中考数学总复习中考数学专项提升第21讲 相似三角形及其应用(讲义2考点+3命题点24种题型(含7种解题技巧))(解析版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第四章三角形第21讲相似三角形及其应用（思维导图+2考点+3命题点24种题型（含7种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一相似多边形考点二相似三角形04题型精研·考向洞悉命题点一相似三角形的性质与判定-基础►题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似►题型02选择合适的方法证明两个三角形相似►题型03补全判定相似三角形的证明过程►题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程►题型05利用相似三角形的性质求解►题型06利用相似的性质求坐标►题型07相似三角形在网格中的应用►题型08相似三角形的性质与判定综合命题点二相似三角形的性质与判定-拔高►题型01利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题►题型02利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像►题型03利用相似三角形的性质与判定求线段比值►题型04利用相似三角形的性质与判定求最值►题型05利用相似三角形的性质与判定解决动点问题►题型06利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题►题型07利用相似三角形列函数关系式►题型08利用三点定形法证明比例式或等积式►题型09尺规作图与相似三角形综合应用►题型10三角板与相似三角形综合应用►题型11平移与相似三角形综合应用►题型12利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题►题型13与相似三角形有关的新考法问题命题点三相似三角形的应用►题型01利用相似测量物体的高度►题型02利用相似测量物体（不易测量）的宽度►题型03其它问题01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求相似三角形的性质★★★了解相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性质定理.相似三角形的有关证明与计算★★★相似三角形的应用★★会利用图形的相似解决一些简单的实际问题【考情分析】本专题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似的性质求线段的长度、图形的面积等，试题形式多样，难度不一，相似三角形的判定方法较多，合理的选择方法是解题的关键，常见的相似模型有“A”字形、8”字形及“一线三等角”等，熟练掌握这些模型能提升解题速度.【命题预测】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段，需要考生在复习的时候给予加倍的重视!02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一相似多边形1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形.【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同；3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关.2.相似多边形及、性质与判定相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”.【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；；3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.1．（2024·宁夏银川·三模）如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（

）A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转【答案】A【分析】本题考查数学知识解决实际问题，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案．【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将石阡旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似，故选：A．2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D．3．（2022·广西梧州·中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'﹐已知OAA．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：SABCD又四边形ABCD的面积是2，∴四边形A'故选：D．【点睛】本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形，若他们的位似比为2:3，则▱ABCD与▱AEFG的面积比为（

）A．4:9 B．1:9 C．2:3 D．1:3【答案】A【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到▱ABCD与▱AEFG相似，根据相似多边形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形，他们的位似比为2:3，∴▱ABCD与▱AEFG相似，他们的相似比为2:3，∴▱ABCD与▱AEFG的面积比为23故选：A．5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是我国自主研发的某汽车的广告文案．已知：将矩形对折后所得的矩形如果与原矩形相似，那么原矩形的长与宽之比称为白银比，则白银比的近似值是．（小数点后保留三位）它们的大气端庄主要来源于对东方传统美学中白银比例这一规律的运用和黄金比例相比白银比例下的作品更为端正平街也更符合东方审美【答案】1.414【分析】本题考查相似矩形、折叠性质、新定义问题等知识，读懂题意，理解白银比概念，设原来矩形的长为2x，宽为y，由折叠性质及相似多边形定义得到白银比的数学表示，求解即可得到答案，读懂题意，理解白银比是解决问题的关键．【详解】解：设原来矩形的长为2x，宽为y，根据白银比定义可得2xy=yx，即∴白银比为2xy考点二相似三角形相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF.【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比.【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为.常见的基本图形：图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE；图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.相似三角形的判定方法：1）判定三角形相似的常用定理：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．②三边成比例的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④两角分别相等的两个三角形相似．2）直角三角形相似的判定方法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”.【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.1．（2024·湖南·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．【答案】D【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A、C；由相似三角形的判定和性质可判断【详解】解：∵点D，E分别为边∴DE∥BC，BC=2DE，故∵DE∥∴△ADE∽△ABC，故∵△ADE∽∴S△ADE∴S△ADE=1故选：D．2．（2024·青海·中考真题）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：，使△AOB∽△COD．【答案】∠C=∠A．(答案不唯一)【分析】有一对对顶角∠AOB与∠COD，添加∠C=∠A，即得结论．【详解】解：∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），∠C=∠A，∴△ABO∽△CDO．故答案为：∠C=∠A．(答案不唯一)【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2024·云南·中考真题）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若OA+OC+ACOB+OD+BD=12

