）254；（2）103【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数；（1）根据折叠和矩形的性质先证明BP=DP，再设DP=x，则BP=DP=x，AP=8−x，最后在Rt△ABP（2）设DE=y，根据折叠得到EC=EC'=6−y，D（3）连接BD，连接CC'交EF于点M，交BD于点N，根据CFCE=1．5t2t=34=CDCB，计算即可．【详解】(1)解：在△DBP中，由折叠得∠PBD=∠CBD．∵AD∥BC，∴∠PBD=∠PDB，∴BP=DP．设DP=x，则BP=DP=x，AP=8−x，在Rt△ABP中，∠A=90°由勾股定理得AB²+AP²=BP²∴6解得x=∴DP=(2)解：设DE=y，则EC=EC在Rt△ABD中，∠A=90°由勾股定理得AB²+AD²=BD²，解得BD=10，∴DC在Rt△DC'由勾股定理得DC∴2解得y=即DE=103时，点C'(3)解：连接BD，连接CC'交EF于点M，交BD于点∵点E在矩形边BC上以2cm/s．向点B运动，点F在矩形边CD上以1.5cm/s向点∴CF=1．5t，∴EF=2.5t，CF∵CDCB=3∴△ECF∽△BCD，∴∠FEC=∠DBC，∴EF∥∴EF∥∵S△CFE∴CM=CE⋅CF∴CC∵S△CBD∴CM=CB⋅CD∴当t=2时C'在BD①当0<t≤2时，如图1，由翻折可得CC'被∴EC=EC'，FC=FC∴∠ECC'=∠E∵EF∥HG，∴∠FMC=∠GC∴∠EHC'=∠E∴EC'=EH∴EC=EC'=EH=2t∴HC=2CE=4t，CG=2CF=3t，∴S△HCG②当2<t≤4时，如图2，过H作HK⊥BD于K，∵CC'=2CM=∴C'∵EF∥HG∴四边形C'NKH是矩形，∴C'∵sin∠ABD=∴BH=5∴AH=AB−BH=12−3t，同理可得DG=4t−8，DG=AD−DG=16−4t，∴GH=A∴S△HCG∴S👉题型10利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象35．（2024·山东济宁·一模）如图1，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为ts，AP的长度为ycm，y与t的函数图像如图2所示．当AP恰好平分∠BAC【答案】t=2【分析】本题主要考查了图形与函数图像间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，关键是证明△APC∽△BAC．根据函数图像可得AB=BC=4cm，作∠BAC的平分线AP，∠B=36°可得∠B=∠DAC=36°，进而得到△APC∽△BAC，由相似求出BP【详解】解：如图，连接AP，由图2可得AB=BC=4cm∵∠B=36°，AB=BC，∴∠BAC=∠C=72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠PAC=∠B=36°，∴AP=BP，∠APC=72°=∠C，∴AP=AC=BP，∵∠PAC=∠B，∠C=∠C，∴△APC∽△BAC∴AP∴A∴AP=25∴t=4+236．（2023·湖北恩施·二模）如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=4．过AC的中点H作AC的垂线DH，过点C作CD∥AB，设两线相交于点D，连接AD．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数图像大致为（