【答案】12【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明△ACO∽△BDO，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题．【详解】解：∵AC∥∴△ACO∽△BDO，∴ACBD=故答案为：124．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45°，则EFBC【答案】1【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到∠OAD=45°，AD=BC，再证明EF∥AD，进而可证明△OEF∽△OAD，由相似三角形的性质可得EFAD=OE【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点∴∠OAD=45°，AD=BC，∵点E是OA的中点，∴OEOA∵∠FEO=45°，∴EF∥AD，∴△OEF∽△OAD，∴EFAD=OE故答案为：125．（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽【答案】见解析【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出∠B=∠C=90°，AB=CB=9，进而得出ABEC【详解】解：∵BE=3，EC=6，∴BC=9，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=9，∠B=∠C=90°，∵ABEC=∴又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽04题型精研·考向洞悉命题点一相似三角形的性质与判定-基础►题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似相似三角形的判定方法：判定三角形相似的常用定理直角三角形相似的判定方法1平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似2三边成比例的两个三角形相似有一个锐角相等的两个直角三角形相似3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两组直角边成比例的两个直角三角形相似4两角分别相等的两个三角形相似解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例.【拓展】特殊三角形相似的判定：1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.2）两个等腰直角三角形一定相似.1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【答案】AD【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．【详解】解：根据题意，添加条件ADAB∵∠A∴△ADE~△ABC故答案为：ADAB【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC．【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．【详解】解∶∵∠A=∠A，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证△ADE∽△ABC相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件ADAB=AE故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．3．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，下列不正确的是（

）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APAB=AB【答案】D【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【详解】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C、当APAB又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D、当APBP=AB故选：D．4．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．当AD=时，△ABC∽△ACD．【答案】9【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．【详解】解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，当ABAC=AC即：AC∵AB=4，AC=6，∴62∴AD=9；故答案为：9．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02选择合适的方法证明两个三角形相似1．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D、D'分别在边BC、B'C'上，且【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．【详解】解：若选①BDCD证明：∵△ACD∽△A∴∠ADC=∠A'D∴∠ADB=∠A∵BDCD∴BDB∴ADA又∠ADB=∠A∴△ABD∽△A选择②BACD=B若选③∠BAD=∠B证明：∵△ACD∽△A∴∠ADC=∠A'D又∵∠BAD=∠B∴△ABD∽△A【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC上一点，且BE=BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【答案】见解析【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．【详解】证明：∵BE=BC∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵∠ABC=90°，∴∠D=∠ABC，∴△ADE∽△ABC．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，连接MA，CN.求证：△ABM∽△CBN.【答案】见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键．由旋转性质可得：AB=MB，BC=BN，∠ABC=∠MBN，进而可得ABBC=MBBN，∠ABM=∠CBN【详解】证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，∴由旋转性质，得AB=MB，BC=BN，∠ABC=∠MBN，∴AB∵∠ABC=∠MBN，∴∠ABC+∠ABN=∠MBN+∠ABN，即∠ABM=∠CBN，∴△ABM∽△CBN.4．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在△ABC中，点D,E, F分别在边AB, AC, 证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；【详解】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽故选：B．5．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点A−2,0，B12,0，CB所在直线的方程为

(1)求b的值；(2)求证：△AOC∽△COB．【答案】(1)b=−1；(2)证明见解析．【分析】（1）把B12,0（2）由b=−1得直线的方程为y=2x−1，求出C0,−1，从而得OC=1，OA=2，OB=本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）∵B12,0∴0=2×1解得：b=−1；（2）由（1）得b=−1，∴CB所在直线的方程为y=2x−1，当x=0时，b=−1，∴C0,−1∵A−2,0，B∴OC=1，OA=2，OB=1∴OC:OB=OA:OC=2:1，又∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB．6．（2024·广东惠州·二模）如图，四边形ABCD是某学校的一块种植实验基地，其中△ABC是水果园，△ACD是蔬菜园．已知AB∥CD，(1)求证：△ABC∽△CAD；(2)若蔬菜园△ACD的面积为80m2，求水果园△ABC【答案】(1)见解析(2)180m【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键（1）由AB∥CD，可得∠BAC=∠ACD，由ABAC=2718=32（2）由（1）知△ABC∽△CAD，则S△ABCS△CAD【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵AB=27m∴ABAC=27∴ABAC∴△ABC∽△CAD．（2）解：由（1）知△ABC∽△CAD，∴S△ABCS△CAD解得，S△ABC答：水果园△ABC的面积为180m2►题型03补全判定相似三角形的证明过程1．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务：下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题：如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE相交于点P．求证：PEBE小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结DE．∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=1∵……；∴……．∴PE任务：(1)填空：材料中的依据是指：______．(2)将材料中的证明过程补充完整．(3)如图②，在△ABC中，AB=AC，AD为边BC的中线．点E，F分别为边AB，AC的中点，EF与AD交于点O，BF与AD交于点P．则S△POF【答案】(1)三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）(2)见解析(3)S【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可；（2）证明△PDE∽△PCB，即可解答；（3）如图中，连接DF．设△POF的面积为a．证明EF∥BC，得出OPPD=OFBD=12，从而得出S【详解】（1）解：依据：三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）．（2）解：补充如下：∵DE∥∴∠DEP=∠CBP，∠EDP=∠BCP，∴△PDE∽△PCB，∴PE∴PE（3）解：如图中，连接DF．设△POF的面积为a．∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥CB，∵AE=EB，AF=FC，∴EF∥BC，∴△AOF∽△ADC，∴AOAD∴AO=12AD∵OF∥∴△OFP∽△DBP，∴OP∴S∴S∵AF=CF，∴S∴S四边形∴S△POF2．（2024·福建泉州·模拟预测）在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线AO，其传播方向不变，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后通过焦点F'，凸透镜的两侧各有一个焦点F和F'，焦点到光心的距离称为焦距，记为【模型验证】如图2，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后与光线AO的交点为点A'，过点A'作主光轴MN的垂线A'B'，垂足为B已知OB=u，OB'=v，OF'=f，AB=ℎ1，A'B'=ℎ2，当证明：∵A'B'∴A'∴△AOB∽△A∴ABA即ℎ1同理可得△COF∴COA'B∴uv=②______，∴uv−uf=vf，∴1f请结合上述材料，解决以下问题：(1)在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是___________；(2)请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含v, (3)如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC并交边BC于点D，设AD=n，求1AB+1【答案】(1)相似三角形的性质(2)①fv−f，②(3)3【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可；（2）根据相似三角形的性质可得ℎ1ℎ2（3）作BE∥AC，交AD的延长线于点E，作DF∥AC，交AB于点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G，由角平分线的定义和平行线的性质可得∠E=∠CAD=∠BAD=30°，再由等角对等边可得AB=BE，同理可得AF=DF，证明△ADF∽△AEB，△BDF∽△BCA，可得DFEB=AFAB，DFAC【详解】（1）解：由题意可得，上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是相似三角形的性质，故答案为：相似三角形的性质；（2）解：由题意可得，COA'B∴uv故答案为：①fv−f，②f（3）解：如图，作BE∥AC，交AD的延长线于点E，作DF∥AC，交AB于点F，过点F作∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠CAD=∠BAD=30°，又∵BE∥∴∠E=∠CAD=∠BAD=30°，∴AB=BE，∵AC∥∴∠CAD=∠ADF=30°，∴AF=DF，∵BE∥AC，∴BE∥∴△ADF∽△AEB，∴DFEB∵DF∥∴△BDF∽△BCA，∴DFAC∴DFAC又∵EB=AB，∴DFAC+DF∵AF=DF，FG⊥AD，∴AG=GD=1在Rt△AGF中，∠DAF=30°，cos∠GAF=AG∴AF=n∴DF=AF=n∴1AC【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E在BC上，连接BD、AE，相交于点G，作∠AEF=∠ABD，交BD于点F，设BE=x．【变中不变】（1）明明发现：连接AF，当点E的位置在BC上发生变化时，∠AFE的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．∵∠AEF=∠ABD，且①_______；∴△FGE∽△AGB；∴GFGA=GE又∵∠1=∠2；∴②_______；∴∠3=∠4；∴∠3+∠AEF=∠4+∠ABD=∠ABE；在矩形ABCD中，∠ABE=90°；∴∠3+∠AEF=90°；∴∠AFE=③_______°，即∠AFE度数不变．【尝试应用】（2）若x=32，求【思维拓展】（3）将△EFG绕着点E顺时针旋转90°得到△EF'G'，是否存在这样的x，使得△EF【答案】（1）∠FGE=∠AGB；△BGE∽△AGF；90；（2）EF=6510；（3）x=17−12【分析】（1）证明△FGE∽△AGB推出GFGE=GAGB，再证明（2）由（1）得到∠3=∠4，推出sin∠3=sin∠4（3）分三种情况讨论，①当点E与点C重合时；②当点F'落在直线DC上时，过点F作MH⊥BC交AD、BC分别为M，H，证明△FEH≌△EF'CAAS，用x表示出EH，FH，EF，在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可求解；③当点G'落在直线DC上时，过点G【详解】解：（1）∵∠AEF=∠ABD，且∠FGE=∠AGB；∴△FGE∽△AGB；∴GFGA=GE又∵∠1=∠2；∴△BGE∽△AGF；∴∠3=∠4；∴∠3+∠AEF=∠4+∠ABD=∠ABE；在矩形ABCD中，∠ABE=90°；∴∠3+∠AEF=90°；∴∠AFE=90°，即∠AFE度数不变．故答案为：∠FGE=∠AGB；△BGE∽△AGF；90；（2）∵矩形ABCD中，AB=1，AD=2，∴CD=1，BC=2，BD=1∵BE=3∴AE=A由（1）知∠3=∠4，∠AFE=90°，∴sin∠3=∴EFAE=CD解得EF=65（2）存在，①当点E与点C重合时，点E都在直线DC上，此时x=2；②当点F'落在直线DC上时，由旋转得，EF=EF'过点F作MH⊥BC交AD、BC分别为M，∴四边形CDMH为矩形，∵∠FEH=90°−∠CEF∴△FEH≌△EF∴FH=CE=2−x，FM=MH−FH=1−2−x=x−1，∴EH=CE−CH=4−3x，由勾股定理得AE=A同理EF=CD在Rt△EFH中，EH2整理得49x解得x=97或∵EH=4−3x>0，∴x=11∴x=9③当点G'落在直线DC上时，过点G作MN⊥BC交AD、BC分别为M同理四边形CDMN为矩形，∴MD=CN，由旋转得，EG=EG'，同理得△ECG≌△GNE，∴CE=GN=BN⋅tan∴MG=1−GN=x−1，∵AD∥∴△AGD∽△EGB，∴BEAD=GN整理得x2解得x=−1±∴x=17综上，x=17−12或x=【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容．题目测量河流宽度AB目标示意图测量数据BC=2m，BD=5m(1)下面是小亮借助小明的测量数据求河流宽度AB的过程，小亮检查自己的解题过程时发现有错误，开始出现错误的是第______步；解：由已知得CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC=∠ADE=90°．