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】由CD∥AB，可知∠DCA=∠BAC，DH垂直平分AC所以DA=DC，AH=HC=2，所以∠DAC=∠DCA，结合∠ABC=90°可证明△DAH∽△CAB，得出ADAC=AH【详解】解：∵DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCA，∵CD∥∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAH=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴AD∴y∴y=8∴此函数为反比例函数，∵∠B=90°，∵AB<AC，∴x<4，∴选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了平行线性质，三角形的判定与性质，线段的垂直平分线，反比例函数图像，利用已知求证△DAH∽△CAB，得出ADAC37．（2023·安徽滁州·二模）如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，动点P从A点出发沿A→D→C→B以2cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从A点出发沿A→B以1cm/s的速度向终点B运动，图2是两动点运动过程中△APQ的面积S（cm2）和运动时间t（s）之间的函数图像．（1）四边形ABCD的面积为cm2；（2）当31.5≤t≤52时的函数表达式为．【答案】1300S=−【分析】（1）由图2可知，当t=25秒时，点P运动至D点，S=S△APQ=12AQ×DG=500当t=31.5秒时，点P运动至C点，求得CD=13；当t=52秒时，点P运动至B点，CB=2×(52−31.5)=41，运用勾股定理求得Rt△ADG中，AG=30，Rt△CBE中，BE=9，从而可求AB=52，所以四边形ABCD的面积为12（2）如图，当31.5≤t≤52时，点P运动在CB上，过点P作PF⊥AB，垂足为F，可证△BCE∼△BPF，所以BPBC=PFCE，可求BP=104−2t，所以104−2t41【详解】（1）由图2可知，当t=25秒时，点P运动至D点，AD=AP=2×25=50，AQ=25，S∴S△APQ=12AQ×DG=500当t=31.5秒时，点P运动至C点，∴CD=2×(31.5−25)=13，当t=52秒时，点P运动至B点，CB=2×(52−31.5)=41，Rt△ADG中，AG=Rt△CBE中，BE=∴AB=AG+GE+BE=30+13+9=52∴四边形ABCD的面积为12故答案为1300．（2）如图，点P运动在CB上，过点P作PF⊥AB，垂足为F，则∠BEC=∠BFP又∠B=∠B∴△BCE∼△BPF∴BP而BP=AD+CD+BC−(AD+CD+CP)=(50+13+41)−2t=104−2t∴104−2t∴PF=而AQ=t∴S=∴当31.5≤t≤52时，的函数表达式S=−40【点睛】本题主要考查根据函数图象获取信息解决问题、勾股定理、相似三角形知识；能够将函数图象与动点的运动状态对应起来，确定函数图象拐点对应的动点位置是解题的关键．38．（2022·广东深圳·模拟预测）如图①，已知Rt△ABC的斜边BC和正方形DEFG的边DE都在直线l上（BC＜DE），且点C与点D重合，△ABC沿直线l向右匀速平移，当点B与点D重合时，△ABC停止运动，设DG被△ABC截得的线段长y与△ABC平移的距离x之间的函数图像如图②，则当x＝3时，△ABC和正方形DEFG重合部分的面积为（

）A．3 B．763 C．116【答案】C【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由图形可知，当点H和点D重合时，DG被截得的线段长最长，即CH=1；当点B和点D重合时，BC=4，由此可解△ABC；画出当x=3时的图形，利用相似可得出结论．【详解】解：如图①，过点A作AH⊥BC于点H，∴∠AHB=∠AHC=∠BAC=90°，∴∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠HAC=90°，∴∠ABH=∠HAC，∴△ABH∽△CAH，∴AH：HC=BH：AH，结合图①可知，当点H和点D重合时，DG被截得的线段长最长，即CH=1；当点B和点D重合时，由函数图像可得：BC=4，∴BH=3，∴AH：1=3：AH，即AH=3当x=3时，C'∴B'D=1,设A'B'由MD∥则△B∴B'∴1：3=MD：3，即MD=3∴S=故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及相似三角形的性质与判定，解题关键是得出BC和DM的长．👉题型11利用相似三角形的性质与判定求线段比值39．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接BD交CH于点P，若△BPC为等腰三角形，则DH:HP的值是（

）A．2:1 B．2:1 C．2+1:1【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设四个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b，由△BPC为等腰三角形，∠BGP=90°可得PG=CG=b，进而得到HP=CH−CG−PG=a−2b，再根据△DHP∽△BGP可得DHBG=HPPG，即得【详解】解：设四个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b，∵△BPC为等腰三角形，∠BGP=90°，∴PG=CG=b，∴HP=CH−CG−PG=a−2b，∵∠DHP=∠BGP=90°，∠DPH=∠BPG，∴△DHP∽△BGP，∴DHBG即ba∴a=2∴HP=2∴DH:HP=b:2故选：C．40．（2024·湖北武汉·模拟预测）问题提出：如图，∠ACB=∠CDE=90°，CBCA=DEDC=k，点A在DE上，连接BE交CD

问题探究：（1）先将问题特殊化，如图2，当k=1时，直接写出EFFB（2）再探究一般情况，如图1，证明（1）中的结论依然成立；拓展创新：（3）如图3，BE交AC于点G，若BE=2BC，直接用含k的式子表示CGAG【答案】（1）1；（2）见解析；（3）6【分析】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．（1）由AAS可证△BCN≌△CAD，可得BN=CD=DE，由AAS可证△BFN≌△EFD，可得BF=FE，即可求解；（2）通过证明△BCN∽△CAD，可得BN=kCD=DE，由AAS可证△BFN≌△EFD，可得BF=FE，即可求解；（3）设DF=FN=CN=a，由等腰三角形的性质和锐角三角函数可求CD=3a，BN=DE=3ka，MN=a3k，BM=BN+MN=9k2【详解】（1）如图2，过点B作BN⊥CD于N，