……第一步又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，

……第二步∴ABBD=DE解得AB=6m．

(2)请你求出河流宽度AB的长．【答案】(1)三(2)25【分析】本题主要考查相似三角形的应用：（1）根据题意可得：开始出现错误的是第三步；（2）先证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形对应边成比例，即可求解．【详解】（1）解：开始出现错误的是第三步；故答案为：三（2）解：由已知得CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC=∠ADE=90°．

又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，

∴ABAD∵BC=2m，BD=5m，∴ABAB+5解得：AB=25m2．（22-23九年级上·河北保定·期中）【阅读与思考】如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．在△ABC中，AB=8，BC=5，AC=4，D是线段AB上一点，且DB=6，过点D作DE交AC于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E

∴DE∴DE=AD

这个解答有两处错误，一处是比例式写错了，另一处是解答过程不完整，没有分类讨论．【解决问题】(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)请将另一种情况画出相应图形并解答．【答案】(1)DEBC=AD(2)见解析．【分析】（1）根据相似三角形的性质可得出结论；（2）另一个错误是没有进行分类讨论，过点D作∠ADE=∠ACB，则△ADE∽AACB，可得出结论．【详解】（1）正确比例式为：DEBC∴DE=BC⋅AD（2）另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE=∠ACB，

∵∠A=∠A，则△ADE∽△ACB，∴DE∴DE=AD⋅BC综上可得：DE为54或5【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．3．（2022·山西运城·一模）计算：(1)−(2)下面是小明作业中一个题目的解答过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务．如图，在▱ABCD中，点E是BC上一点，BE=13BC，连接BD，AE，AE与BD交于点F，已知▱ABCD解：作AG⊥BC于点G．∵S▱ABCD=BC⋅AG=24，∴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥∴∠FBE＝∠ADF，∠FEB＝∠FAD，∴△BEF∽∴BEAD=EF∴S△BEF∴S△BEF任务一：填空：①上面解答过程中，证明三角形相似的依据是______．②小明的作业经过老师批改在S△BEF任务二：请你经过正确计算直接写出△BEF的面积为______．【答案】(1)−11+(2)①两组角对应相等的两个三角形相似；②S△BEF【分析】（1）先计算平方，负整数指数幂，绝对值，然后进行除法和加减运算即可；（2）①由题意知，证明三角形相似的依据是两组角对应相等的三角形相似；进而可得答案；②由①可知EFAF=13，由△BEF与△ABF的底边EF，AF上的高相等，可得S△BEFS△ABF=EFAF=【详解】（1）解：原式=−1÷=−9−2+=−11+（2）解：①由题意知，证明三角形相似的依据是两组角对应相等的两个三角形相似；故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似．②由①可知EF∵△BEF与△ABF底边EF，AF上的高相等，∴S故答案为：S△BEF③解：由题意知S△BEFS∴S△ABF=3∵S∴3解得S故答案为：1．【点睛】本题考查了平方，负整数指数幂，绝对值，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．QUOTE►题型05利用相似三角形的性质求解利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=（

）A．125564 B．12564 C．64【答案】C【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解∠BOA=∠BOC=⋯=360°12=30°【详解】解：∵12个相似的直角三角形，∴∠BOA=∠BOC=⋯=360°OAOB∵OA=1，∴OB=2OC=4OD=1×23∴OG=1×2故选C2．（2022·云南·中考真题）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2．则S2S1A．12 B．14 C．34【答案】B【分析】先判定△EBD∼△ABC，得到相似比为12【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点，∴BEAB又∵∠B=∠B，∴△EBD∼△ABC，相似比为12∴S2故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．（2022·江苏连云港·中考真题）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（

）A．54 B．36 C．27 D．21【答案】C【分析】根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，∴两个相似三角形的相似比为1:3，∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1，∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．4．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，ADDB=23，DE＝6cm，则A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【答案】C【分析】根据平行得到ΔADE∼ΔABC，根据相似的性质得出ADAB=【详解】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠A=∠A，∴Δ∴AD∵ADDB∴DE∵DE=6cm∴BC=5DE故选：C．【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．5．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DEBC(1)若AB=8，求线段AD的长．(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明△ADE∽△ABC，得到（2）利用平行条件证明△ADE∽△EFC，分别求出△ADE与△EFC、△ADE与△ABC的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥∴△ADE∽∴DEBC∵DEBC∴ADAB∴AD=1（2）∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED=∠ECF,∠EAD=∠CEF，∴△ADE∴S△ADE∵DEBC=14，∴FC=BC−DE=4DE−DE=3DE，∴DEFC∴S△ADE∵△ADE∽△ABC，∴S△ADE∵S△ADE∴S△EFC∴S▱BFED【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．►题型06利用相似的性质求坐标1．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为−4,0、0,4，点C3,n在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA=2∠CAO，则n=【答案】14【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证△CDE≌△CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证△AOE∽△CDE，进而可得43【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y轴，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴△AOE∽△CDE，∴AOCD∴43解得：n=14故答案为：145【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．2．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数y=−3x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A，B1,m两点，点C在

(1)m=______，k=______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．【答案】(1)−3，−3，−4,0(2)点P的坐标为4,0或5【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①△AOC∽△BOP；②△AOC∽△POB．分别求出两种情况下OP的长，从而得出点P的坐标．【详解】（1）（1）将B1,m代入y=−3x，得m=−3×1=−3∴B1,−3将B1,−3代入y=kx∴k=−3．如图，过点A作AD⊥x轴于点D，则∠ADC=90°．