∵k=1，∴CBCA∴CB=CA，DE=DC，∵BN⊥CD，∴∠BNC=90°=∠ACB=∠CDE=90°，∴∠NBC+∠BCN=90°=∠ACD+∠BCN，∴∠ACD=∠NBC，∴△BCN≌△CADAAS∴BN=CD，∴BN=DE，∵∠DFE=∠BFN，∠CDE=∠BNF=90°，∴△BFN≌△EFDAAS∴BF=FE，∴EFBF（2）证明：如图1，过点B作BN⊥CD于N，

∵CBCA∴CB=kCA，DE=kDC，∵BN⊥CD，∴∠BNC=90°=∠ACB=∠CDE=90°，∴∠NBC+∠BCN=90°=∠ACD+∠BCN，∴∠ACD=∠NBC，∴△BCN∽△CAD，∴BCAC∴BN=kCD，∴BN=DE，∵∠DFE=∠BFN，∠CDE=∠BNF=90°，∴△BFN≌△EFDAAS∴BF=FE，FN=FD，BN=DE，∴EFBF∴（1）的结论仍然成立；（3）如图3，过点B作BN⊥CD于N，延长BN交AC于M，

∵BN⊥CD，∴∠BND=90°=∠ACB=∠CDE=90°，∴BM∥由（2）可知：BF=EF，DF=FN，BN=DE，∵BE=2BC，∴BF=BC=EF，又∵BN⊥CF，∴CN=NF=DF，∵CB=kCA，DE=kDC=BN，∴DF=FN=CN=1∴tan∠CBN=∴MN=1设DF=FN=CN=a，则CD=3a，BN=DE=3ka，MN=a3k，∵BM∥∴△CMN∽△CAD，∴MNAD∴AD=3MN=1kCN=∴AE=DE−AD=3k2∵BM∥∴△AEG∽△MBG，∴AGGM∴设AG=9k2∴AM=18∴MC=9∴GC=18k∴CGAG41．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2−2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC=3，直线y=x+b经过B(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D在抛物线上，满足∠CAB=45°+∠BCD，求点D的坐标；(3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线y=kx−k−3与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为EF的中点，求TGEF【答案】(1)y=x(2)73,−20(3)12【分析】（1）把C0,−3代入y=x+b得y=x−3，求出B3,0，用待定系数法可得抛物线的解析式为（2）求出A−1,0，OA=1，∠BCO=45°=∠CBO，分两种情况：①当D在CB下方时，设CD延长线交x轴于K，证明△AOC∽△COK，有13=3OK，得OK=9，K9,0，即可求得直线CK解析式为y=13x−3，联立y=13x−3y=x2−2x−3可解得D73,−209；②当D'在CB上方时，设CD'交x轴于W，过（3）求出抛物线顶点T坐标1,−4，联立y=x2−2x−3y=kx−k−3得x2−k+2x+k=0，设Ex1,y1，Fx2,y2，则x1+x【详解】（1）解：∵OC=3，C在y轴负半轴，∴C0,−3把C0,−3代入y=x+b得−3=b∴y=x−3，令y=0得x=3，∴B3,0把B3,0，C0,−3代入9a−6a+c=0c=−3解得a=1c=−3∴抛物线的解析式为y=x（2）解：在y=x2−2x−3中，令y=0解得x=3或x=−1，∴A−1,0，OA=1∵B3,0，C∴OB=OC，∴∠BCO=45°=∠CBO，∵∠CAB=45°+∠BCD，∴∠CAB=∠BCO+∠BCD，①当D在CB下方时，设CD延长线交x轴于K，如下图，此时∠CAB=∠BCO+∠BCD=∠DCO，∴∠CAB+∠ACO=90°=∠DCO+∠ACO，即∠ACK=90°，∴∠OCK=90°−∠ACO=∠OAC，∵∠AOC=90°=∠COK，∴△AOC∽∴OAOC=OC∴OK=9，K9,0由C0,−3，K9,0得直线CK解析式为联立y=1解得x=73y=−∴D7②当D'在CB上方时，设CD'交x轴于W，过B作BT⊥x轴交直线CD此时∠BCD=∠BCD'，又BC=BC，∴△CBW≌∴BT=BW，在y=13x−3中，令x=3∴T3,−2，BT=2∴BW=2，OW=OB−BW=3−2=1，∴W1,