∵点A，B关于原点O对称，∴A−1,3∴OD=1，又∵∠ACO=45°，∴CD=AD=3，∴OC=OD+CD=1+3=4，∴C−4,0故答案为：−3，−3，−4,0；（2）由（1）可知，B1,−3，A当点P在x轴的负半轴上时，∠BOP>90°，∴∠BOP>∠AOC．又∵∠BOP>∠ACO，∴△BOP与△AOC不可能相似．当点P在x轴的正半轴上时，∠AOC=∠BOP．①若△AOC∽△BOP，则OAOB∵OA=OB，∴OP=OC=4，∴P4②若△AOC∽△POB，则OAOP又∵OA=−12+∴OP=5∴P5综上所述，点P的坐标为4，0或【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键．3．（2024·江苏盐城·三模）如图，以点C0,1为位似中心，将△ABC按相似比2:1放大，得到△DEC，则点A2,−1的对应点D的坐标为【答案】4,−3或−4,5/−4,5或4,−3【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性质等知识，理解位似图形的定义和性质是解题关键．分△ABC与△DEC在y轴同侧和△ABC与△DEC在y轴异侧两种情况讨论，分别求解即可．【详解】解：分两种情况讨论，①如下图，当△ABC与△DEC在y轴同侧时，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，∵A2,−1，C∴AM=2，CM=1−−1=2，∵将△ABC按相似比2:1放大，得到△DEC，∴CACD∵∠ACM=∠DCN，∠AMC=∠DNC=90°，∴△ACM∽△DCN，∴AMDN=CM解得DN=4，CN=4，∴ON=CN−OC=4−1=3，∴D4,−3②如下图，当△ABC与△DEC在y轴异侧时，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，由①可知，AM=2，CM=2，CACD∵∠ACM=∠DCN，∠AMC=∠DNC=90°，∴△ACM∽△DCN，∴AMDN=CM解得DN=4，CN=4，∴ON=CN+OC=4+1=5∴D−4,5故答案为：4,−3或−4,5．4．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线W：y=ax2+bx+ca≠0交x轴于点A−1，0(1)求出抛物线W的解析式；(2)已知抛物线的对称轴为直线l，点P为抛物线W上一点，过点P作l的垂线，垂足为Q，连接PD，若△PQD∽△AOC，求出点P的坐标．【答案】(1)y=(2)−2，5【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求二次函数解析式：（1）利用待定系数法求解即可；（2）先把解析式化为顶点式得到抛物线对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为1，−4，设Pm，m2−2m−3，则Q1，【详解】（1）解：∵抛物线W：y=ax2+bx+ca≠0交x轴于点A−1∴a−b+c=09a+3b+c=0∴a=1b=−2∴抛物线W的解析式为y=x（2）解：∵抛物线解析式为y=x∴抛物线对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为1，设Pm，m∴PQ=m−1∵A−1∴OA=1，∵△PQD∽△AOC，∴PQOA=DQ∴m2∴m2−2m+1=3m−3或∴m2−5m+4=0或解得m=1（舍去）或m=4或m=−2，∴点P的坐标为−2，5或►题型07相似三角形在网格中的应用1．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则C1C2【答案】2【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．【详解】解：∵DEABEFBCDFAC∴DEAB∴△ABC∽△DEF，∴C1故答案为：22【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．2．（2020·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是．【答案】52【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为62，进行尝试，可确定10、210、5【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，∴AB=5，AC：BC=1：2，∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为62，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=10，EF=210，DF=52的三角形，∵101=2102=5∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF=∠C=90°，∴此时△DEF的面积为：10×210÷2=10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：52．故答案为：52．【点睛】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）(1)在图①中，在线段AB上画出点M，使AM=3BM.(2)在图②中，在线段AB上画出点N，使AN=2BN(3)在图③中，在线段AB上画出点Q，使PQ⊥AB.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析．【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）取格点C，D，使AC=3,BD=1，且AC∥BD，连接CD，交AB于点M，则点M即为所求．（2）取格点E，F，使AE=2,BF=1，且AE∥BF，连接EF，交AB于点N，则点N即为所求．（3）利用网格，过点P作AB的垂线，与AB的交点即为点Q【详解】（1）解：如图①，取格点C，D，使AC=3,BD=1，且AC∥BD，连接CD，交AB于点M，则△ACM∽△BDM，∴AM即AM=3BM，则点M即为所求．（2）如图②，取格点E，F，使AE=2,BF=1，且AE∥BF，连接EF，交AB于点N，则△AEN∽△BFN，∴AN即∴AN=2BN，则点N即为所求．（3）如图③，取格点G，连接PG交AB于点Q，则点Q即为所求．►题型08相似三角形的性质与判定综合由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小.1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交与点F．若∠ACD=2∠OEC，OFFE=56，则菱形【答案】96【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，求得OH=12BC=5，再证明△OFH∽△EFC，求得EC=6，再证明∠OEC=∠COE【详解】解：作OH∥BC交CD于点H，则∵四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC，BD相交于点∴BC=10，OD=OB=12BD，OA=OC∴OHBC=OD∴OH=1∵OH∥BC，∴△OFH∽△EFC，∴OHEC∴EC=6∵四边形ABCD是菱形，且∠ACD=2∠OEC，∴∠ACB=∠ACD=2∠OEC=∠COE+∠OEC，∴∠OEC=∠COE，∴OC=EC=6，∴OB=B∴BD=2OB=16，AC=2OC=12，∴S菱形故答案为：96．2．（2024·宁夏·中考真题）如图，在▱ABCD中，点M,N在AD边上，AM=DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE=DF．小丽的思考过程如下：参考小丽的思考过程，完成推理．【答案】见解析【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明△AEM∽△DCM，可得AEDC=AMDM，同理可得：【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥∴△AEM∽△DCM∴AE同理可得，△FDN∽△ABN，∴DF又∵AM=DN，∴AM+MN=DN+MN即AN=DM，∴又∵AB=CD，∴AE=DF．3．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE【答案】（1）①∠ACD；②ACAD；（2）△AEB是直角三角形，证明见解析；（3）【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；（2）证明△ACF∽△AEC，得出ACAF=AEAC，证明（3）证明△CEB∽△CBD，得出CECB=CBCD，求出CD⋅CE=CB2=262=24，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于D0，连接E0E，证明△ECE0∽△D0【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴AB∴AC（2）△AEB是直角三角形；理由如下：∵∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC∴△ACF∽△AEC，∴AC∴AC由（1）得AC∴AF⋅AE=AD⋅AB，∴AF∵∠FAD=∠BAE，∴△AFD∽△ABE，∴∠ADF=∠AEB=90°，∴△AEB是直角三角形．（3）∵∠CEB=∠CBD,∠ECB=∠BCD，∴△CEB∽△CBD，∴CE∴CD⋅CE=CB如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于则CD∵CD0为∴∠CDD∴CD∴CD∵∠ECE∴△ECE∴∠CDD∴点E在过点E0且与C过点B作BE'⊥E0∵垂线段最短，∴当点E在点E'处时，BE即BE的最小值为BE∵∠CE∴四边形CE∴BE在Rt△CE0即当线段BE的长度取得最小值时，线段CE的长为215【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．4．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD=∠C，则AB（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的长；（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC=2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE=4，DG=6，求FG的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=13−1【分析】（1）证明△ABD∽△CBA，得出ABBC（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，解直角三角形得出CF=AC×sin60°=2×32=3，AF=AC×cos60°=2×12=1，证明△BDG∽△BCF，得出DGCF=（3）连接BD，证明△BED∽△GEB，得出DEBE=BEEG，求出DE=2，证明△ABE为直角三角形，得出∠AEB=90°，根据勾股定理求出BG=B【详解】解：（1）∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC∴AB（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：则∠AFC=∠AGD=90°，∴DF∥∵∠BAC=60°，∴CF=AC×sin60°=2×3∵D为BC的中点，∴BD=CD=1∵DF∥∴△BDG∽△BCF，∴DGCF∴DG=1∴BG=B∴BF=2BG=13∴AB=AF+BF=1+13∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠AED=∠CAD，∴∠AED=∠CDA，∴∠AED+∠BED=∠ADC+∠ADB=180°，∴∠BED=∠ADB，∵∠DBE=∠ABD，∴△BED∽△BAD，∴BEBD即BE2解得：BE=13（3）连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，AD=AB=BC=5∵∠ABC=2∠EBF，∴∠ABD=∠CBD=∠EBF，∴∠EBF−∠DBF=∠CBD−∠DBF，即∠DBE=∠CBF，∵AD∥∴∠CBF=∠G，∴∠DBE=∠G，∵∠DEB=∠BEG，∴△BED∽△GEB，∴DEBE∵DG=6，∴EG=DE+6，∴DE4解得：DE=2，负值舍去，∴EG=2+6=8，∴AE=AD−DE=3，∵AE∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，∴∠BEG=180°−90°=90°，∴在Rt△BEGBG=B∴BF=BG−FG=45∵AD∥∴△DFG∽△CFB，∴FGBF即FG4解得：FG=24【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．命题点二相似三角形的性质与判定-拔高►题型01利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A'，B'处，EF，A'F分别交AC于点G，H．若GH=2，HC=8，则A．2029 B．2039 【答案】A【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明AG=GF=GO，设AG=GF=GO=x，证明△AEG∽△CFG和△AA'H∽△CFH，推出AECF=EGx=x10和【详解】解：如图，A'B'交AC∵矩形ABCD，∴AD∥由折叠的性质得AE=A'E，BF=B'∴AB∥EF∥OB∴AGGO∴AG=OG，∵AF平分∠BAC，AB∥∴∠GAF=∠BAF=∠GFA，∴AG=GF=GO，设AG=GF=GO=x，∵GH=2，HC=8，∴HO=x−2，GC=8+2=10，∵AE∥∴△AEG∽△CFG，∴AECF=EG∵AA∴△AA∴AA'CF∵AA由①②得x+28解得x=103，则在Rt△CFG中，CF=∵AE20∴AE=2029故答案为：A．2．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD，垂足为F

若CF=4cm【答案】257/【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可．【详解】解：∵CF=4cm∴CB由翻折，菱形的性质，得：CB=CD=CB'=5cm，∵CB∴CB∴∠BCB∴∠BCE=∠B∵CD=5，∴FD=3，过点E作EG⊥BC，设CG=x，则EG=x，∵∠B=∠D，∠BGE=∠DFC，∴△EGB∽△CFD，∴EGCF∴x4解得：x=20∴BE=25故答案为：257【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．3．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是．

【答案】m【分析】先根据折叠的性质可得S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60°，从而可得S△FHG=S【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵折叠△BDE得到△FDE，∴△BDE≌△FDE，∴S△BDE=∵DE平分等边△ABC的面积，∴S∴S又∵∠AGD=∠FGH,∠CHE=∠FHG，∴△ADG∽△FHG,△CHE∽△FHG，∴S△ADGS∴S∴GH解得GH=m2+故答案为：m2【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．4．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A,D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E,F，连接BM．

(1)求证：∠AMB=∠BMP；(2)若DP=1，求MD的长．【答案】(1)证明见解析(2)MD=【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB，则∠EMB=∠EBM，进而证明∠BMP=∠MBC，再由平行线的性质证明∠AMB=∠MBC即可证明（2）如图，延长MN,BC交于点Q．证明△DMP∽△CQP得到QC=2MD，QP=2MP，设MD=x，则QC=2x，BQ=3+2x．由∠BMQ=∠MBQ，得到MQ=BQ=3+2x．则MP=13MQ=3+2x3【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，∠EMP=∠EBC=90°，∴∠EMB=∠EBM．∴∠EMP−∠EMB=∠EBC−∠EBM，即∠BMP=∠MBC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥∴∠AMB=∠MBC．∴∠AMB=∠BMP．（2）解：如图，延长MN,BC交于点Q．∵AD∥∴△DMP∽△CQP．又∵DP=1，正方形ABCD边长为3，∴CP=2∴MDQC∴QC=2MD，QP=2MP，设MD=x，则QC=2x，∴BQ=3+2x．∵∠BMP=∠MBC，即∠BMQ=∠MBQ，∴MQ=BQ=3+2x．∴MP=1在Rt△DMP中，M∴x2解得：x1=0（舍），∴MD=12

【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．5．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)GH=(3)BG=6【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH；（2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度；（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△BMG∽△MAP，得出大小关系．【详解】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠1+∠3=90°，∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，∴∠EPH=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3=∠2，∴△EDP∽△PCH；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°，∵P为CD中点，∴DP=CP=1设EP=AE=x，∴ED=AD−x=3−x，在Rt△EDP中，E即x2解得x=5∴EP=AE=x=5∴ED=AD−AE=4∵△EDP∽△PCH，∴EDPC=EP∴PH=5∵PG=AB=2，∴GH=PG−PH=3（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，∴BG∥AP，∵AE=EP，∴∠EAP=∠EPA，∴∠BAP=∠GPA，∴△MAP是等腰三角形，∴MA=MP，∵P为CD中点，∴设DP=CP=y，∴AB=PG=CD=2y，∵H为BC中点，∴BH=CH，∵∠BHM=∠CHP，∠CBM=∠PCH，∴△MBH≌△PCH(ASA∴BM=CP=y，HM=HP，∴MP=MA=MB+AB=3y，∴HP=1在Rt△PCH中，CH=∴BC=2CH=5∴AD=BC=5在Rt△APD中，AP=∵BG∥AP，∴△BMG∽△AMP，∴BGAP∴BG=6∴ABBG∴AB=6BG，即【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．►题型02利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像1．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，在△DEF中，DE=DF=5，EF=8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分0≤t<4，4≤t<8，8≤t<12三种情况，分别求出函数解析即可判断．【详解】解：过点D作DH⊥CB于H，，∵DE=DF=5，EF=8，∴EH=FH=1∴DH=当0≤t<4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ=t，PQ∥，∴△EPQ∽△EDH，∴PQDH=EQ∴PQ=∴S=1当4≤t<8时，如图，重叠部分为四边形PQC'B'，此时

∴B'F=BC+CF−BB∵PB∴△PB∴S△P又S△DCF∴S△P∴S△P∵DH⊥BC，∠A∴A'∴△C∴S△C'∴S△∴S=S当8≤t<12时如图，重叠部分为四边形△PFB'，此时BB

∴B'∵PB∴△PB∴S△PB∴S=S综上，S=3∴符合题意的函数图象是选项A．故选：A．【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（A．B．C．D．【答案】D【分析】先证明CD=AD=y，过D点做DE⊥AC于点E，证明△ABC∽△AED，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【详解】解：∵AB∥CD，∴∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，∴∠ACD=∠CAD，则CD=AD=y，即△ACD为等腰三角形，过D点做DE⊥AC于点E．则DE垂直平分AC，AE=CE=12AC=3∵∠BAC=∠CAD，∠B=∠AED=90°，∴△ABC∽△AED，∴ACAD∴6y∴y=18∵在△ABC中，AB<AC，∴x<6，故选D．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明△ABC∽△AED是解本题的关键．3．（2022·青海西宁·中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，

根据相似比可知：EFBC即EF6解得：EF=2（3-x），则△DEF的面积y=12×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-32)2+故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(32，9故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=3，BC=4，AD=5，动点P从点A出发，按A→B→C的方向在AB，BC边上移动，记PA=xx>0，点D到直线PA的距离为y，则y关于xA．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为5；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即可判断出y=15x(3<x≤5)，据此判断出y【详解】解：根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为：y=DA=5(0≤x≤3)，即点D到PA的距离为AD的长度，是定值5；（2）当点P在BC上移动时，连接AC，过D作DE⊥AP于E，如图所示：∵AB=3，BC=4，∴AC=A∵AD∥∴∠APB=∠DAE，∵∠ABP=∠AED=90°，∴△PAB∽△ADE，∴PAAD∴x5∴y=15综上，观察各选项，只有B选项图形符合．故选：B．QUOTE►题型03利用相似三角形的性质与判定求线段比值1．（2024·福建·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交AD于点F．(1)求OEAE(2)求证：△AEB∽△BEC；(3)求证：AD与EF互相平分．【答案】(1)1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）先证得AC=2AO，再在Rt△AOC中，tan∠AOC=ACAO=2．在Rt（2）过点B作BM∥AE，交EO延长线于点M，先证明△AOE≌△BOM，可得AE=BM,OE=OM，再证得∠BAE=∠CBE，再由相似三角形的判定可得结论；（3）如图，连接DE,DF，由（2）△AEB∽△BEC，可得AEBE=ABBC=2AO2BD=AOBD,∠EAO=∠EBD，从而得出△AOE∽△BDE【详解】（1）∵AB=AC，且AB是⊙O的直径，∴AC=2AO．∵∠BAC=90°，∴在Rt△AOC中，tan∵AE⊥OC，∴在Rt△AOE中，tan∴AE∴OE（2）过点B作BM∥AE，交EO延长线于点M．∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°．∵AO=